【名师解析】【2013济南市一模】山东省济南市2013届高三3月高考模拟 理科数学

山东省济南市2013届高三高考模拟考试
理科数学试题（2013济南一模）
本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页. 考试时间120分钟.满分150分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答案不能答在试卷上.
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
第I卷（选择题? 共60分）
一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集，集合，，则
A． B． C． D．
【答案】C
，，所以,选C.
2．已知复数 （是虚数单位），它的实部和虚部的和是
A．4 B．6 C．2 D．3
【答案】C
，所以实部为，虚部为，实部和虚部的和为，选C.
3．某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种
树苗的长势情况，从两块地各随机抽取了10株树苗，
用茎叶图表示上述两组数据，对两块地抽取树苗的高
度的平均数和中位数进行比较，下面
结论正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
从茎叶图可知，甲的数据集中在20到30之间，乙的数据集中在30到40之间，所以。甲的中位数为，而乙的中位数为，所以，选B.
4．已知实数满足，则目标函数的最小值为
A． B．5 C．6 D．7
【答案】A
由得。作出不等式对应的平面区域BCD,平移直线，由平移可知，当直线经过点C时，直线的截距最大，此时最小。由，解得，即,代入得最小值为，选A.
5．“”是“函数在区间上为增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
函数的单调增区间为，减区间为。所以当时，增区间为，所以在上也递增。当在区间上为增函数，则有，所以不一定成立，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件 ，选A.
6．函数的图象是

A. B. C. D.
【答案】B
因为，排除A. 无意义，排除D. ,排除C,选B.
7．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为
A． B． C． D．
【答案】D
第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；第六次循环，，不满足条件输出，选D.
8．二项式的展开式中常数项是
A．28 B．-7 C．7 D．-28
【答案】C
展开式的通项公式为，由得，所以常数项为，选C.
9．已知直线与圆相交于两点，且 则 的值是
A． B． C． D．0
【答案】A
在三角形中，，所以，所以,选A.
10．右图是函数在区间
上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将
的图象上所有的点
A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短到原来的倍，纵坐标不变
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
【答案】A
由图象知,，，所以。所以。由，得，所以。所以为了得到这个函数的图象，只需将的图象上所有的点
向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标
缩短到原来的倍，纵坐标不变，选A.
11．一个几何体的三视图如右图所示，则它的体积为
 A． B． C． D．
【答案】B
由三视图可知，该几何体是一个放到的四棱锥，其中四棱锥的底面是主视图，为直角梯形，直角梯形的上底为1，下底为4，高为4.棱锥的高位4，所以四棱锥的体积为，选B.
12．设,则下列关系式成立的是
A． B．
C． D．
【答案】C
，，，所以，，。因为，，所以。，，所以，即，所以，选C.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.
13．若点在直线上，其中则的最小值为 .
【答案】
因为点在直线上，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号。所以的最小值为2.
14．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右顶点，且渐近线方程为，则双曲线方程为 ．
【答案】
抛物线的焦点坐标为，即。双曲线的渐近线方程为，即，所以双曲线的方程为。
15．函数的部分图象如
图所示，设是图象的最高点，是图象与
轴的交点，则 ．
【答案】
函数的最大值是1，周期,则,,则所以
.
则函数
的零点个数为 ．
【答案】
由，即，解得。又，解得或。当时，，解得或，当时，，解得或，由，所以。由，所以。由，所以。
由，所以。所以共有8个零点。
三、解答题:本大题共6小题，共74分.
17． (本题满分12分)
已知，，且．
（1）将表示为的函数，并求的单调增区间；
（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，，求的面积．
18．(本题满分12分)
已知四棱锥的底面是等腰梯形，且
分别是的中点.
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
19． (本题满分12分)
数列的前项和为，，，等差数列满足
.
（1）分别求数列，的通项公式；
（2）设，求证．
20．(本题满分12分)
某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四
项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试。已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为
（1）求该生被录取的概率；
（2）记该生参加考试的项数为，求的分布列和期望．
21．(本题满分13分)
设函数.
(1) 求的单调区间与极值；
(2)是否存在实数，使得对任意的，当时恒有成立.若存在，求的范围，若不存在，请说明理由.
22．(本题满分13分)
已知椭圆的离心率为,且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC、BD过原点O，若,
(i) 求的最值.
(ii) 求证：四边形ABCD的面积为定值；
2013年3月济南市高考模拟考试理科数学参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
C
B
A
A
B
D
C
A
A
B
C
二、填空题
13 . 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解：（1）由得, …….………….……….…2分
即…………….………………4分
∴， ………………………………………………………………5分
∴，即增区间为…………………………………6分
（2）因为，所以，， ………………………………………7分
∴……………………………………………………………………………………8分
因为，所以． ………………………………………………………………………9分
由余弦定理得：，即 …………………………10分
∴，因为，所以 …………………………………………11分
∴. …………………………………………………………………………………12分
18. 证明：（1）分别是的中点.
是的中位线，---------------------------------2分
由已知可知-------------------------3分
----------------------------4分
----------------------------------5 分
----------------------------------------------------6分
（2）以所在直线为x轴，y轴，z轴，建系
由题设，，------------------------------7分
---------------------------------8分
设平面的法向量为
可得，-----------------------------10分
平面的法向量为
设二面角为，
--------------------------------------------------------12分
19. 解：（1）由----① 得----②，
①②得，…………………………………………2分
； ………………………………………………………………………………3分
…………………………………………………………………4分
…………………………………………………………………………6分
（2）因为 ………………………-………………………8分
所以 ………………………………………………………9分
所以 ………………………………………………………10分
………………………………………………………11分
所以 ………………………………………………………12分
20.解：（1）若该生被录取，则前四项最多有一项不合格，并且第五项必须合格
记A={前四项均合格}
B={前四项中仅有一项不合格}
则P(A)=…………………………………………………………2分
P(B)=………………………………………………4分
又A、B互斥，故所求概率为
P=P(A)+P(B)=…………………………………………………………………………………5分
（2）该生参加考试的项数可以是2，3，4，5.
，
，…………………………………9分
2
3
4
5
……………………………………10分
…………………………………………12分
21．解: (1).令，得；……………………………………………………1分
列表如下

-
0
+
极小值
的单调递减区间是，单调递增区间是.………………………………………………4分
极小值= ……………………………………………………5分
(2) 设，由题意，对任意的，当时恒有，即在上是单调增函数.………………………………………………………………………………………………7分
…………………………………………8分
,
令

……………………………………………………………………………… …………10分
若，当时，，为上的单调递增函数，
,不等式成立. …………………………………………………………11分
若，当时，，为上的单调递减函数，
，，与,矛盾…………………………………………12分
所以，a的取值范围为.……………………………………………………………………………………13分
22. 解：(1)由题意，，又，……………………………………………2分
解得,椭圆的标准方程为.……………………………………………………………4分
(2)设直线AB的方程为，设
联立，得
----------①
……………………………………………………………6分

……………………………………………………………7分
= …………………………………………………8分
…………………………………………………………9分
(i)

当k=0(此时满足①式),即直线AB平行于x轴时，的最小值为-2.
又直线AB的斜率不存在时，所以的最大值为2. …………………………………11分
(ii)设原点到直线AB的距离为d，则
.
即,四边形ABCD的面积为定值…………………………………………………………13分