课件36张PPT。1．3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的，最初遗忘速度较快，以后逐渐缓慢．他认为“保持和遗忘是时间的函数”，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(下图)．
艾宾浩斯记忆遗忘曲线这条曲线告诉我们，学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程是不均衡的，记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐变慢了．这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”．通过这条曲线能说明什么数学问题呢？1．增函数和减函数的定义
设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的
x1，x2，当x1
，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；
如果对于定义域I内某个区间D上的
x1，x2，当x1f(x2)2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间D上是 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的 ．增函数或减函数单调区间1．函数y＝2x－2在R上 ( )
A．是增函数 B．是减函数
C．既是增函数又是减函数 D．不具有单调性
答案：A2．函数y＝f(x)的图象如右图所示，其增区间是( )
A．[－4,4]
B．[－4，－3]∪[1,4]
C．[－3,1]
D．[－3,4]
答案：C3．函数f(x)在R上是减函数，则有 ( )
A．f(3)C．f(3)>f(5) D．f(3)≥f(5)
解析：∵函数f(x)在R上是减函数，3<5，
∴f(3)>f(5)．
答案：C5．求证：函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数．
证明：设0≤x1f(x1)－f(x2)＝2x－2x
＝2(x1－x2)(x1＋x2)．
∵0≤x1∴x1－x2<0，x1＋x2>0.
∴f(x1)∴函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数． 温馨提示：求函数的单调区间时，要先求函数的定义域，因为单调区间是定义域的子集，如果函数是复合函数，那么可将函数分解成基本初等函数，然后利用“同增异减”的原则求解． 类型三 利用函数的单调性求参数取值范围
【例3】 已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①所给函数为二次函数，且含有参数；
②函数在区间(－∞，4]上是减函数．
解答本题可先将函数解析式配方，然后找出图象的对称轴，再考虑对称轴与所给区间的位置关系，利用数形结合求解．解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.温馨提示：(1)二次函数是常见函数，遇到二次函数后就配方找对称轴，画出图象，会给研究问题带来很大的方便．
(2)已知函数单调性求参数的取值范围，要注意数形结合，采用逆向思维方法． 思路分析：如果能够推导出原函数的单调性，那么这个问题就能迎刃而解，此题的关键是如何推证出该函数的单调性．温馨提示：研究抽象函数的单调性问题，仍采用特值法，即给变量赋予特殊值．不过在这里为了比较f(x1)与f(x2)的大小，往往需要把x1用x2＋(x1－x2)来代替，再注意到题目中所给的条件，顺利地放缩即可． 本例中，若将函数“在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？
解：由例题知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，
∴1－a＝4，a＝－3.,
基础达标
一、选择题
1．若一次函数y＝kx＋b(k≠0)在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的
( )
A．上半平面 B．下半平面
C．左半平面 D．右半平面
解析：一次函数递减k<0，b∈R.
答案：C
2．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则
( )
A．f(a)>f(2a) B．f(a2)C．f(a2＋a)解析：比较两个自变量大小，a2＋1－a＝(a－)2＋>0即f(a2＋1)答案：D
3．下列关于函数y＝的单调性的表述正确的是
( )
A．在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减
B．在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减
C．在(0，＋∞)上单调递增
D．在(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减
答案：D
4．函数f(x)＝x2＋4ax＋2在(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是
( )
A．a≥3 B．a≤3
C．a≥－3 D．a≤－3
解析：6≤－?a≤－3，(－∞，6)是函数减区间的子区间．
答案：D
5．已知函数f(x)＝x2－4x＋7，则f(4)，f(2)，f(1)的大小关系为
( )
A．f(2)B．f(1)C．f(2)D．f(1)解析：画图象．
答案：C
6．已知f(x)为R上的减函数，则满足f(||)( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：由题意知||>1，即>1或<－1，解之得－1答案：C
二、填空题
7．若函数y＝－在(0，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是________．
解析：设0f(x1)－f(x2)＝－＋＝>0，
∵00.
∴b<0.
答案：(－∞，0)
8．函数y＝|3x－5|的单调减区间为________．
解析：作出y＝|3x－5|的图象，如右图所示，可知函数在(－∞，]上为减函数，在[，＋∞)上为增函数．
答案：(－∞，]
9．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f()的大小关系是________．
解析：a2－a＋1＝(a－)2＋≥，又f(x)在(0，＋∞)上为减函数，
∴f(a2－a＋1)≤f()
答案：f(a2－a＋1)≤f()
三、解答题
10．求证：函数y＝在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝，
因为1所以(x1－1)(x2－1)>0，x2－x1>0，
故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．
所以函数y＝在区间(1，＋∞)上为单调减函数．
11．讨论函数y＝x2－2(2a＋1)x＋3在[－2,2]上的单调性．
解：∵函数图象的对称轴x＝2a＋1，当2a＋1≤－2，即a≤－时，函数在[－2,2]上为增函数；
当－2<2a＋1<2，即－创新题型
12．已知函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，且在(－2,2)上单调递增，且有f(2＋a)＋f(1－2a)>0，求a的取值范围．
解：∵f(2＋a)＋f(1－2a)>0，
∴f(2＋a)>－f(1－2a)，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(2＋a)>f(2a－1)，由于f(x)在(－2,2)上单调递增，
∴?－