湘教版数学七年级下册 1.2二元一次方程组的解法教案（含2课时）

1．2　二元一次方程组的解法
1．2.1　代入消元法
【教学目标】
会用代入消元法解简单的二元一次方程组．
【教学重难点】
重点：用代入消元法解二元一次方程组．
难点：探索如何用代入消元法解二元一次方程组，感受“消元”思想．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
在上节课中，我们列出了二元一次方程组并知道是这个方程组的一个解，这个解是怎样得到的呢？
教学说明
通过建构“问题情境”，使学生感受到问题是“现实的、有意义的、富有挑战性的”，让学生在不自觉中走进自己的最近“发展区”，愉悦地接受教学活动．
【思考探究，获取新知】
探究：解二元一次方程组
1．对于方程组方程①、②中的x都表示1月份的天然气费，y都表示1月份的水费，由此方程②中的x、y分别与方程①中的x、y的值相同．
由②式可得，x＝y＋20.③
于是可以把③代入①式，得(y＋20)＋y＝60.④
解方程④，得y＝20.
把y的值代入③式，得x＝40.
因此原方程组的解是
2．解方程
解：把②代入①，得2y－(3y－1)＝7.
解得y＝－6.
把y＝－6代入②中，得x＝－19.
所以原方程组的解为
归纳结论
解二元一次方程组的基本想法是：消去一个未知数(简称为消元)，得到一个一元一次方程，然后解这个一元一次方程．
在上面的例子中，消去一个未知数的方法是：把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把它代入到另一个方程中，便得到一个一元一次方程，这种解方程组的方法叫做代入消元法，简称代入法．
3．解方程组
观察分析此方程组与例2中的方程组在形式上的差别．易知例2的方程组中直接将一个方程移项后代入另外一个方程，而此方程组中两个方程未知数的系数都不是1，不能直接代入，这时怎么办呢？能不能将其中一个方程适当变形，用一个未知数来表示另一个未知数？显然，这个变形是能够办到的．我们有两个办法，一个是某个方程两边同除以某个未知数的系数，使这个未知数的系数化1，化成例1的形式；另一个是将某个方程的某一个未知数移到方程的一边，其他各项移到另一边，再把这个未知数的系数化1，从而达到“用一个未知数来表示另一个未知数”的目的．
显然第二种方法更为直接，因而考虑方程中各项的系数，选择一个系数比较简单的方程．易见①比较简单，所以将方程①中的x用y来表示．
解：由①，得x＝4＋y，③
将③代入②，得
3(4＋y)－8y－10＝0，y＝－0.8.
将y＝－0.8代入③，得x＝1.2.
所以方程组的解是x＝1.2，y＝－0.8.
教学说明
这里是先消去x，得到关于y的一元一次方程，可不可以先消去y呢？(让学生试一试，并比较两种解法的优劣．易知先消去x使变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易．)
由上面的解题过程，你能总结出用代入法解二元一次方程组的步骤吗？
归纳结论
代入法解二元一次方程组的步骤：
(1)将方程组中的一个方程变形，使得一个未知数能用含另一未知数的代数式表示．
(2)把这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数的值．
(3)把这个未知数的值代入代数式，求另一未知数的值．
(4)写出方程组的解．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P7例2.
2．方程－x＋4y＝－15用含y的代数式表示x是(　C　)
A．－x＝4y－15　　　　　　　　 B．x＝－15＋4y
C．x＝4y＋15 D．x＝－4y＋15
3．将y＝－2x－4代入3x－y＝5可得(　B　)　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　 　　　
A．3x－2x＋4＝5 B．3x＋2x＋4＝5
C．3x＋2x－4＝5 D．3x－2x－4＝5
4．见教材P7例1.
5．用代入法解方程组有以下过程：
(1)由①得x＝.　③
(2)把③代入②得3×－5y＝5.
(3)去分母得24－9y－10y＝5.
(4)解之得y＝1.再由③得x＝2.5.其中错误的一步是(　C　)
A．(1)　　　　B．(2)　　　　C．(3)　　　　D．(4)
6．在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到错解而小亮却把方程②抄错了，得到错解你能求出正确答案吗？原方程组到底是怎样的？
解：把代入方程②，得b＋7a＝19，把代入方程①，得－2a＋4b＝16.
解方程组得
所以原方程组为　　　解得
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．布置作业：教材第12页“习题1.2”中第1题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
1．2.2　加减消元法
【教学目标】
1．会阐述用加减法解二元一次方程组的基本思路：通过“加减”达到“消元”的目的，从而把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解；
2．会用加减法解简单的二元一次方程组．
【教学重难点】
重点：学会用加减法解简单的二元一次方程组．
难点：准确灵活地选择和运用加减消元法解二元一次方程组．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
1．解二元一次方程组的基本思路是什么？
2．用代入法解方程组的关键是什么？
3．你会解下面这个方程组吗？
教学说明
由问题导入新课，既复习了旧知识，又引出了新课题，最后设置悬念，既增强了学生的学习兴趣，又激发了学生的学习热情，对学生探究新知起到很好的推动作用，让学生发表自己的见解，又培养了学生的数学语言表达的能力，发挥了学生学习的主动性，使他们的注意力始终集中在课堂上．
【思考探究，获取新知】
1．解方程组
我们可以用代入法来解这个方程组．你还有没有更简单的解法呢？
我们知道解二元一次方程组的关键是消去一个未知数，使方程组转化为一元一次方程．
分析方程①、②，可以发现未知数x的系数相同，因此只要把这两个方程的两边分别相减，就可以消去其中一个未知数x，得到一个一元一次方程．
即①－②，得2x＋3y－(2x－3y)＝－1－5，
解得6y＝－6，y＝－1.
把y＝－1代入①中，得2x＋3×(－1)＝－1.
解得x＝1，
因此原方程组的解是
解上述方程组时，在消元的过程中，如果把方程①与方程②相加，可以消去一个未知数吗？试着做一做．
2．解二元一次方程组
看一看：y的系数有什么特点？
想一想：先消去哪一个比较方便呢？用什么方法来消去这个未知数呢？
解：①＋②，得7x＋3y＋2x－3y＝1＋8.
解得x＝1.
把x＝1代入①式，得7×1＋3y＝1，
解得y＝－2.
因此原方程组的解是x＝1，y＝－2.
归纳结论
将两个方程相加(或相减)消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解．这种解法叫做加减消元法，简称加减法．
3．讨论：用加减法解二元一次方程组的时候，什么条件下用加法？什么条件下用减法？
教学说明
这个问题，可使学生明确使用加减法的条件，体会在某些条件下使用加减法的优越性，不仅强化了学生对概念的理解，又培养了学生勤于动脑，勤于探究的好习惯，还可为之后灵活运用加减法解二元一次方程组打下良好的基础．
归纳结论
当方程组中同一未知数的系数互为相反数时，我们可以把两方程相加，当方程组中同一未知数的系数相等时，我们可以把两方程相减，从而达到消元的目的．
4．用加减法解二元一次方程组：
问题：能直接相加减消掉一个未知数吗？如何把同一未知数的系数变成一样呢？
解：①×3，得6x＋9y＝－33，③
②－③，得－14y＝42，解得y＝－3，
把y＝－3代入①式，得2x＋3×(－3)＝－11，
解得x＝－1.因此原方程组的解是x＝－1，y＝－3.
如果先消去y应如何解？会与上述的结果一样吗？试着做一做．
教学说明
通过练习使学生掌握用加减法解二元一次方程组．
【运用新知，深化理解】
1．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x＋3y＝6的解，则k的值为(　B　)
A．－ B. C. D．－
2．已知方程组中，x、y的值相等，则m等于(　B　)
A．1或－1 B．1 C．5 D．－5
3．解下列方程组：
(1)
解：①－②得，－x＝－2，解得x＝2.
把x＝2代入①得2＋y＝1，解得y＝－1.
故原方程组的解为
(2)
解：①－②得，x＝14，把x＝14代入得y＝7.
所以原方程组的解为
(3)
解：①×3－②×2得，－13y＝－39，解得y＝3.
把y＝3代入①得，2x－3×3＝－5，解得x＝2.
故原方程组的解为
【师生互动，课堂小结】
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．
【课后作业】
1．布置作业：教材第10页“练习”．
2．完成同步练习册中本课时的练习．