苏教版（2019）数学必修第一册 7.3.2.3 正切函数的图象与性质 教案 （word版含答案）

第七章　三角函数
7.3.2.3 正切函数的图象与性质
本节课是三角函数的继续，三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图像.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图像，然后通过图像研究正切函数的性质.
课程目标 学科素养
1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期. 2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性. 3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法． 1.数学抽象：借助单位圆理解正切函数的图像； 2.逻辑推理： 求正切函数的单调区间； 3.数学运算：利用性质求周期、比较大小及判断奇偶性. 4.直观想象：正切函数的图像； 5.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正切函数的性质.
教学重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；
教学难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.
1．函数y＝cos的单调减区间为________．
解析：∵y＝cos＝cos，
令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
2．若f(x)＝sin x，x∈，则f(x)的取值范围是________．
解析：由正弦函数图象知，当x＝时，f(x)max＝1，当x＝时，f(x)min＝，从而f(x)∈.
答案：
3．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．
解析：因为sin(x＋π)＝－sin x，所以要求y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间，即求y＝sin x在上的单调递减区间，易知为.
答案：
　函数y＝tan x的图象与性质见下表：
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
最小正周期 π
奇偶性 奇
单调性 在开区间(k∈Z)内都是增函数
典型例题
类型一　正切函数的定义域、值域问题
例1　(1)函数y＝3tan的定义域为________．
答案　
解析　由－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为.
(2)求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．
解　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，
得x≠＋，k∈Z，
所以函数的定义域为.
设t＝tan，
则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，
所以原函数的值域是.
总结　(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．
(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解．
变式训练　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
解　由题意得即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是.
又y＝tan x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
类型二　正切函数的单调性问题
命题角度1　求正切函数的单调区间
例2　求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．
解　y＝tan＝－tan，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z，周期T＝＝2π.
总结　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
命题角度2　利用正切函数的单调性比较大小
例3　比较大小：
(1)tan 32°________tan 215°；
(2)tan________tan.
答案　(1)<　(2)<
解析　(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，
∴tan 32°(2)tan＝tan＝tan，
tan＝tan＝tan，
∵y＝tan x在上单调递增，且－<－，
∴tan总结　运用正切函数的单调性比较大小的步骤
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；
(2)运用单调性比较大小关系．
类型三　正切函数综合问题
例4　设函数f(x)＝tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．
解　(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝2π.
令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝；令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．
总结　熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为，k∈Z.
变式训练　画出f(x)＝tan |x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．
考点　正切函数的综合应用
题点　正切函数的综合应用
解　f(x)＝tan |x|化为f(x)＝
根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan |x|的图象，如图所示，
由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(k∈N)；单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…).
正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间. 另外恰当地使用信息技术．有条件应尽量使用计算器（机）．把计算机变成学习的好伙伴．