课件36张PPT。1.3.1 单调性与最大(小)值第1课时 函数的单调性德国心理学家艾宾浩斯研究发现,遗忘在学习之后立即开始,而且遗忘的进程并不是均匀的,最初遗忘速度较快,以后逐渐缓慢.他认为“保持和遗忘是时间的函数”,并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线,即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线(下图).
艾宾浩斯记忆遗忘曲线这条曲线告诉我们,学习中的遗忘是有规律的,遗忘的进程是不均衡的,记忆的最初阶段遗忘的速度很快,后来就逐渐变慢了.这条曲线表明了遗忘规律是“先快后慢”.通过这条曲线能说明什么数学问题呢?1.增函数和减函数的定义
设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的
x1,x2,当x1
,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;
如果对于定义域I内某个区间D上的
x1,x2,当x1f(x2)2.函数的单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在区间D上是 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的 .增函数或减函数单调区间1.函数y=2x-2在R上 ( )
A.是增函数 B.是减函数
C.既是增函数又是减函数 D.不具有单调性
答案:A2.函数y=f(x)的图象如右图所示,其增区间是( )
A.[-4,4]
B.[-4,-3]∪[1,4]
C.[-3,1]
D.[-3,4]
答案:C3.函数f(x)在R上是减函数,则有 ( )
A.f(3)C.f(3)>f(5) D.f(3)≥f(5)
解析:∵函数f(x)在R上是减函数,3<5,
∴f(3)>f(5).
答案:C5.求证:函数f(x)=2x2在[0,+∞)上是增函数.
证明:设0≤x1f(x1)-f(x2)=2x-2x
=2(x1-x2)(x1+x2).
∵0≤x1∴x1-x2<0,x1+x2>0.
∴f(x1)∴函数f(x)=2x2在[0,+∞)上是增函数. 温馨提示:求函数的单调区间时,要先求函数的定义域,因为单调区间是定义域的子集,如果函数是复合函数,那么可将函数分解成基本初等函数,然后利用“同增异减”的原则求解. 类型三 利用函数的单调性求参数取值范围
【例3】 已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
思路分析:由题目可获取以下主要信息:
①所给函数为二次函数,且含有参数;
②函数在区间(-∞,4]上是减函数.
解答本题可先将函数解析式配方,然后找出图象的对称轴,再考虑对称轴与所给区间的位置关系,利用数形结合求解.解:f(x)=x2+2(a-1)x+2
=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,
∴此二次函数的对称轴为x=1-a.
∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a].
∵f(x)在(-∞,4]上是减函数,
∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合.
∴1-a≥4,解得a≤-3.温馨提示:(1)二次函数是常见函数,遇到二次函数后就配方找对称轴,画出图象,会给研究问题带来很大的方便.
(2)已知函数单调性求参数的取值范围,要注意数形结合,采用逆向思维方法. 思路分析:如果能够推导出原函数的单调性,那么这个问题就能迎刃而解,此题的关键是如何推证出该函数的单调性.温馨提示:研究抽象函数的单调性问题,仍采用特值法,即给变量赋予特殊值.不过在这里为了比较f(x1)与f(x2)的大小,往往需要把x1用x2+(x1-x2)来代替,再注意到题目中所给的条件,顺利地放缩即可. 本例中,若将函数“在区间(-∞,4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(-∞,4]”,则a为何值?
解:由例题知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a],
∴1-a=4,a=-3.,
基础达标
一、选择题
1.若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞,+∞)上是单调递减函数,则点(k,b)在直角坐标平面的
( )
A.上半平面 B.下半平面
C.左半平面 D.右半平面
解析:一次函数递减k<0,b∈R.
答案:C
2.设函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则
( )
A.f(a)>f(2a) B.f(a2)C.f(a2+a)解析:比较两个自变量大小,a2+1-a=(a-)2+>0即f(a2+1)答案:D
3.下列关于函数y=的单调性的表述正确的是
( )
A.在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减
B.在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减
C.在(0,+∞)上单调递增
D.在(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减
答案:D
4.函数f(x)=x2+4ax+2在(-∞,6)内单调递减,则a的取值范围是
( )
A.a≥3 B.a≤3
C.a≥-3 D.a≤-3
解析:6≤-?a≤-3,(-∞,6)是函数减区间的子区间.
答案:D
5.已知函数f(x)=x2-4x+7,则f(4),f(2),f(1)的大小关系为
( )
A.f(2)B.f(1)C.f(2)D.f(1)解析:画图象.
答案:C
6.已知f(x)为R上的减函数,则满足f(||)( )
A.(-1,1)
B.(0,1)
C.(-1,0)∪(0,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由题意知||>1,即>1或<-1,解之得-1答案:C
二、填空题
7.若函数y=-在(0,+∞)上是减函数,则b的取值范围是________.
解析:设0f(x1)-f(x2)=-+=>0,
∵00.
∴b<0.
答案:(-∞,0)
8.函数y=|3x-5|的单调减区间为________.
解析:作出y=|3x-5|的图象,如右图所示,可知函数在(-∞,]上为减函数,在[,+∞)上为增函数.
答案:(-∞,]
9.已知函数f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,那么f(a2-a+1)与f()的大小关系是________.
解析:a2-a+1=(a-)2+≥,又f(x)在(0,+∞)上为减函数,
∴f(a2-a+1)≤f()
答案:f(a2-a+1)≤f()
三、解答题
10.求证:函数y=在区间(1,+∞)上为单调减函数.
证明:任取x1,x2∈(1,+∞),且x1f(x1)-f(x2)=-
=,
因为1所以(x1-1)(x2-1)>0,x2-x1>0,
故f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
所以函数y=在区间(1,+∞)上为单调减函数.
11.讨论函数y=x2-2(2a+1)x+3在[-2,2]上的单调性.
解:∵函数图象的对称轴x=2a+1,当2a+1≤-2,即a≤-时,函数在[-2,2]上为增函数;
当-2<2a+1<2,即-创新题型
12.已知函数f(x)满足f(-x)=-f(x),且在(-2,2)上单调递增,且有f(2+a)+f(1-2a)>0,求a的取值范围.
解:∵f(2+a)+f(1-2a)>0,
∴f(2+a)>-f(1-2a),
又∵f(-x)=-f(x),
∴f(2+a)>f(2a-1),由于f(x)在(-2,2)上单调递增,
∴?-