课件45张PPT。第2课时 分段函数及映射列举初中已经学过的一些对应，或日常生活中的一些对应案例：
(1)对于任何一个实数，数轴上都有唯一的点P和它对应；
(2)对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对和它对应；
(3)对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；
(4)某影院的某场电影的每一张电影票都有唯一确定的座位与它对应．
你还能说出一些对应的例子吗？1．在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的 ，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的 ，其值域是各段值域的 ．
2．设A、B是非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的 一个元素x，在集合B中都有 的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．对应关系并集并集任意唯一确定3．映射是 的推广，函数是一种特殊的映射，即函数是数集到数集的映射．函数2．已知集合A＝{a，b}，B＝{0,1}，则下列对应不是从A到B的映射的是 ( )
解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足集合A中任一元素在集合B中有唯一元素与之对应，且集合A中元素b在集合B中无唯一元素与之对应．
答案：C3．函数y＝|x－1|，x∈[－1,4]，则此函数的值域为________．
解析：函数y＝|x－1|，x∈[－1,4]上的图象如下图所示，故y∈[0,3]．
答案：[0,3]4．在映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y，x＋y)，则与A中的元素(－1,2)对应的B中的元素为________．
解析：由题意知，与A中元素(－1,2)对应的B中元素为(－1－2，－1＋2)，
即(－3,1)．
答案：(－3,1)思路分析：求分段函数的函数值时，应先判断自变量所在的范围，从而代入相应的解析式，对于多层求值，应由内向外求解．温馨提示：(1)分段函数题求解时，一定要注意自变量的取值范围，从而确定相应的解析式．
(2)分类讨论时，各种条件下的解集一定要与各自的条件取交集，最后所有的解集取并集就是最终的解集． 类型二 分段函数的图象与值域
【例2】 作出函数y＝2|x－1|－3|x|的图象，并求其值域．
思路分析：本题为绝对值函数，应先由零点分段讨论法去掉绝对值符号，再画出分段函数的图象，然后解之．温馨提示：本例利用图象法求函数值域，其关键是准确作出分段函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分． 思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①判断对应是否为映射；②用解析式给出了三个对应关系．
解答本题可先由映射定义出发，观察A中任何一个元素在B中是否都有唯一元素与之对应．温馨提示：要判断对应f：A→B是否是A到B的是映射，必须做到两点：①明确集合A、B中的元素；②根据映射定义判断A中每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素． 类型四 分段函数在生活中的应用
【例4】 电讯资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3分钟收费0.2元．超过3分钟，以后每增加1分钟收费0.2元，不足1分钟以1分钟计费，求通话收费x元与通话时间t(分钟)的函数解析式，并画出其图象．思路分析：通话前3分钟的收费和以后每隔1分钟的收费都是不同值，并且不足1分钟以1分钟计费，因此，通话收费x元与通话时间t(分钟)的函数解析式用分段函数表示．(2)函数f(x)的图象如下图所示，
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． 1．分段函数
有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同，这样的函数通常称为分段函数．
理解分段函数应注意以下几点：
(1)分段函数是生产生活中的重要函数模型，应用非常广泛；
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．分段函数是一个函数，不是两个或多个函数，其本质是在定义域的不同区间，对应关系不同．(3)分段函数的每一段或者说区间，可以是等长的，也可以是不等长的．
(4)画分段函数的图象时，要特别注意自变量取区间端点处的函数值情况，这也往往是判断图形是否为分段函数的图象的关键所在．
2．映射
首先，要准确理解映射的概念：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即：
①A中元素不可剩，B中元素可剩；
②多对一行，一对多不行；
③映射具有方向性：f：A→B与f：B→A一般是不同的映射．
其次，要准确把握映射与函数的关系：(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．
(2)区别：函数是非空数集A到非空数集B的映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集．高斯函数
高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家．高斯是近代数学的奠基者之一，在历史上影响很大，有“数学王子”之称．
他幼年时就表现出超人的数学天才.1795年进入格丁根大学学习．第二年他就发现正十七边形的尺规作图法，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了欧几里得以来悬而未决的问题．高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都作出了开创性的贡献．
公元1800年，高斯在研究圆内整点问题时，引进了一个函数y＝[x]，后人称之为高斯函数．
[x]是表示数x的整数部分，如[π]＝3，[－4.75]＝－5，[1988]＝1988.1．高斯函数的定义
设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数(如[0.6]＝0，[π]＝3，[－π]＝－4等)，则y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数．
任意一个实数都能写成整数部分与非负纯小数部分之和，即x＝[x]＋α(0≤α<1)，所以有[x]≤x<[x]＋1，这里[x]是x的整数部分．
2．高斯函数的图象和性质
(1)高斯函数y＝[x]的定义域是R，值域是Z，图象是无数平行的线段，像台阶般，不连续．
(2)高斯函数y＝[x]是一个分段表达的不减的无界函数，即当x1≤x2时，有[x1]≤[x2]．
(3)对于任意整数n，有[n＋x]＝n＋[x]．
基础达标
一、选择题
1．已知f(x)＝则f[f()]的值是
( )
A．－ B.
C. D．－
解析：f()＝－1＝－；f(－)＝－＋1＝.
答案：C
2．函数f(x)＝的值域是
( )
A．[0，＋∞) B．R
C．[0,3] D．[0,2]∪{3}
答案：D
3．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，按对应关系f不能成为从A至B的映射的一个是
( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x－2
C．f：x→y＝ D．f：x→y＝|x－2|
解析：取x＝0代入y＝x－2得y＝－2，－2?B，与映射定义不符．
答案：B
4．如下图，函数y＝|x＋1|的图象是
( )
解析：y＝|x＋1|＝
答案：A
5．若f(x)＝φ(x)＝则当x<0时，f[φ(x)]为 ( )
A．－x B．－x2
C．x D．x2
解析：x<0时，φ(x)＝－x2<0，∴f[φ(x)]＝－x2.
答案：B
6．如右图，正方形ABCD的顶点A(0，)，B(，0)，顶点C、D位于第一象限．直线l：x＝t(0≤t≤)将正方形ABCD分成两部分，记位于直线l左侧部分的面积为f(t)，则函数S＝f(t)的图象大致是
( )
解析：判断函数S＝f(t)的图象可用观察法，直线l在运动到点B之前，左侧的面积增大的速度是越来越快，而过了点B之后，左侧的面积增大的速度是越来越慢，而速度的快慢反映在图象上是陡或缓，当然也可以根据题意求出分段函数解析式用描点法画出函数图象．
答案：C
二、填空题
7．设函数f(x)＝则f(－4)＝________，又f(x0)＝8，则x0＝________.
解析：f(－4)＝(－4)2＋2＝18；令x2＋2＝8，解得x＝±，∵x≤2，∴x＝－，令2x＝8，解得x＝4，综上可知x0＝－或4.
答案：18 4或－
8．设f(x)＝g(x)＝则f[g(π)]＝________，g[f(2)]＝________.
解析：f[g(π)]＝f(2)＝3×2＋1＝7，g[f(2)]＝g(7)＝2.
答案：7 2
9．已知f(x)＝则不等式x＋(x＋2)f(x＋2)≤5的解集为________．
解析：若x＋2≥0，则原不等式转化为x＋x＋2≤5解得－2≤x≤；若x＋2<0，则原不等式转化为x－x－2≤5解得x<－2，综上可知原不等式解集为.
答案：
三、解答题
10．如下图，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，求函数的解析式．
解：设左侧的射线对应的解析式为y＝kx＋b(x≤1)，则解得k＝－1，b＝2，∴左侧射线的解析式为y＝－x＋2(x≤1)，同理x≥3时，右侧射线的解析式为：y＝x－2(x≥3)．再设抛物线对应的二次函数的解析式为：y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)，
∴a＋2＝1，a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．
综上，函数解析式为
y＝
11．已知函数f(x)＝
求：(1)f{f[f(－)]}；
(2)若f(a)＝3，求a的值；
(3)求f(x)的定义域及值域．
解：(1)f(－)＝－＋2＝，f()＝2×＝，f()＝2×＝1，∴f＝1.
(2)当a≤－1时，f(a)＝a＋2≤1，∴f(a)＝3无解．
当－1
f(a)＝2a＝3，解得a＝，
当a≥2时，f(a)＝，f(a)≥2，
∴f(a)＝3，即＝3，
解得a＝.
综上所述a＝或a＝.
(3)f(x)的定义域为R，由(2)易知，值域为R.
创新题型
12．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算出台一项水费政策措施，规定每季度每人用水量不超过5吨时，每吨水费收基本价1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨，试计算，本季度他应交多少水费？
解：用y表示本季度应交水费(单位：元)．
当0当51．3(x－5)＋1.3(x－5)·200%＝1.3(x－5)(1＋200%)，
∴y2＝1.3×5＋1.3(x－5)(1＋200%)＝3.9x－13，当6综上，y＝
