2.4 函数的零点 学案
【预习要点及要求】
１．理解函数零点的概念。
２．会判定二次函数零点的个数。
３．会求函数的零点。
４．掌握函数零点的性质。
5．能结合二次函数图象判断一元二次方程式根存在性及根的个数。
6．理解函数零点与方程式根的关系。
7．会用零点性质解决实际问题。
【知识再现】
１．如何判一元二次方程式实根个数？
２．二次函数顶点坐标，对称轴分别是什么？
【概念探究】
阅读课本70——71页完成下列问题
１．已知函数， ＝０， ＜０， ＞０。
叫做函数的零点。
２．请你写出零点的定义。
３．如何求函数的零点？
４．函数的零点与图像什么关系？
【例题解析】
１．阅读课本71页完成例题。
例：求函数的零点，并画出它的图象。
２．由上例函数值大于０，小于０，等于０时自变量取值范围分别是什么？
３．请思考求函数零点对作函数简图有什么作用？
４．完成72练习Ｂ1、２
【总结点拨】
对概念理解及对例题的解释
１．不是所有函数都有零点
２．二次函数零点个数的判定转化为二次方程实根的个数的判定。
３．函数零点有变量零点和不变量零点。
４．求三次函数零点，关键是正确的因式分解，作图像可先由零点分析出函数值的正负变化情况，再适当取点作出图像。
【例题讲解】
例１．函数仅有一个零点，求实数的取值范围。
例２．函数零点所在大致区间是（ ）
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
例3.关于的二次方程，若方程式有两根，其中一根在区间内，另一根在(1,2)内，求的范围。
参考答案：
例1.解：①若为一次函数，易知函数仅有一个零点。
②若为二次函数，仅有一个实根，△＝1+4
综上：或时，函数仅有一个零点。
例2.C
例3.解：由题意知
【当堂练习】
１．下列函数中在［１，２］上有零点的是（ ）
A. B.
C. D.
２．若方程在(0,1)内恰有一个实根，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
３．函数，若，则在上零点的个数为（ ）
A.至多有一个 B.有一个或两个 C.有且只有一个 D.一个也没有
４．已知函数是Ｒ上的奇函数，其零点，……，则＝ 。
５．一次函数在［０， １］无零点，则取值范围为 。
６．函数有两个零点，且都大于２，求的取值范围。
参考答案：
1.D
2.B
3.C
4. 0
5.
6.解
2.4.1 函数的零点 教案
教学目标：
1、知识目标：理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与方程根的关系 .
2、能力目标：体验函数零点概念的形成过程，引导学生学会用转化与数形结合思想方法研究问题，提高数学知识的综合应用能力.
3、情感目标：让学生初步体会事物间相互转化以及特殊到一般的辨证思想.
重点、难点：
教学过程：
一．自主达标
1．如果函数ｙ＝ｆ（ｘ）在实数处的值等于零，即ｆ（ｘ）＝０，则ｘ叫做 ．
２．把一个函数的图像与 叫做这个函数的零点．
３．二次函数ｙ＝ａ＋ｂｘ＋ｃ（ａ０），当
Δ＝－４ａｃ＞０时，二次函数有 个零点；
Δ＝－４ａｃ＝０时，二次函数有 个零点；
Δ＝－４ａｃ＜０时，二次函数有 个零点．
４．二次函数零点的性质：
（１）二次函数的图像是连续的，当它通过零点时（不是二重零点），
．
（２）在相邻的两个零点之间所有 ．
二。典例解析
例１．若函数ｆ（ｘ）＝＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，求ａ，ｂ的值．
例1、解：函数ｆ（ｘ）＝＋ａｘ＋ｂ的两个零点是２和－４，也就是方程＋ａｘ＋ｂ＝０的两个根是２和－４，由根与系数的关系可知得ａ＝２，ｂ＝－８．
评析：反常的根与函数零点的关系以及反常的根与系数的关系是本体解决关键．
例２．求证：方程５－７ｘ－１＝０的一个根在（－１，０）上，另一个根在（１，２）上．
例2、证明：设ｆ（ｘ）＝５－７ｘ－１，则ｆ（－１）ｆ（０）＝－１１＜０，ｆ（１）（２）＝－１５＜０．而二次函数ｆ（ｘ）＝５－７ｘ－１是连续的．所以，ｆ（ｘ）在（－１，０）和（１，２）上分别有零点．
即方程５－７ｘ－１＝０的根一个在（－１，０）上，另一个（１，２）在上．
评析：判断函数是否在（ａ，ｂ）上存在零点，除验证ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０是否成立外，还需考察函数是否在（ａ，ｂ）上连续．若判断根的个数问题，还须结合函数的单调性．
例３：学校请了３０名木工，要制作２００把椅子和１００张桌子．已知制作一张桌子与制作一把椅子的工时数之比为１０：７，问３０名工人应当如何分组（一组制桌子，另一组制椅子），能使完成全部任务最快？
例3、解：设名ｘ工人制桌子，（３０－ｘ）名工人制椅子，一个工人在一个单位时间里可制７张桌子或１０把椅子，所以
制作１００张桌子所需时间为函数ｐ（ｘ）＝，制作２００把椅子所需时间为函数ｑ（ｘ）＝，完成全部任务所需时间为ｙ（ｘ）＝ｍａｘ｛ｐ（ｘ），ｑ（ｘ）｝．
＝，解得ｘ＝１２．５，考虑到人数，考察ｐ（１２）与ｑ（１３），ｐ（１２）＝１．１９，ｑ（１３）＝１．１８，即ｙ（１２）＞ｙ（１３）．所以用１３名工人制作桌子，１７名工人制作椅子完成任务最快．
评析：对于本题要用变化的观点分析和探求具体问题中的数量关系，寻找已知量与未知量之间的内在联系，然后将这些内在联系与数学知识联想建立函数关系式或列出方程，利用函数性质或方程观点来解，则可使应用问题化生为熟，尽快得到解决．
三、达标练习：
１．已知函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调且ｆ（ａ）ｆ（ｂ）＜０，则函数ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上（ ）
Ａ．至少有一个零点 Ｂ．至多有一个零点 Ｃ．没有零点 Ｄ．必有唯一零点
２．已知ｆ（ｘ）＝（ｘ－ａ）（ｘ－ｂ）－２并且α，β是函数ｆ（ｘ）的两个零点，则实数ａ，ｂ，α，β的大小关系可能是（ ）
Ａ．ａ＜α＜ｂ＜β Ｂ．ａ＜α＜β＜ｂ Ｃ．Α＜ａ＜ｂ＜β
Ｄ．ａ＜ａ＜β＜ｂ
３．函数ｆ（ｘ）＝，则函数ｆ（ｘ）－０．２５的零点
．
４．如果函数f（x）=+ｍx＋（ｍ＋３）至多有一个零点，则ｍ的取值范围 ．
５．对于函数ｆ（ｘ）；若存在Ｒ，使ｆ（）＝成立，则称为ｆ（ｘ）的不动点．已知函数f（x）=a+（b＋１）x＋（ｂ－１）（ａ０）．
（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，求函数ｆ（ｘ）的不动点；
（２）若对任意实数ｂ，函数ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点，求ａ的取值范围．
参考答案：
１．Ｄ ２．Ｃ ３． ４．
５．（１）当ａ＝１，ｂ＝－２时，ｆ（ｘ）＝－ｘ－３，由题意可知ｘ＝－ｘ－３
解得ｘ＝－１或ｘ＝３，故当ａ＝１，ｂ＝－２时ｆ（ｘ）的两个相异的不动点为－１，３．
（２）f（x）=a+（b＋１）x＋（ｂ－１）恒有两个相异的不动点．
ｘ＝a+（b＋１）x＋（ｂ－１），即ａ＋ｂｘ＋（ｂ－１）＝０恒有两个相异的实数根，得Δ＝恒成立，即恒成立，于是＝，解得０＜ａ＜１．故当，ｆ（ｘ）恒有两个相异的不动点时，ａ取值范围为０＜ａ＜１．
