课件43张PPT。本章小结 一、学习集合应该注意的问题
目前在中学数学中，集合知识主要有两方面的应用：
(1)把集合作为一种数学语言，以表达一定范围或具有某些特性的元素，例如，方程(或方程组)的解集、不等式(或不等式组)的解集、具有某种性质或满足某些条件的数集、点集等．(2)运用集合间的基本关系和运算的思想解决某些抽象而复杂的问题．
例如，利用集合间的基本关系及运算帮助理解事件间的关系，充分必要条件等(以后将要学习)．
有时从正面解题较难时，可以考虑用补集的思想求解．1．要注意理解、正确运用集合概念
【例1】 若P＝{y|y＝x2，x∈R}，Q＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，则必有 ( )
A．P∩Q＝? B．P?Q
C．P＝Q D．P?Q
思路分析：有的同学一接触此题马上得出结论P＝Q，这是由于他们仅仅看到两集合中的y＝x2，x∈R相同，而没有注意到组成两个集合的元素是不同的，集合P是函数值域集合，集合Q是y＝x2，x∈R上的点的集合，代表元素根本不是同一类事物．解析：P表示函数y＝x2的值域，Q表示抛物线y＝x2上的点组成的点集，因此P∩Q＝?，故选A.
答案：A2．要充分注意集合元素的互异性
集合元素的互异性，是集合的重要属性，在解题过程中，集合元素的互异性常常被忽视而出错．思路分析：要解决a的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据集合的运算及集合中元素的确定性、互异性矛盾，无序性建立关系式．
解：∵A∩B＝{2,5}，∴a3－2a2－a＋7＝5，由此求得a＝2，或a＝±1.当a＝1时，a2－2a＋2＝1，与元素的互异性矛盾，故舍去；
当a＝－1时，B＝{1,0,5,2,4}，与A∩B＝{2,5}相矛盾，故舍去；
当a＝2时，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,2,5,25}，此时A∩B＝{2,5}，满足题设．
故a＝2为所求．3．要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题，在我们解答数学问题过程中经常遇到．集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明(判断)两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．【例3】 集合X＝{x|x＝2n＋1，n∈Z}，Y＝{y|y＝4k±1，k∈Z}，试证明X＝Y.
思路分析：要证明X＝Y，按集合相等的定义，应证明X?Y，且Y?X.证明：(1)设任意x0∈X，则x0＝2n0＋1，n0∈Z.
①若n0是偶数，可设n0＝2m，m∈Z，
则x0＝2·2m＋1＝4m＋1，∴x0∈Y；
②若n0是奇数，可设n0＝2m－1，m∈Z，
则x0＝2(2m－1)＋1＝4m－1，∴x0∈Y.
∴不论n0是偶数还是奇数，都有x0∈Y，∴X?Y.
(2)又设任意y0∈Y，则y0＝4k0＋1，或y0＝4k0－1，k0∈Z.
∵y0＝4k0＋1＝2(2k0)＋1，y0＝4k0－1＝2(2k0－1)＋1,2k0和2k0－1都属于Z，∴y0∈X，∴Y?X.
由(1)(2)可知，X＝Y.4．要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决集合之间关系问题时，它往往易被忽视而引起解题失误．【例4】 已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∪B＝A，求实数a组成的集合C.
思路分析：B?A包括两种情况，即B＝?和B≠?.
解：(1)当B≠?时，由x2－3x＋2＝0，得x＝1或2.当x＝1时，a＝2；当x＝2时，a＝1.
(2)当B＝?时，即当a＝0时，B＝?，符合题意，故实数a组成的集合C＝{0,1,2}．二、函数的概念、表示及其应用
对于函数的概念及其表示要注意：
1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．
2．定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数，两者需同时具备．
3．函数定义域的求法．
列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可．求函数的定义域，常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式被开方数不小于0；③零指数幂中底数不等于零；④实际问题要考虑实际意义等．4．求抽象函数定义域的方法：
(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，就是求不等式a≤g(x)≤b的解集．
(2)已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g(x)的值域．
5．求函数解析式的常用方法：
(1)定义法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)构造法；(5)消去法．6．求函数值域的方法：
(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法；(4)判别式法；(5)单调性法；(6)不等式法．温馨提示：求解分段函数及复合函数的有关问题时，应注意复合函数中“内”层函数的值域充当“外”层函数的定义域，不能笼统地写在一起，而应分段讨论．【例6】 已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b，A＝{x|f(x)＝2x}＝{22}，则f(x)的解析式为________．温馨提示：求解析式的关键是求解参数．温馨提示：求函数的值域无固定的格式方法，应具体问题具体分析，注意观察函数的结构特点，选择适当的方法求值域，勿忘优先考虑定义域．三、函数的单调性、奇偶性及其应用
函数的单调性、奇偶性是高考考查的重要内容，要掌握判断函数单调性的步骤，掌握奇函数、偶函数的性质以及运用函数单调性、奇偶性，求函数最大(小)值的方法．思路分析：求函数在某区间上的最值，通常先判断函数在该区间上的单调性，当函数或区间中含有字母时，要对字母加以讨论，以确定函数的单调性．第一章 素质测评
一、选择题
1．下列关系式中，正确的是
( )
A．?∈{0} B．0?{0}
C．0∈{0} D．0{0}
答案：C
2．满足A∪{－1,1}＝{－1,0,1}的集合A共有
( )
A．2个 B．4个
C．8个 D．16个
解析：由题意知A＝{0}或A＝{0，－1}或A＝{0,1}或A＝{－1,0,1}，共4个．故选B.
答案：B
3．如下图所示，阴影部分表示的集合是
( )
A．(?UB)∩A B．(?UA)∩B
C．?U(A∩B) D．?U(A∪B)
解析：因为阴影部分在集合?UB中又在集合A中，所以阴影部分是(?UB)∩A.故选A.
答案：A
4．如下图所示，对应关系f是从A到B的映射的是
( )
解析：B、C中的集合A中都有剩余元素，故B、C不是映射；A中有一对多的情况，故A不是映射．故选D.
答案：D
5．设集合M＝{x|x>1}，P＝{x|x2－6x＋9＝0}，则下列关系中正确的是
( )
A．M＝P B．PM
C．MP D．M∪P＝R
解析：P＝{3}，∵3>1，∴3∈M.∴P?M.但是2∈M,2?P，∴PM.
答案：B
6．已知f(x)＝，则f{f[f(－2)]}的值为
( )
A．0 B．2
C．4 D．8
解析：∵－2<0，
∴f(－2)＝0，
∴f[f(－2)]＝f(0)＝2>0，
f{f[f(－2)]}＝f(2)＝4.故选C.
答案：C
7．对任意两个实数对(a，b)和(c，d)，规定：(a，b)＝(c，d)，当且仅当a＝c，b＝d；运算“”为：(a，b)(c，d)＝(ac－bd，bc＋ad)；运算“”为：(a，b)(c，d)＝(a＋c，b＋d)．设p、q∈R，若(1,2)(p，q)＝(5,0)，则(1,2)(p，q)＝
( )
A．(0，－4) B．(0,2)
C．(4,0) D．(2,0)
解析：∵(1,2)(p，q)＝(p－2q,2p＋q)＝(5,0)，
∴解得
∴(1,2) (p，q)＝(1＋p,2＋q)＝(2,0)，故选D.
答案：D
8．函数y＝x2－2x＋3，－1≤x≤2的值域是
( )
A．R B．[3,6]
C．[2,6] D．[2，＋∞)
解析：画出函数的图象，如右图所示，
观察函数的图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[2,6]，
所以值域是[2,6]．
答案：C
9．函数f(x)＝x2－2ax，x∈[1，＋∞)是增函数，则实数a的取值范围是
( )
A．R B．[1，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
解析：f(x)＝x2－2ax的对称轴是直线x＝a，则a≤1.
答案：C
10．定义在R上的偶函数在[0,7]上是增函数，在[7，＋∞)上是减函数，又f(7)＝6，则f(x)
( )
A．在[－7,0]上是增函数，且最大值是6
B．在[－7,0]上是减函数，且最大值是6
C．在[－7,0]上是增函数，且最小值是6
D．在[－7,0]上是减函数，且最小值是6
解析：由f(x)是偶函数，得f(x)关于y轴对称，其图象可以用下图简单地表示，
则f(x)在[－7,0]上是减函数，且最大值为6.
答案：B
11．已知函数f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x<0时，函数的部分图象如右图所示，则不等式xf(x)<0的解集是
( )
A．(－2，－1)∪(1,2)
B．(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2)
D．(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞)
解析：根据奇函数图象关于原点对称，作出函数图象，则不等式xf(x)<0的解为
或故选D.
答案：D
12．已知函数f(x)在[－1,2]上是减函数，且点A(－1,3)和点B(2，－1)在函数f(x)的图象上，则满足条件－1≤f(x－2)≤3的x的集合是
( )
A．{x|1≤x≤4} B．{x|－3≤x≤0}
C．{x|x∈R} D．{x|x∈?}
解析：∵f(－1)＝3，f(2)＝－1，
又∵－1≤f(x－2)≤3，
∴f(2)≤f(x－2)≤f(－1)．
又∵f(x)在[－1,2]上单调递减，
∴－1≤x－2≤2，
∴1≤x≤4.故选A.
答案：A
二、填空题
13．已知集合A＝{x|x2＋ax＋b＝0}中仅有一个元素1，则a＝________，b＝________.
答案：－2 1
14．函数f(x)＝的值域是________．
解析：∵y＝
＝，
且0≤－(x－2)2＋9≤9，
∴函数y＝的值域为[0,3]．
答案：[0,3]
15．某粮店销售大米，若一次购买大米不超过50 kg时，单价为m元；若一次购买大米超过50 kg时，其超出部分按原价的90%计算，某人一次购买了x kg大米，其费用为y元，则y与x的函数关系式y＝________.
解析：当0≤x≤50时，y＝mx；当x>50时，y＝50m＋(x－50)×90%·m＝0.9mx＋5m.
答案：
16．设函数f(x)＝则函数y＝f(x)与y＝的交点个数是________．
解析：函数y＝f(x)的图象如下图所示，则两函数y＝f(x)与y＝的交点个数是4.
答案：4
三、解答题
17．已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，(?UM)∩N，(?UM)∪(?UN)．
解：由题意得M∪N＝{x|x≤3}，?UM＝{x|x>3}，?UN＝{x|x≥1}，
则(?UM)∩N＝{x|x>3}∩{x|x<1}＝?，
(?UM)∪(?UN)＝{x|x>3}∪{x|x≥1}＝{x|x≥1}．
18．已知a、x∈R，集合A＝{2,4，x2－5x＋9}，B＝{3，x2＋ax＋a}，C＝{x2＋(a＋1)x－3,1}．
(1)使A＝{2,3,4}的x的值；
(2)使2∈B，B?A的a、x的值．
解：(1)由集合相等的定义知x2－5x＋9＝3，
解之得x2－5x＋6＝0，x＝2或x＝3.
经检验，x＝2或3都符合题意．
(2)∵2∈B，B?A，
∴
解②得x＝2或x＝3.
把x＝2代入①得a＝－；
把x＝3代入①得a＝－.
经检验或都适合题意．
19．已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2.
(1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断函数f(x)＋g(x)的奇偶性．
解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝，其中k1k2≠0，
则k1×1＝1，＝2，
∴k1＝1，k2＝2.
则f(x)＝x，g(x)＝.
(2)设h(x)＝f(x)＋g(x)，
则h(x)＝x＋，
∴函数h(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
h(－x)＝－x＋＝－(x＋)＝－h(x)，
∴函数h(x)是奇函数，
即函数f(x)＋g(x)是奇函数．
20．已知f＝－x－1.
(1)求f(x)；
(2)求f(x)在区间[2,6]上的最大值和最小值．
解：(1)令t＝，则x＝，
∴f(t)＝，∴f(x)＝(x≠1)．
(2)任取x1，x2∈[2,6]，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵2≤x1∴(x1－1)(x2－1)>0,2(x2－x1)>0，
∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x)在[2,6]上单调递减，
∴当x＝2时，f(x)max＝2，
当x＝6时，f(x)min＝.
21．扬州某公司生产的新产品的成本是2元/件，售价是3元/件，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品的销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
x
…
1
2
…
5
…
y
…
1.5
1.8
…
1.5
…
(1)求y与x的函数关系式；
(2)如果利润＝销售总额－成本费－广告费，试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式；并求出当广告费x为多少万元时，年利润S最大．
解：(1)由于y是x的二次函数，所以可设函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)(x≥0)；由于点(1,1.5)、(2,1.8)、(5,1.5)在函数图象上，所以
解得
所以所求函数的解析式为y＝－x2＋x＋1，(x≥0)．
(2)当投入广告费x万元时，产品的销量是10y万件，成本2元/件，售价3元/件，每件获得利润1元，共获利10y(3－2)＝10y万元，由题意得
S＝10y(3－2)－x＝10(－x2＋x＋1)－x
＝－x2＋5x＋10＝－(x－)2＋(x≥0)．
当x＝时，Smax＝.
即当投入2.5万元广告费时，年利润最大．
22．函数f(x)＝是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且f()＝.
(1)求实数a、b，并确定函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在(－1,1)上的单调性，并用定义证明你的结论．
解：(1)∵f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，－ax＋b＝－ax－b，
∴b＝0，∴f(x)＝，又f()＝，
∴＝，∴a＝1，∴f(x)＝.
(2)f(x)在(－1,1)上是增函数．
证明如下：任取x1，x2∈(－1,1)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝
∵－1∴－10，x＋1>0，x＋1>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在(－1,1)上是增函数．
