课件39张PPT。第2课时 补集及集合的综合应用上课前，任课老师让班长查查谁没有来，班长看看教室里的同学，就知道谁没有来，这是运用了集合中的哪一个知识点，请作出相应解释．
运用集合的补集知识：把班里的全体同学构成的集合看作U，教室里的同学构成的集合看作集合A，则没有来的同学构成的集合B恰是集合A在集合U中的补集．1．在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，称这个给定的集合为
全集，通常用U表示．
2．如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中
所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作?UA，读作“ ”，用符号表示为?UA＝ ．不属于A的A在U中的补集{x|x?A且x∈U}全集3．全集通常用 表示，全集与它的任意一个真子集之间的关系用Venn图可表示为．
4．A∪(?UA)＝ ，A∩(?UA)＝ ，?U(?UA)＝ .UU?A1．(2009·全国Ⅱ)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，M＝{1,3,5,7}，N＝{5,6,7}，则?U(M∪N)＝ ( )
A．{5,7} B．{2,4}
C．{2,4,8} D．{1,3,5,6,7}
解析：M∪N＝{1,3,5,6,7}，故?U(M∪N)＝{2,4,8}．
答案：C2．(2009·广东文)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )
解析：由N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1,0}，得N?M.
答案：B3．(2010·浙江高考)设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则
( )
A．P?Q B．Q?P
C．P??RQ D．Q??RP
解析：∵Q＝{x|－2
答案：B4．已知集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,3,4}，B＝{4,5}，则A∩(?UB)＝________.
答案：{2,3}5．设全集为R，A＝{x|x<－4或x>1}，B＝{x|－2解：(1)A∩B＝{x|1(2)∵?RA＝{x|－4≤x≤1}，
∴(?RA)∩B＝{x|－2(3)∵?RB＝{x|x≤－2或x≥3}，
∴A∪(?RB)＝{x|x≤－2或x>1}．类型一 补集的运算
【例1】 设U＝{x|－5≤x<－2，或2思路分析：先确定集合U、集合A的元素，再依据补集定义求解．解法一：在集合U中，∵x∈Z，
则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，
∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．
又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，
∴?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．解法二：可用Venn图表示
则?UA＝{－5，－4,3,4}，?UB＝{－5，－4,5}．
温馨提示：解决与整数有关的集合问题时，最好把集合的元素一一列举出来，结合Venn图来解决． 类型二 并、交、补综合运算
【例2】 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x≤1}，求?UA，?UB，(?UA)∩(?UB)，(?UA)∪(?UB)，?U(A∩B)，?U(A∪B)，并指出其中相等的集合．
思路分析：在数轴上将各集合标出，利用数轴这一直观工具求解．解：如下图，将全集U和集合A，B在数轴上标出．
由上图可知：?UA＝{x|－1≤x≤3}，?UB＝{x|－5≤x<－1或1(?UA)∩(?UB)＝{x|1?U(A∩B)＝U，?U(A∪B)＝{x|1相等的集合有：(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)，(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．温馨提示：对数集进行集合运算，常借助于数轴将问题形象化、直观化，即数形结合的思想． 类型三 用Venn图进行补集运算
【例3】 设U为全集，M，P，N是U的三个子集，则图中阴影部分表示的集合是 ( )
A．(M∩P)∩N
B．(M∩P)∪N
C．(M∩P)∩(?UN)
D．(M∩P)∪(?UN)解析：如右图，阴影部分为M∩P，而题目要求的是在M∩P的基础上去掉被集合N覆盖的部分，换句话说即是与?UN做交运算．从而图中阴影部分表示的集合为(M∩P)∩(?UN)，故选C.
答案：C温馨提示：对于给定集合求阴影部分所表示的集合问题，可先确定两个主要的集合运算，对于去掉的部分可用与补集相交的方法来解决． 类型四 补集思想的运用
【例4】 已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠?，求实数m的取值范围．
思路分析：A∩B≠?，说明集合A是由方程x2－4mx＋2m＋6＝0①的实根组成的非空集合，并且方程①的根有：(1)两负根；(2)一负根一零根；(3)一负根一正根三种情况，分别求解十分麻烦，这时我们从求解问题的反面考虑，采用“正难则反”的解题策略，即先由Δ≥0，求出全集U，然后求方程①两根均为非负时m的取值范围，最后再利用“补集”求解．温馨提示：本题运用的“正难则反”的解题策略，正是运用了“补集思想”．对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能起到化难为易、化隐为显的作用，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现． 设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，?UA＝{x|x>4或x<3}，求a，b的值．
解：∵A＝{x|a≤x≤b}，
∴?UA＝{x|x>b或x又?UA＝{x|x>4或x<3}，
∴a＝3，b＝4. 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2集合B＝{x|－3求?UA，A∩B，?U(A∩B)，(?UA)∩B.
解：把全集U和集合A，B在数轴上表示出来如下图：由图可知：
?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
A∩B＝{x|－2?U(A∩B)＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，
(?UA)∩B＝{x|－3 已知全集U，M、N是U的非空子集，若?UM?N，则必有 ( )
A．M??UN B．M??UN
C．?UM＝?UN D．M＝N
解析：由?UM?N，知集合N有两种情况，如下图．所以选A.
答案：A 已知方程x2＋ax＋1＝0，x2＋2x－a＝0，x2＋2ax＋2＝0，若三个方程至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．一个集合与其补集中的元素所属关系是非此即彼，补集与交、并集的综合运算要注意分步进行．
1．对集合中含参数的元素，要由条件先求出参数再作集合的运算．
2．集合是实数集的真子集时，其交、并、补运算要结合数轴进行．
3．有些较复杂的集合的运算可以先化简再进行．如：(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)，计算等号前的式子需三次运算，而计算等号后的式子需两次运算．4．根据交、并、补集中元素的个数求各集合的元素个数问题，常使用Venn图，在图中把各部分都标上数据既可作四则运算，又可列方程．模糊数学的产生与集合论
现代数学是建立在集合论的基础上．集合论的重要意义就一个侧面看，在于它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处．一组对象确定一组属性，人们可以通过说明属性来说明概念(内涵)，也可以通过指明对象来说明它．符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延，外延其实就是集合．从这个意义上讲，集合可以表现概念，而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理，一切现实的理论系统都有可能纳入集合描述的数学框架．但是，数学的发展也是阶段性的．经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上，它明确地限定：每个集合都必须由明确的元素构成，元素对集合的隶属关系必须是明确的，决不能模棱两可．对于那些外延不分明的概念和事物，经典集合论是暂时不去反映的，属于待发展的范畴．在较长时间里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，获得显著效果．但是，在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象．以前人们回避它，但是，由于现代科技所面对的系统日益复杂，模糊性总是伴随着复杂性出现．
各门学科，尤其是人文、社会科学及其他“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位．更重要的是，随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展，要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性．人与计算机相比，一般来说，人脑具有处理模糊信息的能力，善于判断和处理模糊现象．但计算机对模糊现象识别能力较差，为了提高计算机识别模糊现象的能力，就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵活地作出相应的判断，从而提高自动识别和控制模糊现象的效率．这样，就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学．所以，模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性．
基础达标
一、选择题
1．(2010·山东高考)已知全集U＝R，集合M＝{x||x－1|≤2}，则?UM＝
( )
A．{x|－1C．{x|x<－1或x>3} D．{x|x≤－1或x≥3}
解析：由|x－1|≤2得－1≤x≤3，∴M＝{x|－1≤x≤3}，∴?UM＝{x|x<－1或x>3}．
答案：C
2．已知全集U＝{0,1,2,3,4,5}，集合M＝{0,3,5}，N＝{1,4,5}，则集合M∩(?UN)等于
( )
A．{5} B．{0,3}
C．{0,2,5} D．{0,1,3,4,5}
解析：∵U＝{0,1,2,3,4,5}，
∴?UN＝{0,2,3}，
∴M∩(?UN)＝{0,3}．故选B.
答案：B
3．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素的个数是
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，
B＝{x|x＝2a，a∈A}＝{2,4}，
∴A∪B＝{1,2,4}，
∵?U(A∪B)＝{3,5}中有2个元素．
故选B.
答案：B
4．设U＝Z，A＝{1,3,5,7,9}，B＝{1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是
( )
A．{1,3,5}
B．{1,2,3,4,5}
C．{7,9}
D．{2,4}
解析：由Venn图可知阴影部分表示的集合为B∩(?UA)＝{2,4}．
答案：D
5．已知U＝{x|－1≤x≤3}，A＝{x|－1( )
A．?UA＝B B．?UB＝C
C．?UA?C D．A?C
解析：∵B＝{－1,3}，?UA＝{－1,3}，
∴?UA＝B.故选A.
答案：A
6．设A、B、I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是
( )
A．(?IA)∪B＝I B．(?IA)∪(?IB)＝I
C．A∩(?IB)＝? D．(?IA)∩(?IB)＝?IB
解析：如下图是符合题意的Venn图，从图中可观察A、C、D均正确，只有B不成立．故选B.
答案：B
二、填空题
7．如下图有全集I及集合A、B、C，则阴影部分可用集合的运算表示为____________．
解析：阴影部分位于集合B内，且位于集合A、C的外部，故可表示为B∩(?IA)∩(?IC)．
答案：B∩(?IA)∩(?IC)
8．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，若B∪(?UB)＝A，则?UB＝________.
解析：∵B∪(?UB)＝A，∴A＝U.
(1)当x2＝3时，x＝±，B＝{1,3}，
?UB＝{}或{－}；
(2)当x2＝x时，x＝0或1.
当x＝0时，B＝{0,1}，?UB＝{3}；
而当x＝1不合题意，舍去．
答案：{－}或{}或{3}
9．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1解析：如下图所示，由图可知C??UA，且C?B，∴C＝B∩(?UA)．
答案：B∩(?UA)
三、解答题
10．设集合A＝{x|－5≤x≤3}，B＝{x|x<－2或x>4}，求A∩B，(?RA)∪(?RB)．
解：A∩B＝{x|－5≤x≤3}∩{x|x<－2或x>4}＝{x|－5≤x<－2}，
?RA＝{x|x<－5或x>3}，
?RB＝{x|－2≤x≤4}．
∴(?RA)∪(?RB)
＝{x|x<－5或x>3}∪{x|－2≤x≤4}
＝{x|x<－5或x≥－2}．
11．设全集U＝R，A＝{x|3m－1解：(1)若A＝?，3m－1≥2m即m≥1时，符合题意．
(2)若A≠?，则m<1时，
?UA＝{x|x≥2m，或x≤3m－1}．
要使B?(?UA)，需有
①－1≥2m?m≤－，或
②3m－1≥3?m≥与m<1矛盾，(舍去)．
综上可知：所求m的取值范围是m≥1或m≤－.
创新题型
12．我们知道，如果集合A?U，那么U的子集A的补集为?UA＝{x|x∈U，且x?A}，类似地，对于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x?B}叫做A与B的差集，记作A－B，例如A＝{1,2,3,5,8}，B＝{4,5,6,7,8}，则A－B＝{1,2,3}，B－A＝{4,6,7}．
据此，回答以下问题：
(1)补集与差集有什么异同点？
(2)若U是高一(1)班全体同学组成的集合，A是高一(1)班全体女同学组成的集合，求U－A及?UA.
(3)在下列各图中，用阴影表示集合A—B.
(4)如果A－B＝?，那么A与B之间具有怎样的关系？
解：(1)补集?UA的前提条件是A?U，而差集则无此要求，这是两种运算的不同之处；相同点都是x属于一个集合，但又不属于另一个集合．
(2)U－A＝{x|x是高一(1)班的全体男生}；
?UA＝{x|x是高一(1)班的全体男生}．
(3)答案如下图各图．
(4)若A－B＝?，则A?B.
