2.1.4 函数的奇偶性 学案
【预习要点及要求】
1.函数奇偶性的概念；
2.由函数图象研究函数的奇偶性；
3.函数奇偶性的判断；
4.能运用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性；
5.理解函数的奇偶性。
【知识再现】
1.轴对称图形：
2中心对称图形：
【概念探究】
1、 画出函数，与的图像；并观察两个函数图像的对称性。
1、 求出，，时的函数值，写出，。
结论：，。
1、 奇函数：___________________________________________________
1、 偶函数：______________________________________________________
【概念深化】
（1）、强调定义中“任意”二字，奇偶性是函数在定义域上的整体性质。
（2）、奇函数偶函数的定义域关于原点对称。
5、奇函数与偶函数图像的对称性：
如果一个函数是奇函数，则这个函数的图像是以坐标原点为对称中心的__________。反之，如果一个函数的图像是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是___________。
如果一个函数是偶函数，则这个函数的图像是以轴为对称轴的__________。反之，如果一个函数的图像是关于轴对称，则这个函数是___________。
6. 根据函数的奇偶性，函数可以分为____________________________________.
【例题解析】
例1．已知是奇函数，且当时，，求当时的表达式
例2．设为实数，函数，讨论的奇偶性
参考答案：
例1．解：设则，，又因为为奇函数，
，
评析：在哪个区间上求解析式，x就设在哪个区间上，然后要利用已知区间的解析式进行代入，利用的奇偶性，把写成或，从而解出
例2．解：当时，，
所以为偶函数
当时，
此时函数既不是奇函数，也不是偶函数
评析：对于参数的不同取值函数的奇偶性不同，因而需对参数进行讨论
达标练习：
一、 选择题
1、函数的奇偶性是 （ ）
A．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
2、函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点（ ）
A． B. C. D.
二、填空题：
3、为R上的偶函数，且当时，，则当时，___________.
4、函数为偶函数，那么的大小关系为 __.
三、解答题：
5、已知函数是定义在R上的不恒为0的函数，且对于任意的，都有
（1）、求的值；
（2）、判断函数的奇偶性，并加以证明。
参考答案：
1、C；2、C；3、x(x+1)；4、相等；
课堂练习：教材第49页 练习A、第50页 练习B
小结：本节课学习了那些内容？ 请同学们自己总结一下。
课后作业：第52页 习题2-1A第6、7题
www.2.1.4函数的奇偶性
教学目标：理解函数的奇偶性
教学重点：函数奇偶性的概念和判定
教学过程：
1、通过对函数，的分析，引出函数奇偶性的定义
2、函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；
（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
（3）是偶函数，是奇函数；
（4）,
；
（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3、判断下列命题是否正确
(1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
(2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如,，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。
（3）是任意函数，那么与都是偶函数。
此命题错误。一方面，对于函数， 不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。
（4）函数是偶函数，函数是奇函数。
此命题正确。由函数奇偶性易证。
（5）已知函数是奇函数，且有定义，则。
此命题正确。由奇函数的定义易证。
（6）已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。
此命题正确。方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若，则。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。故原命题成立。
4、补充例子
例：定义在上的奇函数在整个定义域上是减函数，若，求实数的取值范围。
课堂练习：教材第53页 练习A、B
小结：本节课学习了函数奇偶性的概念和判定
课后作业：第57页 习题2-1A第6、7、8题(共22张PPT)
x
y
0
M
N
（1）
（2）
（3）
（4）
A1
B2
C2
o
A2
B1
L1
L2
L3
A
B
C
D
C1
P1
P2
Q1
Q2
o
自学提纲
1 什么是奇函数
2 什么是偶函数
3 奇函数,偶函数的图像各有什么样的对称性质
Y = x2
x
x
y
(2,4)
(-2,4)
f(-2)=f(2)
由于(-X)2 = X2 ，所以 f(-x)=f(x)
f(-1)=f(1)
(1,1)
(-1,1)
函 数 的 奇 偶 性
正式上课
f(-2)=f(2)
由于|-X| =| X| ，所以 f(-x)=f(x)
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数
偶函数的图像关轴对称．
Y = x3
x
y
(1,1)
(-1,-1)
f(-1)= - f(1)
由于(-X)3= - X3，所以 f(-x)= -f(x)
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)= －f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．奇函数的图像关于原点对称．
注意：
１由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
２奇、偶函数定义的逆命题也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
３函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
４如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性.
3.奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称. 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么就称这个函数为奇函数.
2、偶函数的图象关于y轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么就称这个函数为偶函数.
说明：奇偶函数图象的性质可用于：
a、简化函数图象的画法. b、判断函数的奇偶性
例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图象如下图，画出在y轴左边的图象.
x
y
0
解：画法略
相等
x
y
0
相等
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x,
如果都有f(－x)=-f(x) f(x)为奇函数
如果都有f(－x)=f(x) f(x)为偶函数
2、两个性质：
一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称
一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称
例１：判断下列函数的奇偶性：
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x)
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(3)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)
即f(-x)=-f(x)
∴f(x)奇函数
(4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x)
即f(-x)=f(x)
∴f(x)偶函数
课堂练习１
判断下列函数的奇偶性：
课堂练习２
小结
１用定义判断函数奇偶性的步骤：
①先求定义域，看是否关于原点称；
②再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立.
课堂练习３
若f(x)是定义在R上的奇函数,当x<０时，
f(x)=x(1-x),求当x ０时函数的解析式
解：当x>0时,-x<0，因当x<0时f(x)=x(1-x)，
则f(-x)=-x(1+x)．又f(x)为奇函数有f(-x)=- f(x), 所以-f(x)=-x(1+x)，则f(x)=x(1+x),
又f(0)=f(-0)=-f(0)，则f(0)=0
则当x 0 时，f(x)=x(1+x)
课堂练习４
课堂练习５(共25张PPT)
－f(x)
g(x)
原点
奇函数
y轴
偶函数
单击此处进入 活页规范训练
03:
HUOYEGUIFANXUNLIAN
》活页规范训练
限时巩固氵节节攀登
01》课前探究学习
挑战自我:点点落实
KETANGUIANGLIANHUDON
2
》课堂讲练互动
循循善诱:触类旁通
)
82.1.4 函数的奇偶性教案
教学目标：理解函数的奇偶性
教学重点：函数奇偶性的概念和判定
教学过程：
1．概念形成：
通过对函数，的分析，引出函数奇偶性的定义。
2．性质探究：
函数奇偶性的几个性质：
（1）奇偶函数的定义域关于原点对称；
（2）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；
（3）是偶函数，是奇函数；
（4）,
；
（5）奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
（6）根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
3．概念辨析：
判断下列命题是否正确
(1)函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。
此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
(2)两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。
此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如,，可以看出函数与都是定义域上的函数，它们的差只在区间[－1，1]上有定义且，而在此区间上函数既是奇函数又是偶函数。
（3）是任意函数，那么与都是偶函数。
此命题错误。一方面，对于函数， 不能保证或；另一方面，对于一个任意函数而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数是偶函数。
（4）函数是偶函数，函数是奇函数。
此命题正确。由函数奇偶性易证。
（5）已知函数是奇函数，且有定义，则。
此命题正确。由奇函数的定义易证。
（6）已知是奇函数或偶函数，方程有实根，那么方程的所有实根之和为零；若是定义在实数集上的奇函数，则方程有奇数个实根。
此命题正确。方程的实数根即为函数与轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若，则。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有。故原命题成立。
4．例题讲解：
例1、判断下列函数的奇偶性
（1）。 （2）。 （3）。
例2、 已知f（x），求f(x)。
参考答案：
例1. 解：（1）、函数的定义域为R，
所以为奇函数
（2）、函数的定义域为，定义域关于原点不对称，所以为非奇非偶函数
（3）、函数的定义域为{-2，2},,所以函数既是奇函数又是偶函数
评析：判断函数的奇偶性时先要判断的定义域是否关于原点对称，然后用定义来判断。
例2.
评析：挖掘f(x)隐含条件，构造奇函数g(x)，从整体着手，利用奇函数的性质解决问题.
课堂练习：教材第49页 练习A、第50页 练习B
小结：本节课学习了函数奇偶性的概念和判定
课后作业：第52页 习题2-1A第6、7题
www.1．函数f(x)＝x3＋的奇偶性为 ( )．
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析 定义域为R，且f(－x)＝－x3－＝－f(x)，∴为奇函数．
答案 A
2．已知定义在R上的偶函数f(x)在x＞0上是增函数，则 ( )．
A．f(3)＜f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3)
C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3)
解析 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，又f(－4)＝f(4)，
f(－π)＝f(π)，∴f(3)＜f(π)＜f(4)，∴f(3)＜f(－π)＜f(－4)．
答案 C
3．函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数， 则a等于 ( )．
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析 y＝x2＋(1－a)x－a，∵函数是偶函数，∴1－a＝0，
∴a＝1.
答案 C
4.
设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．
解析 由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0,5]上的图象，
得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
答案 (－2,0)∪(2,5)
5．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.
解析 设x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－x－1.
答案 －x－1
6．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
解 由f(m)＋f(m－1)>0，得f(m)>－f(m－1)，∵f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(1－m)又∵f(x)在[0,2]上为减函数，
∴f(x)在[－2,2]上为减函数，
∴，即，解得－1≤m<.
7．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的x的取值范围是 ( )．
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,2)
解析 由f(2)＝0和偶函数性质知f(－2)＝0.
∵函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，∴当x∈(－2,0]时，f(x)＜0.由图象关于y轴对称知，当x∈(0,2)时，f(x)＜0，故选D.
答案 D
8．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝ ( )．
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析 f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，∴b＝－1.
f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2－1)＝－3.
答案 A
9．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝________.
解析 f(－2)＝(－2)5＋a·(－2)3＋b·(－2)－8＝10，
∴25＋a·23＋2b＝－18，
∴f(2)＝25＋a·23＋2b－8＝－26.
答案 －26
10．若f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，则f(x)＋g(x)＝________.
解析 ∵f(x)－g(x)＝x2＋3x＋2，∴f(－x)－g(－x)＝x2－3x＋2，
又f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，∴－f(x)－g(x)＝x2－3x＋2，∴f(x)＋g(x)＝－x2＋3x－2.
答案 －x2＋3x－2
11．设f(x)＝是奇函数(a、b、c∈Z)，且f(1)＝2，f(2)＜3，求a、b、c的值．
解 ∵f(x)＝是奇函数，
∴f(－x)＝＝－f(x)＝－.
∴b(－x)＋c＝－(bx＋c)，求得c＝0.
由f(1)＝2，f(2)＜3，得
消去b，得＜3，解得－1＜a＜2.又a∈Z，∴a＝0或a＝1.
当a＝0时，求得b＝ Z；当a＝1时，求得b＝1∈Z.
∴a＝1，b＝1，c＝0.
12．(创新拓展)(1)函数f(x)，x∈R，若对于任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)．求证：f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)，x∈R.若对于任意实数x1，x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)·f(x2)．求证：f(x)为偶函数．
证明 (1)设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0.
又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)．
∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)令x1＝0，x2＝x，得f(x)＋f(－x)＝2f(0)f(x)， ①
令x2＝0，x1＝x，得f(x)＋f(x)＝2f(0)f(x)． ②
由①②得f(x)＋f(－x)＝f(x)＋f(x)，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．
