课件44张PPT。第2课时 函数的最大值、最小值随着社会经济的高速发展,工厂、企业一个个应运而生.现在,我们国家又提出创建节约型社会.假如你是下面这个工厂的厂长,你认为应该如何设计厂区?1.函数的最大值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x) M;
②存在x0∈ ,使得f(x0)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最大值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最大值是图象 点的纵坐标.最高≤I温馨提示:①定义中M首先是一个函数值,它是值域的一个元素,如函数f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0,注意对“存在”一词的理解.
②对于定义域内全部元素,都有f(x)≤M成立,“任意”是说对每一个值都必须满足不等式.2.函数的最小值
(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:
①对于任意的x∈I,都有f(x) M;
②存在x0∈ ,使得f(x0)=M.
那么,称M是函数y=f(x)的最小值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最小值是图象 点的纵坐标.最低I≥3.函数的最值
(1)定义:函数的最大值和最小值统称为函数的最值.
(2)几何意义:函数y=f(x)的最值是图象最高点或最低点的纵坐标.
(3)说明:函数的最值是在 内的性质.整个定义域3.函数y=-x2+2x在[1,2]上的最大值为 ( )
A.1 B.2
C.-1 D.不存在
答案:A思路分析:本题为分段函数,应借助于函数图象找出变化趋势,从而确定最值.
解:f(x)的图象如下图,则x≤0时,f(x)单调递增,当01时,f(x)单调递减,故当x=1时,f(x)取最大值为4.温馨提示:求分段函数的最值,应把握好变化趋势,找出一个最值,并不是每一段上都求. 思路分析:先用定义研究函数在区间上的单调性,再求最值.温馨提示:运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不好作或作不出来时,单调性几乎成为首选方法. 类型三 二次函数的最值
【例3】 求f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最大值和最小值.
思路分析:解答本题可先求出f(x)的对称轴x=a,然后就a与区间[0,2]的关系进行讨论,分别求出f(x)的最大值和最小值.当0≤a≤2,即对称轴x=a在区间[0,2]内时,求函数的最大值,应再细分为0≤a<1和1≤a≤2讨论.解:f(x)=(x-a)2-1-a2,对称轴为x=a.(1)当a<0时,由图①可知,
f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a,
(2)当0≤a<1时,由图②可知,
f(x)min=f(a)=-1-a2,f(x)max=f(2)=3-4a.
(3)当1≤a≤2时,由图③可知,
f(x)min=f(a)=-1-a2,
f(x)max=f(0)=-1.
(4)当a>2时,由图④可知,
f(x)min=f(2)=3-4a,
f(x)max=f(0)=-1.
温馨提示:(1)求函数在某区间上的最值,一般应先判定函数在该区间的单调性.
(2)求二次函数的最值时,应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系,若含有字母,要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论,解题时要注意数形结合,注意“两看”:一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系. 求函数f(x)=x2-(2+6a2)x+3a2在区间[0,1]上的最小值m(a)和最大值M(a). 已知函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,并且当x>0时,f(x)>1,f(3)=4.
(1)证明f(x)为R上的增函数.
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值.
(1)证明:设x1,x2∈R,且x1∵f(x+y)=f(x)+f(y)-1,
∴f(x+y)-f(x)=f(y)-1.
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1.
又∵x10,
∴f(x2-x1)>1,∴f(x2-x1)-1>0.
∴f(x2)-f(x1)>0,
即f(x1)所以函数f(x)在R上是增函数.(2)解:∵f(x+y)=f(x)+f(y)-1,
∴f(2)=2f(1)-1,
f(3)=f(2)+f(1)-1=3f(1)-2.
又∵f(3)=4,∴3f(1)-2=4.
∴f(1)=2,∴f(2)=2f(1)-1=3.
而函数f(x)在R上为增函数,
∴f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=2,最大值为f(2)=3.2.二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题,由它的单调性来确定,而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置(在区间上、在区间左边,还是在区间右边)来决定,当开口方向和对称轴位置不确定时,则需要进行分类讨论.学科与科技
根据人类消耗的能源结构比例图(右图)的图象,简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况,并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测.由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少;消耗的煤炭比例先逐渐增多,到1940年左右达到最大值,以后又逐渐变少;从1880年左右开始消耗石油,到1990年左右所占比例达到最大值,以后又逐渐减少;天然气从1900年左右开始应用于能源,所占比例一直在逐渐增大,核能从1980年左右开始被应用,所占比例逐渐增大.从图象可以看出100年内,木材一般不会再作为能源消耗,煤炭、石油、天然气所占比例在逐渐变小,核能所占比例在逐渐增大,新开发的能源,水化物和太阳能所占比例也在逐渐增大.
基础达标
一、选择题
1.函数f(x)=2x-x2的最大值是
( )
A.-1 B.0
C.1 D.2
解析:函数f(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,
∴当x=1时,f(x)max=1.
答案:C
2.已知函数f(x)=+x,则它的最小值是
( )
A.0 B.1
C. D.无最小值
解析:函数f(x)=+x的定义域为[,+∞)且为增函数,∴f(x)min=f()=.
答案:C
3.函数y=在[2,3]上的最小值为
( )
A.2 B.
C. D.-
解析:作出图象可知y=在[2,3]上是减函数,ymin==.
答案:B
4.函数y=|x+1|在[-2,2]上的最大值为
( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:作出图象即可.
答案:D
5.函数f(x)=的最大值是
( )
A. B.
C. D.
解析:分母1-x(1-x)=x2-x+1=2+≥显然0答案:D
6.函数f(x)=x2-2ax+a+2在[0,a]上的最大值为3,最小值为2,则a的值为
( )
A.0 B.1或2
C.1 D.2
解析:∵抛物线y=x2-2ax+a+2开口向上,且对称轴为x=a,∴函数y=x2-2ax+a+2在[0,a]上为减函数,∴a+2=3且a2-2a2+a+2=2,a=1.
答案:C
二、填空题
7.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为________.
解析:f(x)min=f(0)=a=-2,
f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.
答案:1
8.函数y=-x2+6x+9在区间[a,b](a解析:y=-(x-3)2+18,∵a∴在区间[a,b]上单调递增,即-b2+6b+9=9,得b=0,-a2+6a+9=-7,得a=-2.
答案:-2 0
9.已知f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间x∈[1,5]上的最小值为f(5),则a的取值范围为__________.
解析:由对称轴方程为x=1-a,∵x∈[1,5]最小值为f(5),∴1-a≥5,得a≤-4.
答案:a≤-4
三、解答题
10.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].
(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)求实数a的取值范围,使函数y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2的图象的对称轴为直线x=1.
∴f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(-5)=37.
(2)∵函数f(x)=x2+2ax+2在[-5,5]上是单调函数,∴区间[-5,5]一定都在抛物线的对称轴x=-a的同一侧.
∴-a≤-5或-a≥5,即a≥5或a≤-5.
∴所求实数a的取值范围是(-∞,-5]∪[5,+∞).
11.把长为12 cm的铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是多少?
解:设一个三角形的边长为x cm,则另一个三角形的边长为(4-x) cm,两个三角形的面积之和为S,则S=x2+(4-x)2=(x-2)2+2(0∴当x=2时,S取得最小值2 cm2.
创新题型
12.已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m、n,m解:假设存在m、n使当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n].则在[m,n]上函数的最大值为2n.
而f(x)在x∈R上的最大值为,
∴2n≤,∴n≤.
而f(x)在(-∞,1)上是增函数,
∴f(x)在[m,n]上是增函数.
∴即
∴
∵m∴存在实数m=-2,n=0,使当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].