2.1.3 函数的单调性 学案
【预习要点及要求】
1.函数单调性的概念；
2.由函数图象写出函数单调区间；
3.函数单调性的证明
4.能运用函数的图象理解函数单调性和最值
5.理解函数的单调性
6.会证明函数的单调性
【知识再现】
1._____________
2._____________
3._____________
【概念探究】
阅读课本44页到例1的上方，完成下列问题
1从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是______，若图象是下降的，则此函数是_____________-
2不看课本，能否写出函数单调性的定义？
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3对区间的开闭有何要求？
4如何理解定义中任意两个字？
5一个函数不存在单调性，如何说明？
6完成课后练习A第1，2题
【例题解析】
阅读课本例1与例2，完成下列问题
不看课本你能否独立完成两个例题的证明
证明函数在R上是增函数
证明函数，在区间上分别是减函数
根据两个例题的证明，你能否给出证明函数单调性的一般步骤，在这些步骤中你认为最关键的地方是什么？
3有的同学证明在上是减函数时是这样证的，你是否认可其作法，为什么？
证明：设，则，即，根据定义可得在上是减函数
4完成课后练习A第3，4题，习题2-1A第5题
5证明：在和上均为减函数，并说明在整个定义域上是否为减函数？
【典例讲解】
例1．求下列函数的增区间与减区间
(1)y＝|x2＋2x－3|
例2．已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：
(1)f(6)与f(4)
例3．利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
参考答案：
例1.解 (1)令f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4．
先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x2＋2x－3|的图像
由图像易得：
递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)
递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]
(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．
当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．
当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．
∴增区间是(－∞，0)和(0，1)
减区间是[1，2)和(2，＋∞)
(3)解：由－x2－2x＋3≥0，得－3≤x≤1．
令u＝＝g(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．
∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．
例2．解 (1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)
时为减函数．
例3．证明：取任意两个值x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2．
又∵x1－x2＜0，∴f(x2)＜f(x1)
故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．
【达标练习】
1若函数在上是增函数，那么 （ ）
A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0
2函数，当时是增函数，当时是减函数，则等于 （ ）
A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数
3设函数在上为减函数，则 ( )
4如果函数在区间上是增函数，那么的取值范围是__________________.
5已知在定义域上是减函数，且则的取值范围是_____________
6证明函数在上是减函数
【达标练习答案】
1、C
2、B
3、D
4、
5．
6．证明：任取且，
则，
在上是减函数
2.1.3 函数的单调性 教案
教学目标：理解函数的单调性
教学重点：函数单调性的概念和判定
教学过程：
1、过对函数、、及的观察提出有关函数单调性的问题.
2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念
例题讲解：
例1．如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
解：函数的单调区间有，
其中在区间，
上是减函数，在区间上是
增函数。
注意：1 单调区间的书写
2 各单调区间之间的关系
以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？
例2。证明函数在R上是增函数。
证明：设是R上的任意两个实数，且，则
，
所以，在R上是增函数。
例3．函数f(x)＝ax2－(3a－1)x＋a2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a的取值范围．
解 当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，＋∞)上是增函数．
若a＜0时，无解．
∴a的取值范围是0≤a≤1．
例4．证明函数在上是减函数。
证明：设是上的任意两个实数，且，则
由，得，且
于是
所以，在上是减函数。
归纳总结：利用定义证明函数单调性的步骤：
（1） 取值
（2） 计算、
（3） 对比符号
（4） 结论
课堂练习：教材第46页 练习A、B
达标练习：
【能力达标】
选择题
1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ）
A. B. C. D.
2、函数的单调减区间是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题：
3、函数，上的单调性是_____________________.
4、已知函数在上递增，那么的取值范围是________.
三、解答题：
5、设函数为R上的增函数，令
（1）、求证：在R上为增函数
（2）、若，求证
参考答案：
1、B；2、A；3、递增；4、；
小结：本节课学习了单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法
课后作业：第52页 习题2-1A第5题。
2.1.3函数的单调性
教学目标：理解函数的单调性
教学重点：函数单调性的概念和判定
教学过程：
1、过对函数、、及的观察提出有关函数单调性的问题.
2、阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念
3、
例1、如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数。
解：函数的单调区间有，
其中在区间，
上是减函数，在区间上是
增函数。
注意：1 单调区间的书写
2 各单调区间之间的关系
以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？
例2、证明函数在R上是增函数。
证明：设是R上的任意两个实数，且，则
，
所以，在R上是增函数。
例3、证明函数在上是减函数。
证明：设是上的任意两个实数，且，则
由，得，且
于是
所以，在上是减函数。
利用定义证明函数单调性的步骤：
（1） 取值
（2） 计算、
（3） 对比符号
（4） 结论
课堂练习：教材第50页 练习A、B
小结：本节课学习了单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法
课后作业：第57页 习题2-1A第5题
1．下列命题正确的是 ( )．
A．定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
B．定义在(a，b)上的函数f(x)，若有无穷多对x1，x2∈(a，b)使得x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，那么f(x)在(a，b)上为增函数
C．若f(x)在区间I1上为增函数，在区间I2上也为增函数， 那么f(x)在I1∪I2上也一定为增函数
D．若f(x)在区间I上为增函数且f(x1)＜f(x2)(x1，x2∈I)，那么x1＜x2
解析 由单调性的定义和性质判断知A、B、C都错．
答案 D
2．函数y＝在[2,3]上的最小值为 ( )．
A．2 B.
C. D．－
解析 ∵函数y＝在[2,3]上是减函数，∴x＝3时，ymin＝.
答案 B
3．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是 ( )．
A．f(x)＝ B．g(x)＝－2x
C．h(x)＝－3x＋1 D．s(x)＝
解析 函数g(x)＝－2x与h(x)＝－3x＋1，在R上都是减函数，s(x)＝在(0，＋∞)上是减函数．
答案 A
4．函数y＝|3x－5|的单调减区间为________．
解析 ∵f(x)＝|3x－5|＝
∴f(x)的单调递减区间为(－∞，]．
答案 (－∞，]
5．已知函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，则f(2)________f(x2－4x＋6)．
解析 ∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)．
答案 ≤
6．证明函数f(x)＝在(0,1)上是增函数．
证明 对任意x1，x2∈(0,1)且x1＜x2，则
f(x2)－f(x1)＝－＝
＝＝.
因为0＜x1＜x2＜1时，x2－x1＞0,1－x1x2＞0，则f(x2)－f(x1)＞0，所以函数f(x)＝在(0,1)上是增函数．
7．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )．
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析 由2m＞－m＋9得m＞3.
答案 C
8．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，又若a∈R，则( )．
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)
解析 由于a2＋1＞a恒成立，又f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数
∴f(a2＋1)＜f(a)，其余当a＝0时，均不成立．
答案 D
9．二次函数f(x)＝x2－2ax＋m在(－∞，2]上是减函数，则a的取值范围是________．
解析 二次函数对称轴为x＝a，由二次函数图象知，函数在(－∞，a]上单调递减，∴2≤a.
答案 [2，＋∞)
10．函数f(x)＝－的单调递增区间是________．
答案 (－∞，0)和(0，＋∞)
11．已知函数f(x)＝，x∈[2，＋∞)，求f(x)的最小值．f(x)有最大值吗？
解 f(x)＝x＋＋2，x∈[2，＋∞)，对任意的x1，x2∈[2，＋∞)，且x1＝－＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·，∵2≤x1∴x1－x2<0，x1x2>4，∴x1x2－3>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数f(x)在[2，＋∞)上是增函数，
∴x＝2时，ymin＝＝.
函数f(x)没有最大值．
12．(创新拓展)定义在[－4,8]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，已知函数的部分图象如图，请补全函数y＝f(x)的图象，并写出其单调区间，并观察回答，在函数图象对称轴两侧的单调性有何特点？
解 函数y＝f(x)在[－4,8]上的图象如图，函数y＝f(x)的单调递增区间是[－4，－1]，[2,5]递减区间是[5,8]，[－1,2]．
区间[－4，－1]与[5,8]关于直线x＝2对称，单调性相反．
区间[－1,2]与[2,5]关于直线x＝2对称，单调性相反．
