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1．3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
目 标 要 求 热 点 提 示
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；
2．掌握判断函数奇偶性的方法. 利用函数奇偶性概念来判断函数奇偶性是本课时的热点内容.
我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，如和谐美、自然美、对称美……下图中的图标给我们什么感觉呢？如果给下图中的图标建立适当的坐标系，我们不难发现它们有的关于y轴对称，有的关于坐标原点对称．图象关于y轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢？
1．偶函数
(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ ，那么函数f(x)叫做偶函数．
(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称．
f(x)
y轴
温馨提示：函数f(x)是偶函数 对定义域内任意一个x，有f(－x)－f(x)＝0 f(x)的图象关于y轴对称．
2．奇函数
(1)定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ ，那么函数f(x)叫做奇函数．
(2)几何意义：定义域关于原点对称；图象关于 对称．
－f(x)
原点
温馨提示：函数f(x)是奇函数 对定义域内任意一个x，有f(－x)＋f(x)＝0 f(x)的图象关于原点对称．
3．奇偶性
(1)定义：如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性．
(2)几何意义：定义域关于 对称；图象关于原点或y轴对称．
原点
温馨提示：函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质，是“整体性质”，而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质，是“局部”性质．
1．函数y＝x4＋x2 ( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数也不是偶函数
解析：定义域是R，f(－x)＝(－x)4＋(－x)2＝x4＋x2＝f(x)，所以是偶函数．
答案：B
解析：定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数．
答案：D
4．(2010·北京师大附中高一检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且定义域为[a－1,2a]，则a＝________，b＝________.
思路分析：利用函数奇偶性的定义判断．
解：(1)∵定义域为R，f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)∵定义域为{x|x>1或x≤－1}，定义域关于原点不对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
(3)∵定义域为{－2,2}，任取x∈{－2,2}，则－x∈{－2,2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
温馨提示：证明函数奇偶性必须用定义：任取x∈D，则－x∈D，f(－x)＝±f(x)．如果D不关于原点对称，立刻否定有奇偶性．因为它不满足任意x∈D，则－x∈D.
判断函数奇偶性方法很多，如奇函数＋奇函数＝奇函数，奇函数×偶函数＝奇函数，奇函数×奇函数＝偶函数等等．
思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①已知函数为分段函数；
②判断此函数的奇偶性．
解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明．
解：(1)当x<0时，－x>0.
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3
＝－x2－2x－3＝－f(x)；
(2)当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3
＝x2－2x＋3＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知f(x)为奇函数．
温馨提示：(1)对于分段函数奇偶性的判断，须特别注意x与－x所满足的对应关系，如x>0时，f(x)满足f(x)＝－x2＋2x－3，－x<0满足的不再是f(x)＝－x2＋2x－3，而是f(x)＝x2＋2x＋3；
(2)要对定义域内的自变量都要考察，如本例分为两种情况，如果本例只有(1)就说f(－x)＝－f(x)，从而判断它是奇函数是错误的、不完整的．
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断．
类型二 函数奇偶性的图象特征
【例3】 (1)如下图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值．
(2)如下图，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴右侧的图象．
思路分析：依据奇、偶函数的图象的对称性，分别作出它们在y轴右侧的部分图象．
解：(1)∵奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，－f(x))关于原点的对称点P′(x，f(x))．下图为补充后的图象．易知f(3)＝－2.
(2)偶函数y＝f(x)在y轴右侧图象上任一点P(－x，f(x))关于y轴的对称点P′(x，f(x))，下图为补充完后的图象．易知f(1)>f(3)．
温馨提示：给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性．其过程是作出原图象几个关键点(图象的最高点、最低点、拐点等)关于原点或y轴的对称点．然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点，就作出了它们在另一个半平面的图象．
温馨提示：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力．对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得．
解：(1)函数定义域为R.
f(－x)＝(－x)3＋(－x)5＝－(x3＋x5)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．
(2)函数的定义域为{x|x≠－1}．
不关于原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如下图所示，则不等式f(x)<0的解集是__________．
解析：如下图，根据y＝f(x)，x∈[－5,5]的图象知f(x)<0的解集为{x|－2答案：{x|－2 已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a、b∈R都满足：f(ab)＝af(b)＋bf(a)．
(1)求f(0)、f(1)的值．
(2)证明f(x)为奇函数．
解：(1)令a＝b＝0，∴f(0)＝0f(0)＋0f(0)＝0.
令a＝b＝1，∴f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)＝2f(1)，
∴f(1)＝0.
(2)令a＝b＝－1，则f(－1)＝0.
∵f(－x)＝f(－1·x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x)＋0＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
3．(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之亦真．
(2)若f(x)为奇函数，且0在定义域内，则f(0)＝0.
(3)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性．基础达标
一、选择题
1．设定义在R上的函数f(x)＝x|x|，则f(x)
( )
A．既是奇函数，又是增函数
B．既是偶函数，又是增函数
C．既是奇函数，又是减函数
D．既是偶函数，又是减函数
解析：∵f(－x)＝－x·|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)是奇函数；当x≥0时，f(x)＝x|x|＝x2(x≥0)是增函数，
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(－∞，0]上也是增函数．
∴f(x)是增函数．也可画图象判断．故选A.
答案：A
2．对于定义域为R的奇函数f(x)，下列结论成立的是
( )
A．f(x)－f(－x)>0 B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0 D．f(x)·f(－x)>0
解析：对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－f2(x)≤0.故选C.
答案：C
3．如下图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值为
( )
A. B．－
C. D．－
解析：奇函数的图象关于原点对称，因此，f(－2)＝－f(2)＝－.故选B.
答案：B
4．f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，则h(x)＝f(x)·g(x)的图象
( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于y＝x对称 D．关于原点对称
解析：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)
＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)·g(x)＝－h(x)．
∴h(x)是奇函数，
∴h(x)的图象关于原点对称．故选D.
答案：D
5．y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则它的图象必过点
( )
A．(－a，－f(－a)) B．(a，－f(a))
C．(a，f()) D．(－a，－f(a))
解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－a)＝－f(a)．
即图象过点(－a，－f(a))．故选D.
答案：D
6．函数f(x)是定义在区间[－6,6]上的偶函数，且f(3)>f(1)，则下列各式一定成立的是
( )
A．f(0)f(2)
C．f(－1)f(0)
解析：∵f(x)为偶函数，且f(3)>f(1)，∴f(－1)＝f(1)答案：C
二、填空题
7．函数f(x)＝x＋b为奇函数，则b应满足__________．
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝0，即－x＋b＋x＋b＝0，∴2b＝0，∴b＝0.
答案：b＝0
8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是__________．
解析：∵f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，∴m＝0，∴f(x)＝－x2＋2.∴f(0)＝2，f(1)＝1，f(－2)＝－2，∴f(－2)答案：f(－2)9．若f(x)和g(x)分别是奇函数与偶函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________，g(x)＝________.
解析：∵f(x)＋g(x)＝，①
∴f(－x)＋g(－x)＝－.又f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，
∴－f(x)＋g(x)＝－.②
由①②解得f(x)＝，g(x)＝.
答案：
三、解答题
10．试判断函数f(x)＝的奇偶性．
解：由，得
－1≤x<0或0故函数f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且x＋2>0，
从而有f(x)＝
＝＝，
于是f(－x)＝－＝－f(x)．
故函数f(x)是奇函数．
11．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，求f(6)的值．
解：∵f(x＋2)＝－f(x)．
∴f(6)＝f(4＋2)＝－f(4)＝－f(2＋2)
＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)．
∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴f(6)＝0.
创新题型
12．设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数，若f(1－m)解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．
∴不等式f(1－m)又当x∈[0,2]时，f(x)是减函数，
∴解得－1≤m<.
