指数函数与对数函数对照表
前面我们刚学了指数函数，现在我们又学了对数函数，而且同底的指数函数和对数函数互为反函数，你能分清它们之间的区别与联系吗？下表可帮助同学们理顺它们之间的关系，以形成对它们的整体认识．
指数函数和对数函数对照表
名称
指数函数
对数函数
一般形式
定义域
R
（0，＋∞）
值域
（0，＋∞）
R
函数值变化情况
当时，
当时，
当时，
当时，
单调性
当时，是增函数；
当时，是减函数．
当时，是增函数；当时，是减函数．
图象
（a＞0且a≠1）的图象与（a＞0且a≠1）的图象关于直线y=x对称．
当a＞1时， 当0＜a＜1时，
补充性质
当a＞1时，图象向上越靠近y轴，底数越大；
当0＜a＜1时，图象向上越靠近y轴，底数越小．
当a＞1时，图象向右越靠近x轴，底数越大；
当0＜a＜1时，图象向右越靠近x轴，底数越小．
理解并熟记表格最后一项中的补充性质，对我们认识函数的性质，运用数形结合的思想解题都有很大好处．
对数函数创新题两例
函数中的创新题，一般会给出新定义、新运算等，这就要求我们读懂题目，并把新概念、新定义、新运算与所学知识相结合，在较高层次上分析问题、解决问题．
例1 定义：函数，x∈D，若存在常数C，对于任意x1∈D，存在惟一的x2∈D，使得，则称函数在D上的“均值”为C，已知=lgx，x∈［10，100］，则函数=lgx在［10，100］上的均值为（ ）．
（A） （B） （C） （D）10
解析：由题意，当10≤x1≤100时，x2也要在［10，100］内，且，即x1x2是常数.
令，又≤≤，
∴，∴m=1000，
∴.
点评：本题是新定义题，其关键是在［10，100］上x2被x1惟一确定，且为常数，故可令，然后依据x2∈［10，100］，求出m＝1000，再由求出Ｃ.
例2 给定，n∈Ｎ*，定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的k（k∈Ｎ*）叫做“企盼数”，求区间（1，62）内的所有企盼数的和.
解：∵，
∴a1·a2·a3·…·ak＝log23×log34×log45×…×
log（k+1）（k+2）=.
设为整数m，即.
∴，即，
又∵k∈（1，62），即1＜2m－2＜62，∴3＜2m＜64，
∴m=2，3，4，5，代入得到k=2，6，14，30.
∴区间（1，62）内所有“企盼数”之和为2＋6＋14＋30＝52.
“同正异负” 你注意到了吗
结合对数函数的图象，我们可以归纳出下面的重要性质．
性质：在对数函数y=logax（a＞0且a≠1）中，
（1）若0＜a＜1且0＜x＜1，或a＞1且x＞1，则有y＞0；
（2）若0＜a＜1且x＞1，或a＞1且0＜x＜1，则有y＜0．
以上性质可以简称为：同区间为正，异区间为负．
在对数函数的学习中，以上性质往往容易被忽视，但它恰恰就是解决一些对数函数问题的关键所在．下面结合几个实例加以分析．
例1 如果loga3＞logb3＞0，那么a，b间的关系是（ ）．
（A）0＜a＜b＜1 （B）1＜a＜b
（C）0＜b＜a＜1 （D）1＜b＜a
解析：由于loga3＞logb3＞0，3＞1，结合“同区间为正”可得：a＞1，b＞1，
又由loga3＞logb3＞0得，
即log3b＞log3a，所以b＞a，
所以b＞a＞1，故选（B）．
例2 若定义在区间（－１，０）内的函数f（x）=log2a（x+1）满足f（x）＞0，则a的取值范围是（ ）．
（A） （B）
（C） （D）（０，＋∞）
解析：∵-1＜x＜0，∴0＜x+1＜1，又f（x）＞0，
结合“同区间为正”可得：０＜2a＜1，解得0＜a＜，故选（A）．
例3 已知，且｜logba｜=-logba，则有（ ）．
（A）a＞1且b＞1 （B）0＜a＜1且b＞1
（C）a＞1且0＜b＜1 （D）0＜a＜1且0＜b＜1
解析：∵，∴＞0．
同理可得logba＜0．结合同区间为正，异区间为负，得0＜a＜1，b＞1，故选（B）．
例4 设0＜a＜1，函数f（x）=loga（a2x-2ax-2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（ ）．
（A）（-∞，0） （B）（０，＋∞）
（C）（－∞，loga3） （D）（loga3，＋∞）
解析：由于０＜a＜1，由“异区间为负”可得：a2x-2ax-2＞1，
则（ax-3）（ax+1）＞0，
所以ax＞3，即x＜loga3，故可排除（A）、（B）、（D），选（C）．
例5 若log2a＜0，则a的取值范围是（ ）．
（A） （B）（１，+∞）
（C） （D）
解析：由“异区间为负”可得：，或．
解得＜a＜1，故选（C）．
