课件37张PPT。第2课时 函数奇偶性的应用大自然是一个真正的美的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命．在技术设计中，也经常运用对称方法．被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥．它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造新的、宏伟的业绩．一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，这种对称性体现了函数的什么性质？1．奇函数f(x)的图象关于原点对称，当f(x)的定义域为R时，必有f(0)＝0.
2．如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是 函数．
3．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是 ，且有 .
4．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是 ．偶增函数最小值－M增函数3．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)( )
A．f(－1)f(－2)
C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)
解析：∵f(1)∴－f(1)>－f(2)．
又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)>f(－2)．
答案：B4．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是________．
解析：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－2)＝f(2)，
f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，
∴f(π)>f(3)>f(2)，
即f(－π)>f(3)>f(－2)．
答案：f(－π)>f(3)>f(－2)5．已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如下图所示．
由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]，
减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞)．类型一 利用函数奇偶性求值
【例1】 已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，那么f(2)＝__________.
解：注意到函数f(x)中多项式部分x5＋ax3＋bx的指数均为奇数，因此可设g(x)＝x5＋ax3＋bx，于是函数g(x)为奇函数．于是f(－2)＝g(－2)－8＝10，则得g(－2)＝18，也即g(2)＝－18.从而f(2)＝g(2)－8＝－26.温馨提示：在给出函数解析式的前提下，如何根据f(－2)求f(2)，显然这类问题无需将－2,2代入计算，关键是利用函数的奇偶性进行转化，一般来说这类问题都可以转化奇偶函数来解决．例如，本题g(x)＝f(x)＋8，则g(x)为奇函数．当然这里的x5＋ax3＋bx是本质，只要这部分为奇函数即可，结果一样． 类型二 利用函数奇偶性求函数表达式
【例2】 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．
思路分析：本题已知x>0时f(x)的解析式，只需再求出x＝0及x<0的表达式即可．已知f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，利用这一条件将x>0的解析式进行转化，可求得x<0的解析式．温馨提示：在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间里，然后利用已知区间的解析式进行代入，利用f(x)的奇偶性把f(－x)写成－f(x)或f(x)，从而解出f(x)．思路分析：利用奇函数的定义和增(减)函数的定义求解． 已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数，若F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2(a，b为常数)，且F(－2)＝5，则F(2)＝____________.
解析：因为f(x)、g(x)均为奇函数，所以F(－x)＝af(－x)＋bg(－x)＋2＝－[af(x)＋bg(x)]＋2＝－[af(x)＋bg(x)＋2]＋4＝－F(x)＋4.
故F(－2)＝－F(2)＋4＝5，∴F(2)＝－1.
答案：－1 已知f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋2x－3，求f(x)在x<0的解析式．
解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
∵x<0，∴－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－3＝－x3－2x－3.
∴f(x)＝－x3－2x－3(x<0)．1．函数的奇偶性与单调性的综合问题主要体现在两个重要的性质上：(1)奇函数在关于原点对称区间上有相同的单调性，即已知f(x)是奇函数，它在区间[a，b]上是增函数(减函数)，则f(x)在区间[－b，－a]上也是增函数(减函数)；(2)偶函数在关于原点对称区间上有相反的单调性，即已知f(x)是偶函数且在区间[a，b]上为增函数(减函数)，则f(x)在区间[－b，－a]上为减函数(增函数)．2．利用函数的单调性与奇偶性可以求解一些抽象不等式、比较大小及单调性的证明等综合性较强的问题．常值函数
常值函数是初等函数中最简单的一种，就是值域只包含一个元素的函数；换句话说，就是因变量取固定值的函数．
复变函数论中的刘维尔定理告诉人们：平面上的有界全纯函数只能是常值函数．
常值函数是周期函数，但没有最小正周期．1．周期函数的定义：对于函数y＝f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x＋T)＝f(x)，则函数y＝f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期．
性质(1)：若T是函数y＝f(x)的任意一个周期，则T的相反数(－T)也是f(x)的周期．
性质(2)：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期．
性质(3)：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期．2．定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期．若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T.
性质(4)：若T为函数f(x)的最小正周期，则nT(n∈Z，n≠0)为函数f(x)的任意一个周期．
基础达标
一、选择题
1．有下列4个命题：
①偶函数的图象一定与纵轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③即是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)；
④偶函数的图象关于纵轴对称．
其中正确的命题有
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：只有④正确，③中x∈R，定义域只要关于原点对称即可．函数f(x)＝0不唯一．
答案：A
2．若函数y＝f(x)的定义域是[0,1]，则下列函数中，可能是偶函数的一个为
( )
A．y＝[f(x)]2 B．y＝f(2x)
C．y＝f(|x|) D．y＝f(－x)
解析：A、B、D三项函数的定义域不关于原点对称．
答案：C
3．已知y＝f(x)是偶函数，且其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是
( )
A．0 B．1
C．2 D．4
解析：∵f(x)是偶函数，且f(－x)＝f(x)．
答案：A
4．设f(x)是定义在R上的任意一个增函数，G(x)＝f(x)－f(－x)，则G(x)必定为
( )
A．增函数且为奇函数 B．增函数且为偶函数
C．减函数且为奇函数 D．减函数且为偶函数
解析：f(x)的定义域为R，则G(x)＝f(x)－f(－x)的定义域为R，又G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－G(x)，
∴G(x)为奇函数．设x1则G(x1)－G(x2)＝f(x1)－f(－x1)－f(x2)＋f(－x2)
＝f(x1)－f(x2)－[f(－x1)－f(－x2)]
又f(x)在R上是增函数，则f(x1)f(－x2)
∴f(x1)－f(x2)<0，－[f(－x1)－f(－x2)]<0，
即G(x1)答案：A
5．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)递增，当x1<0，x2<0时有|x1|<|x2|，则
( )
A．f(－x1)>f(－x2)
B．f(－x1)＝f(－x2)
C．f(－x1)D．f(－x1)与f(－x2)大小关系不确定
解析：由已知0<－x1<－x2，∵x<0时f(x)递增，∴x>0时f(x)递减，∴f(－x1)>f(－x2)．
答案：A
6．f(x)是R上的奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)为
( )
A．0.5 B．－0.5
C．1.5 D．－1.5
解析：f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(7.5)＝f(3.5)＝f(－0.5＋4)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5.
答案：B
二、填空题
7．若y＝(a－1)x2－2ax＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________．
解析：a＝0，y＝－x2＋3结合二次函数的单调性知．
答案：(－∞，0)上为增函数，在[0,3]上为减函数．
8．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx的奇偶性是________．
解析：∵f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数，∴b＝0，g(x)＝ax3＋cx，即为奇函数．
答案：奇函数
9．设定义在R上的函数f(x)恒大于0，则下列函数：①y＝－f(x)f(－x)，②y＝xf(x2)，③y＝－f(－x)，④y＝f(x)－f(－x)中必为奇函数的有________．(要求填写正确答案的序号)
解析：令g(x)＝－f(x)f(－x)，则g(－x)＝－f(－x)f(x)＝g(x)，∴y＝－f(x)f(－x)为偶函数；
令g(x)＝xf(x2)，则g(－x)＝(－x)f[(－x)2]＝－xf(x2)＝－g(x)，∴y＝xf(x2)为奇函数．
令g(x)＝－f(－x)，则g(－x)＝－f(x)与g(x)＝－f(－x)不一定有关系，∴y＝－f(－x)不一定是奇函数．
令g(x)＝f(x)－f(－x)，则g(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－g(x)，∴y＝f(x)－f(－x)为奇函数．
答案：②④
三、解答题
10．已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x|x－2|，求x<0时，f(x)的表达式．
解：∵x<0，则－x>0，
∴f(－x)＝(－x)|(－x)－2|.
又f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x)|(－x)－2|＝
x|x＋2|.
故当x<0时，f(x)＝x|x＋2|.
11．已知函数f(x)对一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
(1)求证：f(x)是奇函数；
(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
解：(1)由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0.
∴f(x)＋f(－x)＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
故f(x)是奇函数．
(2)∵f(x)为奇函数．
∴f(－3)＝－f(3)＝a，
∴f(3)＝－a.
又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，
∴f(12)＝－4a.
创新题型
12．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，对任意a、b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有>0.
(1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小；
(2)解不等式f(x－)解：(1)若a>b，则a－b>0，依题意有
>0成立，∴f(a)＋f(－b)>0.
又∵f(x)是奇函数，∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)．
(2)由(1)可知f(x)在[－1,1]上是增函数．则所求不等式等价于
