课件48张PPT。1．2.1 函数的概念学习竞赛活动结束后，老师为竞赛获胜的同学买精装笔记本作奖品．已知每个本子两元钱，老师买了十五个，花去了三十元钱，这里本子的个数确定了，花钱的数目就唯一确定了，本子数和钱数就满足一定的关系，这个关系在数学上就叫函数关系．函数关系的例子还有很多，再如某人在不同的时期其身高可能不同也可能相同，但是某一个时间确定了，他的身高就唯一确定了，这里的时间与身高也是函数关系，那么怎样的两个变量，就叫函数关系呢？
本节就从这个函数关系的定义出发，学习函数的一些基本概念．1．函数：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的 ，在集合B中都有 和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作 .
2．对于函数y＝f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做 ；与x的值相对应的y值叫做 ，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 ．任意一个实数x唯一确定的数f(x)y＝f(x)，x∈A函数的定义域函数值值域3．函数的三要素： 、 、
.
4．区间：设a，b是两个实数，且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示为 ．
(2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x答案：[－12,10)解：(1)前者的定义域是R，后者的定义域是N，由于它们的定义域不同，故不相同．
(2)前者的定义域是R，后者的定义域是{x|x≥0}，它们的定义域不同，故不相同．
(3)定义域相同均为非零实数，对应关系相同都是自变量取倒数后加1，故相同．温馨提示：判断由一个式子是否能确定y是x的函数的程序是：对于由式子有意义所确定的x的取值集合中任一个x的值，由式子是否可确定唯一的一个y的值与之对应，也可以看由式子解出x的解析式是否唯一．也就是“取元的任意性，取值的唯一性”．即自变量在定义域内任取一个值，其函数值必须对应着唯一的值． 思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①已知函数的解析式；
②由解析式可确定函数定义域．
解答本题结合相同函数的定义判断函数三要素是否一致即可．
解：(1)f(x)的定义域是{x|x≠1}，g(x)的定义域是R，它们的定义域不同，故不相同．
(2)定义域相同，都是R，但是g(x)＝|x|，即它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相同．
(3)定义域相同，都是R，但是它们的解析式不同，也就是对应关系不同，故不相同．(4)定义域相同，都是R，解析式化简后都是y＝|x|，也就是对应关系相同．定义域和对应关系相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故两函数相同．温馨提示：讨论函数问题时，要保持定义域优先的原则．判断两个函数是否相同，要先求定义域，若定义域不同，则不相同；若定义域相同，再化简函数的解析式，若解析式相同，则相同，否则不相同． 思路分析：只需把自变量的值代入对应关系式即可，但要同时注意f[g(x)]中，g(x)整体充当了自变量．温馨提示：求函数值主要利用代入法，多步代入时要注意式子的化简和符号的变化． 如下图所示，可表示函数y＝f(x)的图象只能是
( )解析：判断一个图象是否是某一个函数的图象，应看它是否符合函数的概念，即对定义域内的任意数x，按照某种确定的对应关系，都有唯一确定的数y与它对应．对于A、C中令x＝0，有两个y与之对应．而B中，当x取大于0的任意值时，也都有两个y值与之对应．
答案：D (2)已知f(x)＝2x2＋1，g(x)＝3－x，求f[g(－1)]，g[f(1)]，f[g(x)]．
解：∵g(－1)＝4，∴f[g(－1)]＝f(4)＝2×42＋1＝33；
∵f(1)＝2×12＋1＝3，∴g[f(1)]＝g(3)＝3－3＝0；
∵f(x)＝2x2＋1，g(x)＝3－x，
∴f[g(x)]＝2(3－x)2＋1＝2x2－12x＋19. 若函数f(x)的定义域为[－2,1]，求g(x)＝f(x)＋f(－x)的定义域． 1．对函数的概念的理解
(1)y＝f(x)表示y是x的函数，是一个整体符号，不是f与x的乘积．
(2)在y＝f(x)中，x是自变量，f代表对应关系．
关于自变量，同学们刚接触的时候，会因为函数的定义而认为自变量只能用x表示，其实用什么字母表示自变量都可以，关键是符合定义，x只是一个较为常用的习惯性符号，当然也可以用t等表示自变量．关于对应关系f，它是函数的本质特征，它好比是计算机中的某个“程序”，当f( )中括号内输入一个值时，在此“程序”作用下便可输出某个数据，即函数值．如f(x)＝3x＋5，f表示“自变量的3倍加上5”，如f(4)＝3×4＋5＝17.
我们也可以将“f”比喻为一个“数值加工器”，当投入x的一个值后，经过“数值加工器”“f”的“加工”就得到一个对应值．2．f(x)与f(a)，a∈A的关系
f(x)与f(a)，a∈A的区别与联系，f(a)表示当x＝a时的函数值，是一个值域内的值，是常量．f(x)表示自变量为x的函数，表示的是变量．如f(x)＝2x，当x＝3时，f(3)＝2×3＝6.3．函数定义域的求法
(1)当函数是由解析式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号下被开方数大于或等于零、零次幂的底数不为零，以及我们在后面学习碰到的所有有意义的限制条件都是我们应考虑的范畴；
(2)当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义；
(3)求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示．切莫忽视函数的定义域
函数的定义域是函数的三要素之一．在学习过程中同学们往往侧重于定义域的求解，而不注重定义域的作用，常因忽视函数定义域的影响而导致错误，如求值域时因忽略定义域致错，求函数解析式时因忽略定义域而致错，乃至后续即将学习的函数单调性与奇偶性中，求解函数单调区间时因忽略函数定义域致错以及判断函数奇偶性时因忽略定义域关于原点的对称性判断致错等，下面分析几例，望以此引起同学们的重视．诊断：给出关系式不一定就是函数关系，它只是函数的三要素之一，莫忘定义域对函数的影响．
基础达标
一、选择题
1．如下图所示，不可能表示函数的是
( )
解析：x<0内取一个x，对应两个y.
答案：D
2．函数y＝的定义域是
( )
A．(0，＋∞)
B．(－∞，0)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(0，＋∞)
解析：由题知∴x<0且x≠－1，即定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．
答案：C
3．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则
f(－1)的值等于
( )
A．5 B．－5
C．6 D．－6
解析：由f(1)＝0，f(2)＝0，
∴∴
∴f(x)＝x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.
答案：C
4．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，则其值域为
( )
A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}
解析：x＝0，y＝0；x＝1，y＝－1；x＝2，y＝0；x＝3，y＝3，∴值域为{－1,0,3}．
答案：A
5．函数y＝f(x)图象与直线x＝4的交点个数为
( )
A．至多1个 B．至少1个
C．必有1个 D．1个，2个或无数个
解析：当x＝4与y＝f(x)图象有交点时，交点个数为1个，无交点时，交点个数为0.
答案：A
6．已知f(x)的定义域为[－2,4]，则f(3x－2)的定义域为
( )
A．[－，] B．[－8,10]
C．[0,2] D．[－2,4]
解析：由题知－2≤3x－2≤4，∴0≤x≤2，即定义域为[0,2]．
答案：C
二、填空题
7．下图中能表示函数关系的是________．
解析：(3)中元素2对应着两个元素1和3，不符合函数定义．(1)、(2)、(4)均符合函数定义．
答案：(1)(2)(4)
8．设f(x)＝，则f[f(x)]＝________.
解析：f[f(x)]＝f()＝＝＝.
答案：
9．给出四个命题：
①函数是定义域到值域的对应关系；
②函数f(x)＝＋；
③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)＝5；
④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线．其中正确的是________．
解析：②定义域为?，则不是函数．④x∈N，y∈N，则图象并不是直线．
答案：①③
三、解答题
10．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝x＋；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝＋.
解：(1)由题知x≠1，则函数的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．
(2)由题意知
∴函数的定义域为[－2,1)∪(1,2]．
(3)由题意知
∴x＝1.即函数的定义域为{1}．
11．已知函数f(x)＝ax3＋cx＋5满足f(－3)＝－3，求f(3)的值．
解：∵f(－3)＝－27a－3c＋5＝－3，∴27a＋3c＝8.
∴f(3)＝27a＋3c＋5＝8＋5＝13.
创新题型
12．已知f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，若g[f(x)]＝x2＋x＋1，求a的值．
解：∵f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，
∴g[f(x)]＝g(2x＋a)＝[(2x＋a)2＋3]＝x2＋ax＋(a2＋3)．
又g[f(x)]＝x2＋x＋1，
∴x2＋ax＋(a2＋3)＝x2＋x＋1，解得a＝1.
