高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《1.3.2奇偶性》(打包2份,含答案详解)

文档属性

名称 高中新课程数学(新课标人教A版)必修一《1.3.2奇偶性》(打包2份,含答案详解)
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文件大小 503.2KB
资源类型 教案
版本资源 人教新课标A版
科目 数学
更新时间 2013-04-11 15:02:41

文档简介

(共44张PPT)
1.3.2 奇偶性
第1课时 函数奇偶性的概念
目 标 要 求 热 点 提 示
1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义;
2.掌握判断函数奇偶性的方法.   利用函数奇偶性概念来判断函数奇偶性是本课时的热点内容.
我们生活在美的世界中,有过许多对美的感受,如和谐美、自然美、对称美……下图中的图标给我们什么感觉呢?如果给下图中的图标建立适当的坐标系,我们不难发现它们有的关于y轴对称,有的关于坐标原点对称.图象关于y轴对称和关于坐标原点对称的函数是什么特殊函数呢?
1.偶函数
(1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= ,那么函数f(x)叫做偶函数.
(2)几何意义:定义域关于原点对称;图象关于 对称.
f(x)
y轴
温馨提示:函数f(x)是偶函数 对定义域内任意一个x,有f(-x)-f(x)=0 f(x)的图象关于y轴对称.
2.奇函数
(1)定义:如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)= ,那么函数f(x)叫做奇函数.
(2)几何意义:定义域关于原点对称;图象关于 对称.
-f(x)
原点
温馨提示:函数f(x)是奇函数 对定义域内任意一个x,有f(-x)+f(x)=0 f(x)的图象关于原点对称.
3.奇偶性
(1)定义:如果函数f(x)是奇函数或是偶函数,那么就说函数f(x)具有奇偶性.
(2)几何意义:定义域关于 对称;图象关于原点或y轴对称.
原点
温馨提示:函数的奇偶性与最值都是在整个定义域上的性质,是“整体性质”,而函数的单调性是在函数定义域或其子集上的性质,是“局部”性质.
1.函数y=x4+x2 (  )
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
解析:定义域是R,f(-x)=(-x)4+(-x)2=x4+x2=f(x),所以是偶函数.
答案:B
解析:定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞),不关于原点对称,所以既不是奇函数也不是偶函数.
答案:D
4.(2010·北京师大附中高一检测)已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且定义域为[a-1,2a],则a=________,b=________.
思路分析:利用函数奇偶性的定义判断.
解:(1)∵定义域为R,f(-x)=(-x)3+(-x)=-x3-x=-f(x),∴f(x)为奇函数.
(2)∵定义域为{x|x>1或x≤-1},定义域关于原点不对称,
∴f(x)为非奇非偶函数.
(3)∵定义域为{-2,2},任取x∈{-2,2},则-x∈{-2,2}.f(-x)=0=f(x)=-f(x),∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
温馨提示:证明函数奇偶性必须用定义:任取x∈D,则-x∈D,f(-x)=±f(x).如果D不关于原点对称,立刻否定有奇偶性.因为它不满足任意x∈D,则-x∈D.
判断函数奇偶性方法很多,如奇函数+奇函数=奇函数,奇函数×偶函数=奇函数,奇函数×奇函数=偶函数等等.
思路分析:由题目可获取以下主要信息:
①已知函数为分段函数;
②判断此函数的奇偶性.
解答本题可依据函数奇偶性的定义加以说明.
解:(1)当x<0时,-x>0.
f(-x)=-(-x)2+2(-x)-3
=-x2-2x-3=-f(x);
(2)当x>0时,-x<0,
f(-x)=(-x)2+2(-x)+3
=x2-2x+3=-(-x2+2x-3)=-f(x),
综上可知f(x)为奇函数.
温馨提示:(1)对于分段函数奇偶性的判断,须特别注意x与-x所满足的对应关系,如x>0时,f(x)满足f(x)=-x2+2x-3,-x<0满足的不再是f(x)=-x2+2x-3,而是f(x)=x2+2x+3;
(2)要对定义域内的自变量都要考察,如本例分为两种情况,如果本例只有(1)就说f(-x)=-f(x),从而判断它是奇函数是错误的、不完整的.
(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断.
类型二 函数奇偶性的图象特征
【例3】 (1)如下图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值.
(2)如下图,给出偶函数y=f(x)的局部图象,比较f(1)与f(3)的大小,并试作出它的y轴右侧的图象.
思路分析:依据奇、偶函数的图象的对称性,分别作出它们在y轴右侧的部分图象.
解:(1)∵奇函数y=f(x)在y轴左侧图象上任一点P(-x,-f(x))关于原点的对称点P′(x,f(x)).下图为补充后的图象.易知f(3)=-2.
(2)偶函数y=f(x)在y轴右侧图象上任一点P(-x,f(x))关于y轴的对称点P′(x,f(x)),下图为补充完后的图象.易知f(1)>f(3).
温馨提示:给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图象,要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性.其过程是作出原图象几个关键点(图象的最高点、最低点、拐点等)关于原点或y轴的对称点.然后按原图象的特征用平滑曲线连接这些点,就作出了它们在另一个半平面的图象.
温馨提示:本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力.对思维能力要求较高,如果“赋值”不够准确,运算技能不过关,结果很难获得.
解:(1)函数定义域为R.
f(-x)=(-x)3+(-x)5=-(x3+x5)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)函数的定义域为{x|x≠-1}.
不关于原点对称,
∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
  设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f(x)的图象如下图所示,则不等式f(x)<0的解集是__________.
解析:如下图,根据y=f(x),x∈[-5,5]的图象知f(x)<0的解集为{x|-2答案:{x|-2  已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的a、b∈R都满足:f(ab)=af(b)+bf(a).
(1)求f(0)、f(1)的值.
(2)证明f(x)为奇函数.
解:(1)令a=b=0,∴f(0)=0f(0)+0f(0)=0.
令a=b=1,∴f(1)=1·f(1)+1·f(1)=2f(1),
∴f(1)=0.
(2)令a=b=-1,则f(-1)=0.
∵f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x)+0=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
3.(1)若f(x)是偶函数,则f(x)=f(|x|),反之亦真.
(2)若f(x)为奇函数,且0在定义域内,则f(0)=0.
(3)若f(x)=0且f(x)的定义域关于原点对称,则f(x)既是奇函数又是偶函数.
(4)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性;偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.基础达标
一、选择题
1.设定义在R上的函数f(x)=x|x|,则f(x)
(  )
A.既是奇函数,又是增函数
B.既是偶函数,又是增函数
C.既是奇函数,又是减函数
D.既是偶函数,又是减函数
解析:∵f(-x)=-x·|-x|=-x|x|=-f(x),∴f(x)是奇函数;当x≥0时,f(x)=x|x|=x2(x≥0)是增函数,
又∵f(x)是奇函数,∴f(x)在(-∞,0]上也是增函数.
∴f(x)是增函数.也可画图象判断.故选A.
答案:A
2.对于定义域为R的奇函数f(x),下列结论成立的是
(  )
A.f(x)-f(-x)>0   B.f(x)-f(-x)≤0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.f(x)·f(-x)>0
解析:对任意x∈R,都有f(-x)=-f(x),∴f(x)·f(-x)=-f2(x)≤0.故选C.
答案:C
3.如下图,给出了奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)的值为
(  )
A. B.-
C. D.-
解析:奇函数的图象关于原点对称,因此,f(-2)=-f(2)=-.故选B.
答案:B
4.f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,则h(x)=f(x)·g(x)的图象
(  )
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于y=x对称 D.关于原点对称
解析:∵f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
∴h(-x)=f(-x)·g(-x)
=f(x)·[-g(x)]=-f(x)·g(x)=-h(x).
∴h(x)是奇函数,
∴h(x)的图象关于原点对称.故选D.
答案:D
5.y=f(x)(x∈R)是奇函数,则它的图象必过点
(  )
A.(-a,-f(-a)) B.(a,-f(a))
C.(a,f()) D.(-a,-f(a))
解析:∵f(x)是奇函数,∴f(-a)=-f(a).
即图象过点(-a,-f(a)).故选D.
答案:D
6.函数f(x)是定义在区间[-6,6]上的偶函数,且f(3)>f(1),则下列各式一定成立的是
(  )
A.f(0)f(2)
C.f(-1)f(0)
解析:∵f(x)为偶函数,且f(3)>f(1),∴f(-1)=f(1)答案:C
二、填空题
7.函数f(x)=x+b为奇函数,则b应满足__________.
解析:∵f(x)为奇函数,∴f(x)+f(-x)=0,即-x+b+x+b=0,∴2b=0,∴b=0.
答案:b=0
8.若f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,则f(0),f(1),f(-2)从小到大的顺序是__________.
解析:∵f(x)=(m-1)x2+6mx+2是偶函数,∴m=0,∴f(x)=-x2+2.∴f(0)=2,f(1)=1,f(-2)=-2,∴f(-2)答案:f(-2)9.若f(x)和g(x)分别是奇函数与偶函数,且f(x)+g(x)=,则f(x)=________,g(x)=________.
解析:∵f(x)+g(x)=,①
∴f(-x)+g(-x)=-.又f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,
∴-f(x)+g(x)=-.②
由①②解得f(x)=,g(x)=.
答案: 
三、解答题
10.试判断函数f(x)=的奇偶性.
解:由,得
-1≤x<0或0故函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,且x+2>0,
从而有f(x)=
==,
于是f(-x)=-=-f(x).
故函数f(x)是奇函数.
11.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),求f(6)的值.
解:∵f(x+2)=-f(x).
∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)
=f(2)=f(0+2)=-f(0).
∵f(x)是定义在R上的奇函数,
∴f(0)=0,∴f(6)=0.
创新题型
12.设定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上是减函数,若f(1-m)解:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|).
∴不等式f(1-m)又当x∈[0,2]时,f(x)是减函数,
∴解得-1≤m<.