课件44张PPT。第2课时 函数的最大值、最小值随着社会经济的高速发展，工厂、企业一个个应运而生．现在，我们国家又提出创建节约型社会．假如你是下面这个工厂的厂长，你认为应该如何设计厂区？1．函数的最大值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x) M；
②存在x0∈ ，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象 点的纵坐标．最高≤I温馨提示：①定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注意对“存在”一词的理解．
②对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．2．函数的最小值
(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
①对于任意的x∈I，都有f(x) M；
②存在x0∈ ，使得f(x0)＝M.
那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象 点的纵坐标．最低I≥3．函数的最值
(1)定义：函数的最大值和最小值统称为函数的最值．
(2)几何意义：函数y＝f(x)的最值是图象最高点或最低点的纵坐标．
(3)说明：函数的最值是在 内的性质．整个定义域3．函数y＝－x2＋2x在[1,2]上的最大值为 ( )
A．1 B．2
C．－1 D．不存在
答案：A思路分析：本题为分段函数，应借助于函数图象找出变化趋势，从而确定最值．
解：f(x)的图象如下图，则x≤0时，f(x)单调递增，当01时，f(x)单调递减，故当x＝1时，f(x)取最大值为4.温馨提示：求分段函数的最值，应把握好变化趋势，找出一个最值，并不是每一段上都求． 思路分析：先用定义研究函数在区间上的单调性，再求最值．温馨提示：运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法． 类型三 二次函数的最值
【例3】 求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
思路分析：解答本题可先求出f(x)的对称轴x＝a，然后就a与区间[0,2]的关系进行讨论，分别求出f(x)的最大值和最小值．当0≤a≤2，即对称轴x＝a在区间[0,2]内时，求函数的最大值，应再细分为0≤a<1和1≤a≤2讨论．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a，
(2)当0≤a<1时，由图②可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1≤a≤2时，由图③可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，
f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a>2时，由图④可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，
f(x)max＝f(0)＝－1.
温馨提示：(1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性．
(2)求二次函数的最值时，应判断它的开口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系． 求函数f(x)＝x2－(2＋6a2)x＋3a2在区间[0,1]上的最小值m(a)和最大值M(a)． 已知函数y＝f(x)对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，并且当x>0时，f(x)>1，f(3)＝4.
(1)证明f(x)为R上的增函数．
(2)求函数f(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
(1)证明：设x1，x2∈R，且x1∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)－1.
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1.
又∵x10，
∴f(x2－x1)>1，∴f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)－f(x1)>0，
即f(x1)所以函数f(x)在R上是增函数．(2)解：∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，
∴f(2)＝2f(1)－1，
f(3)＝f(2)＋f(1)－1＝3f(1)－2.
又∵f(3)＝4，∴3f(1)－2＝4.
∴f(1)＝2，∴f(2)＝2f(1)－1＝3.
而函数f(x)在R上为增函数，
∴f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)＝2，最大值为f(2)＝3.2．二次函数在闭区间上的最值问题
二次函数在闭区间上的最值问题，由它的单调性来确定，而它的单调性又由二次函数的开口方向和对称轴位置(在区间上、在区间左边，还是在区间右边)来决定，当开口方向和对称轴位置不确定时，则需要进行分类讨论．学科与科技
根据人类消耗的能源结构比例图(右图)的图象，简要说明近150年来人类消耗的能源结构变化情况，并对未来100年能源结构的变化趋势作出预测．由图象可以看出近150年来人类消耗木材比例一直减少；消耗的煤炭比例先逐渐增多，到1940年左右达到最大值，以后又逐渐变少；从1880年左右开始消耗石油，到1990年左右所占比例达到最大值，以后又逐渐减少；天然气从1900年左右开始应用于能源，所占比例一直在逐渐增大，核能从1980年左右开始被应用，所占比例逐渐增大．从图象可以看出100年内，木材一般不会再作为能源消耗，煤炭、石油、天然气所占比例在逐渐变小，核能所占比例在逐渐增大，新开发的能源，水化物和太阳能所占比例也在逐渐增大．
基础达标
一、选择题
1．函数f(x)＝2x－x2的最大值是
( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：函数f(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，
∴当x＝1时，f(x)max＝1.
答案：C
2．已知函数f(x)＝＋x，则它的最小值是
( )
A．0 B．1
C. D．无最小值
解析：函数f(x)＝＋x的定义域为[，＋∞)且为增函数，∴f(x)min＝f()＝.
答案：C
3．函数y＝在[2,3]上的最小值为
( )
A．2 B.
C. D．－
解析：作出图象可知y＝在[2,3]上是减函数，ymin＝＝.
答案：B
4．函数y＝|x＋1|在[－2,2]上的最大值为
( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：作出图象即可．
答案：D
5．函数f(x)＝的最大值是
( )
A. B.
C. D.
解析：分母1－x(1－x)＝x2－x＋1＝2＋≥显然0答案：D
6．函数f(x)＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则a的值为
( )
A．0 B．1或2
C．1 D．2
解析：∵抛物线y＝x2－2ax＋a＋2开口向上，且对称轴为x＝a，∴函数y＝x2－2ax＋a＋2在[0，a]上为减函数，∴a＋2＝3且a2－2a2＋a＋2＝2，a＝1.
答案：C
二、填空题
7．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
解析：f(x)min＝f(0)＝a＝－2，
f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.
答案：1
8．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a∴在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.
答案：－2 0
9．已知f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间x∈[1,5]上的最小值为f(5)，则a的取值范围为__________．
解析：由对称轴方程为x＝1－a，∵x∈[1,5]最小值为f(5)，∴1－a≥5，得a≤－4.
答案：a≤－4
三、解答题
10．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值与最小值；
(2)求实数a的取值范围，使函数y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2的图象的对称轴为直线x＝1.
∴f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.
(2)∵函数f(x)＝x2＋2ax＋2在[－5,5]上是单调函数，∴区间[－5,5]一定都在抛物线的对称轴x＝－a的同一侧．
∴－a≤－5或－a≥5，即a≥5或a≤－5.
∴所求实数a的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．
11．把长为12 cm的铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是多少？
解：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4－x) cm，两个三角形的面积之和为S，则S＝x2＋(4－x)2＝(x－2)2＋2(0∴当x＝2时，S取得最小值2 cm2.
创新题型
12．已知函数f(x)＝－x2＋x，是否存在实数m、n，m解：假设存在m、n使当x∈[m，n]时，y∈[2m,2n]．则在[m，n]上函数的最大值为2n.
而f(x)在x∈R上的最大值为，
∴2n≤，∴n≤.
而f(x)在(－∞，1)上是增函数，
∴f(x)在[m，n]上是增函数．
∴即
∴
∵m∴存在实数m＝－2，n＝0，使当x∈[－2,0]时，f(x)的值域为[－4,0]．
