课件40张PPT。1.2.2 函数的表示法第1课时 函数的表示法如果一个人极有才华，我们会用“才高八斗”来形容他；如果一个人兼有文武才能，我们会用“出将入相”来形容他；如果一个人是稀有而可贵的人才，我们会用“凤毛麟角”来形容他；如果一个人品行卓越，天下绝无仅有，我们会用“斗南一人”来形容他．那么对于函数，又有哪些不同的表示方法呢？1．解析法：用 表示两个变量之间的
关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．数学表达式对应温馨提示：解析法有两个优点：一是简明、全面地概括了变量间的变化规律，二是可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值．缺点是并不是任意函数都可用解析法表示，仅当两个变量间有变化规律时，才能用解析法表示．2．图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为 ，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用 表示两个变量之间
关系的方法叫做图象法．纵坐标图象对应温馨提示：图象法可以直观地表示函数局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势，比如心电图等．
在平面直角坐标系内，如果某图形满足：垂直于x轴的直线与其至多有一个交点，那么这个图形一定是某函数的图象．函数定义域的几何意义是函数图象上所有点横坐标的取值范围，函数值域的几何意义是函数图象上所有点纵坐标的取值范围．3．列表法：列一个两行多列的表格，第一行是
取的值，第二行是对应的 ，这种用表格来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法．
温馨提示：列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素间的函数关系．自变量函数值1．函数y＝f(x)与函数y＝f(x＋1)所表示的是
( )
A．同一函数
B．定义域相同的两个函数
C．值域相同的两个函数
D．图象相同的两个函数
解析：y＝f(x)与y＝f(x＋1)的自变量发生变化，而函数的值域却没发生变化，故选C.
答案：C2．可作为函数y＝f(x)的图象的是 ( )
解析：判断图象是否可以表示函数y＝f(x)的图象，关键是看对定义域中的任意自变量是否存在唯一的函数值与其对应．即过图象上任意一点作垂直于x轴的直线，看直线是否与x轴有且只有一个交点．
答案：D3．函数y＝|x|－2的图象是 ( )
解析：当x≥0时，y＝x－2；当x<0时，y＝－x－2.
答案：C5．将长为a的铁丝折成矩形，求此矩形面积y关于一边长x的函数关系式，并求定义域和值域，作出函数的图象．温馨提示：第(1)题用配凑法；第(2)题已知一次函数，可用待定系数法；第(3)题用方程组法． 类型二 列表法及应用
【例2】 某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：百公斤)如表所示：
则零售量是否为月份的函数？为什么？ 思路分析：依据函数定义进行判断．
解：是函数，因为对于集合{1,2，…，12}中任一个值，由表可知y都有唯一确定的值与它对应，所以由它可确定为y是t的函数．温馨提示：函数关系在客观实际中广泛存在着，而不仅仅是能给出解析式的就是函数．如本例中就无法写出该函数的解析式． 类型三 图象法及应用
【例3】 作出下列函数的图象：
(1)y＝1＋x(x∈Z)；
(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．
思路分析：用描点法作出(1)、(2)的图象，要注意函数的定义域．解：(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1＋x上，如下图(1)所示：
(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如上图(2)所示．
温馨提示：作函数的图象首先要考虑定义域，可以先作出“整个”函数的图象，再按要求从图象上取出所要的部分即可． 类型四 函数的实际应用问题
【例4】 某农场的防洪大堤的横断面是上底为a＝3 m的梯形，梯形的高h随地势在1 m到5 m间变化，下底b和高h之间有关系b＝a＋4h.为了估计修建大堤的土方量，需要把横断面面积表示为堤高的函数，试写出这个函数的解析式，并求出堤高为1.5 m,2 m,3 m处大堤的横断面面积．
思路分析：利用梯形面积公式构造函数解析式，然后求函数值．温馨提示：用解析法表示函数关系时一定要注明定义域． (1)已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝1，f(x＋1)＝f(x)＋2x，求f(x)．
(2)已知f(x＋1)＝x2＋x－1，求f(2)和f(x)．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(0)＝1，∴c＝1，
即f(x)＝ax2＋bx＋1，
又f(x＋1)＝f(x)＋2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1
＝ax2＋bx＋1＋2x，
ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＋1
＝ax2＋bx＋1＋2x， 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资，薪金所得不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累加进行计算：某人一月份应交纳此税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于 ( )
A．1600～1800元 B．1800～2100元
C．2100～2300元 D．2300～2800元
解析：依题意知，当工人工资为2100元时，应交税金(2100－1600)×5%＝25元，而该工人实际交税金26.78元>25元，知其工资应超过2100元，又26.78－25＝1.78元，知其工资仅比2100元多一点，但不会超过2300元，从而可选C.
答案：C 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是 ( )
解析：因为汽车先启动、再加速、到匀速、最后减速，s随t的变化是先慢、再快、到匀速、最后慢，故A图比较适合题意，故答案选A.
答案：A 如右图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动，设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，求：(1)y与x之间的函数关系式；
(2)画出y＝f(x)图象．(2)1．解析法表示的函数关系能较便利地通过计算等手段研究函数性质，但是，一些实际问题很难找到它的解析式；图象法可以直观地表示函数局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势，比如心电图等；列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观，但它只能表示有限个元素间的函数关系．2．在平面直角坐标系内，如果某图形满足：垂直于x轴的直线与其至多有一个交点，那么这个图形一定是某函数的图象．函数定义域的几何意义是函数图象上所有点横坐标的取值范围，函数值域的几何意义是函数图象上所有点纵坐标的取值范围．
3．描点法画函数图象的步骤：
(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线．
基础达标
一、选择题
1．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f()等于
( )
A．1 B．3
C．15 D．30
解法一：令1－2x＝t，
则x＝(t≠1)，
∴f(t)＝－1，
∴f()＝16－1＝15.
解法二：令1－2x＝，得x＝，
∴f()＝＝15.
答案：C
2．已知f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝
( )
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
∵2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，
∴，∴，
∴f(x)＝3x－2.
答案：B
3．函数y＝x＋的图象为
( )
解析：y＝x＋＝ .
答案：C
4．如下图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的有
( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：对于一个选择题而言，求出每一幅图中水面的高度h和时间t之间的函数解析式既无必要也不可能，因此可结合相应的两幅图作定性分析，即充分利用数形结合思想．
对于第一幅图，不难得知水面高度的增加应是均匀的，因此不正确；
对于第二幅图，随着时间的增加，越往上，增加同一个高度，需要的水越多，因此趋势愈加平缓，因此正确；
同理可分析第三幅图、第四幅图都是正确的．
故只有第一幅图不正确，因此选A.
答案：A
5．在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系．如果购买1000吨，每吨为800元；购买2000吨，每吨700元，若一客户购买400吨，单价应该是
( )
A．820元 B．840元
C．860元 D．880元
解析：设y＝kx＋b(k≠0)，由题意，
得解之，得k＝－10，b＝9000.
∴y＝－10x＋9000，当y＝400时，得x＝860.
答案：C
6．水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)．
给出以下三个诊断：
①0点到3点只进水不出水；
②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进水不出水．
其中一定正确的论断是
( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
解析：由图甲、乙可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v进水＝v出水．由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确；在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确；在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，故③不正确．
综上所述，论断仅有①正确．
答案：A
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x＋b，若f(2)＝8，则f(0)＝________.
解析：∵f(2)＝8，∴2＋b＝8，∴b＝6.
∴f(x)＝x＋6.∴f(0)＝6.
答案：6
8．已知一次函数f(x)，且f[f(x)]＝16x－25，则f(x)＝________.
解析：(待定系数法)设y＝kx＋b(k≠0)
由f[f(x)]＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25得
解得k＝4，b＝－5，或k＝－4，b＝
答案：4x－5或－4x＋
9．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
x
1
2
3
f(x)
2
1
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f[g(1)]的值为__________；当g[f(x)]＝2时，x＝__________.
答案：1,1
三、解答题
10．求下列函数的解析式：
(1)已知f(2x＋1)＝x2＋1，求f(x)；
(2)已知f()＝，求f(x)．
解：(1)设t＝2x＋1，则x＝，
∴f(t)＝()2＋1.
从而f(x)＝()2＋1.
(2)解法一：设t＝，
则x＝(t≠0)，代入f()＝，
得f(t)＝＝，
故f(x)＝(x≠0)．
解法二：∵f()＝＝，
∴f(x)＝(x≠0)．
11．作出下列函数的图象．
(1)y＝，x>1；
(2)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]．
解：(1)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图1所示；
(2)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，
且x＝1,3时，y＝0；
当x＝2时，y＝－1，
所画函数图象如图2所示．
创新题型
12．设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的解析式．
解：因为对任意实数x，y，有
f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
所以令y＝x，
有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，
即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．
又f(0)＝1，
∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.
