高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《132-2 函数奇偶性的应用》(打包2份,含答案详解)

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名称 高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《132-2 函数奇偶性的应用》(打包2份,含答案详解)
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资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2013-04-11 14:54:12

文档简介

课件37张PPT。第2课时 函数奇偶性的应用大自然是一个真正的美的设计师,它用对称的方法创造了千百万种不同的生命.在技术设计中,也经常运用对称方法.被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型,是一只硕大无比、展开双翅的海鸥.它的两翼呈对称状,看上去舒展优美,它象征着浦东将展翅高飞,飞向更高、更广阔的天地,创造新的、宏伟的业绩.一些函数的图象也有着如此美妙的对称性,这种对称性体现了函数的什么性质?1.奇函数f(x)的图象关于原点对称,当f(x)的定义域为R时,必有f(0)=0.
2.如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是 函数.
3.若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是 ,且有 .
4.若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是 .偶增函数最小值-M增函数3.若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,且f(1)(  )
A.f(-1)f(-2)
C.f(-1)=f(1) D.f(-2)=f(1)
解析:∵f(1)∴-f(1)>-f(2).
又已知f(x)是奇函数,∴f(-1)>f(-2).
答案:B4.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是________.
解析:∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(-2)=f(2),
f(-π)=f(π),
又f(x)在[0,+∞)上递增,而2<3<π,
∴f(π)>f(3)>f(2),
即f(-π)>f(3)>f(-2).
答案:f(-π)>f(3)>f(-2)5.已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x+2.
(1)求f(x)的解析式;
(2)画出f(x)的图象,并指出f(x)的单调区间.(2)先画出y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应y=f(x)(x<0)的图象,其图象如下图所示.
由图可知,其增区间为[-1,0)及(0,1],
减区间为(-∞,-1]及[1,+∞).类型一 利用函数奇偶性求值
【例1】 已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,那么f(2)=__________.
解:注意到函数f(x)中多项式部分x5+ax3+bx的指数均为奇数,因此可设g(x)=x5+ax3+bx,于是函数g(x)为奇函数.于是f(-2)=g(-2)-8=10,则得g(-2)=18,也即g(2)=-18.从而f(2)=g(2)-8=-26.温馨提示:在给出函数解析式的前提下,如何根据f(-2)求f(2),显然这类问题无需将-2,2代入计算,关键是利用函数的奇偶性进行转化,一般来说这类问题都可以转化奇偶函数来解决.例如,本题g(x)=f(x)+8,则g(x)为奇函数.当然这里的x5+ax3+bx是本质,只要这部分为奇函数即可,结果一样. 类型二 利用函数奇偶性求函数表达式
【例2】 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+x+1,求f(x)的解析式.
思路分析:本题已知x>0时f(x)的解析式,只需再求出x=0及x<0的表达式即可.已知f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),利用这一条件将x>0的解析式进行转化,可求得x<0的解析式.温馨提示:在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间里,然后利用已知区间的解析式进行代入,利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x),从而解出f(x).思路分析:利用奇函数的定义和增(减)函数的定义求解. 已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数,若F(x)=af(x)+bg(x)+2(a,b为常数),且F(-2)=5,则F(2)=____________.
解析:因为f(x)、g(x)均为奇函数,所以F(-x)=af(-x)+bg(-x)+2=-[af(x)+bg(x)]+2=-[af(x)+bg(x)+2]+4=-F(x)+4.
故F(-2)=-F(2)+4=5,∴F(2)=-1.
答案:-1 已知f(x)是偶函数,且当x>0时,f(x)=x3+2x-3,求f(x)在x<0的解析式.
解:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),
∵x<0,∴-x>0,
∴f(-x)=(-x)3+2(-x)-3=-x3-2x-3.
∴f(x)=-x3-2x-3(x<0).1.函数的奇偶性与单调性的综合问题主要体现在两个重要的性质上:(1)奇函数在关于原点对称区间上有相同的单调性,即已知f(x)是奇函数,它在区间[a,b]上是增函数(减函数),则f(x)在区间[-b,-a]上也是增函数(减函数);(2)偶函数在关于原点对称区间上有相反的单调性,即已知f(x)是偶函数且在区间[a,b]上为增函数(减函数),则f(x)在区间[-b,-a]上为减函数(增函数).2.利用函数的单调性与奇偶性可以求解一些抽象不等式、比较大小及单调性的证明等综合性较强的问题.常值函数
常值函数是初等函数中最简单的一种,就是值域只包含一个元素的函数;换句话说,就是因变量取固定值的函数.
复变函数论中的刘维尔定理告诉人们:平面上的有界全纯函数只能是常值函数.
常值函数是周期函数,但没有最小正周期.1.周期函数的定义:对于函数y=f(x),若存在常数T≠0,使得f(x+T)=f(x),则函数y=f(x)称为周期函数,T称为此函数的周期.
性质(1):若T是函数y=f(x)的任意一个周期,则T的相反数(-T)也是f(x)的周期.
性质(2):若T是函数f(x)的周期,则对于任意的整数n(n≠0),nT也是f(x)的周期.
性质(3):若T1、T2都为函数f(x)的周期,且T1±T2≠0,则T1±T2也是f(x)的周期.2.定义:在函数f(x)的周期的集合中,我们称其正数者为函数f(x)的正周期,称其负数者为函数f(x)的负周期.若所有正周期中存在最小的一个,则我们称之为函数f(x)的最小正周期,记作T.
性质(4):若T为函数f(x)的最小正周期,则nT(n∈Z,n≠0)为函数f(x)的任意一个周期.
基础达标
一、选择题
1.有下列4个命题:
①偶函数的图象一定与纵轴相交;
②奇函数的图象一定通过原点;
③即是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R);
④偶函数的图象关于纵轴对称.
其中正确的命题有
(  )
A.1个         B.2个
C.3个 D.4个
解析:只有④正确,③中x∈R,定义域只要关于原点对称即可.函数f(x)=0不唯一.
答案:A
2.若函数y=f(x)的定义域是[0,1],则下列函数中,可能是偶函数的一个为
(  )
A.y=[f(x)]2 B.y=f(2x)
C.y=f(|x|) D.y=f(-x)
解析:A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称.
答案:C
3.已知y=f(x)是偶函数,且其图象与x轴有4个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是
(  )
A.0 B.1
C.2 D.4
解析:∵f(x)是偶函数,且f(-x)=f(x).
答案:A
4.设f(x)是定义在R上的任意一个增函数,G(x)=f(x)-f(-x),则G(x)必定为
(  )
A.增函数且为奇函数 B.增函数且为偶函数
C.减函数且为奇函数 D.减函数且为偶函数
解析:f(x)的定义域为R,则G(x)=f(x)-f(-x)的定义域为R,又G(-x)=f(-x)-f(x)=-G(x),
∴G(x)为奇函数.设x1则G(x1)-G(x2)=f(x1)-f(-x1)-f(x2)+f(-x2)
=f(x1)-f(x2)-[f(-x1)-f(-x2)]
又f(x)在R上是增函数,则f(x1)f(-x2)
∴f(x1)-f(x2)<0,-[f(-x1)-f(-x2)]<0,
即G(x1)答案:A
5.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)递增,当x1<0,x2<0时有|x1|<|x2|,则
(  )
A.f(-x1)>f(-x2)
B.f(-x1)=f(-x2)
C.f(-x1)D.f(-x1)与f(-x2)大小关系不确定
解析:由已知0<-x1<-x2,∵x<0时f(x)递增,∴x>0时f(x)递减,∴f(-x1)>f(-x2).
答案:A
6.f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)为
(  )
A.0.5 B.-0.5
C.1.5 D.-1.5
解析:f(x+4)=-f(x+2)=f(x).∴f(7.5)=f(3.5)=f(-0.5+4)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
答案:B
二、填空题
7.若y=(a-1)x2-2ax+3为偶函数,则在(-∞,3]内函数的单调区间为________.
解析:a=0,y=-x2+3结合二次函数的单调性知.
答案:(-∞,0)上为增函数,在[0,3]上为减函数.
8.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx的奇偶性是________.
解析:∵f(x)=ax2+bx+c是偶函数,∴b=0,g(x)=ax3+cx,即为奇函数.
答案:奇函数
9.设定义在R上的函数f(x)恒大于0,则下列函数:①y=-f(x)f(-x),②y=xf(x2),③y=-f(-x),④y=f(x)-f(-x)中必为奇函数的有________.(要求填写正确答案的序号)
解析:令g(x)=-f(x)f(-x),则g(-x)=-f(-x)f(x)=g(x),∴y=-f(x)f(-x)为偶函数;
令g(x)=xf(x2),则g(-x)=(-x)f[(-x)2]=-xf(x2)=-g(x),∴y=xf(x2)为奇函数.
令g(x)=-f(-x),则g(-x)=-f(x)与g(x)=-f(-x)不一定有关系,∴y=-f(-x)不一定是奇函数.
令g(x)=f(x)-f(-x),则g(-x)=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-g(x),∴y=f(x)-f(-x)为奇函数.
答案:②④
三、解答题
10.已知f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x|x-2|,求x<0时,f(x)的表达式.
解:∵x<0,则-x>0,
∴f(-x)=(-x)|(-x)-2|.
又f(x)为奇函数,
∴f(x)=-f(-x)=-(-x)|(-x)-2|=
x|x+2|.
故当x<0时,f(x)=x|x+2|.
11.已知函数f(x)对一切x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y),
(1)求证:f(x)是奇函数;
(2)若f(-3)=a,试用a表示f(12).
解:(1)由已知f(x+y)=f(x)+f(y),
令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x),
令x=y=0得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.
∴f(x)+f(-x)=0,
即f(-x)=-f(x),
故f(x)是奇函数.
(2)∵f(x)为奇函数.
∴f(-3)=-f(3)=a,
∴f(3)=-a.
又f(12)=f(6)+f(6)=2f(3)+2f(3)=4f(3),
∴f(12)=-4a.
创新题型
12.设f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,对任意a、b∈[-1,1],当a+b≠0时,都有>0.
(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;
(2)解不等式f(x-)解:(1)若a>b,则a-b>0,依题意有
>0成立,∴f(a)+f(-b)>0.
又∵f(x)是奇函数,∴f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).
(2)由(1)可知f(x)在[-1,1]上是增函数.则所求不等式等价于