课件44张PPT。第2课时 指数幂及运算我国是人口大国，2007年底有13亿人口．政府现在实行计划生育政策，人口年增长率较低．若按年增长率1%计算，到2008年底，中国人口将增加多少？10年以后2017年底我国人口总数将达到多少？如果年增长率是2%，甚至是5%，那么结果将会怎样？能带来灾难性后果吗？4．无理数指数幂的运算性质同有理数指数幂的运算性质．
(1)aras＝ ；(2)(ar)s＝ ；
(3)(ab)r＝ (a>0，b>0，r，s∈R)．ar＋sarsarbr思路分析：由题目可获得以下主要信息：本例三个小题均含有根式．解答本题可将根式化为分数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．思路分析：当式子中既有根式又有分数指数幂时，应将根式统一化到分数指数幂的形式，便于运算．温馨提示：(1)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，小数指数幂化为分数指数幂，并尽可能统一成分数指数幂形式，再利用幂的运算性质进行运算．
(2)对于根式计算结果，并不强求统一的表示形式，一般地用分数指数幂的形式来表示，如果有特殊要求，则按要求给出结果，但结果中不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，即结果必须化为最简形式． 思路分析：在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，化负指数为正指数，再利用幂的运算性质进行化简运算．思路分析：利用立方和公式、平方差公式、完全平方公式，将所求的式子拼凑出已知的式子．解：(1)令2x＝t，则2－x＝t－1，∴t＋t－1＝a.①
解法一：由①两边平方得t2＋t－2＝a2－2，
∴8x＋8－x＝t3＋t－3
＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
＝a(a2－2－1)＝a3－3a.
解法二：8x＋8－x＝t3＋t－3
＝(t＋t－1)(t2－t·t－1＋t－2)
＝a[(t＋t－1)2－3t·t－1]
＝a(a2－3)＝a3－3a.温馨提示：1.对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底数幂的运算法则及乘法公式．
2．一般不采用分别把x、y、2x的值求出来代入求值的方法．应先将原式进行分母有理化并用乘法公式变形，把2x＋2－x、x＋y及xy整体代入后再求值．
3．适当地选用换元，能使公式应用更清晰，过程更简捷． 思悟升华
1．根式的运算技巧：根据分数指数幂和根式的关系，根式的运算可以与分数指数幂的运算相互转化，对于运算的结果，不统一要求用什么形式来表示，没有特别要求，可以用分数指数幂的形式表示；有特殊要求可以根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．2．对于利用分数指数幂的运算性质化简求值的问题，一般有三种思路：将条件用结论表示，直接解出结论；将结论用条件表示，直接将条件代入，然后求出结果；找到条件和结论的中间量、借助中间量求解，注意利用整体代换及平方差、立方差、立方和公式，利用转化、换元等方法．
指数的发展
n个相同的因数相乘，即a·a·a·…·a记作an，an叫做a的n次幂，其中a叫做底数，n叫做指数．
本来幂的指数总是正整数，后来随着数的扩充，指数的概念也不断发展．
18世纪以后，人们发现复数a＋bi还可以用三角式r(cosθ＋isinθ)及指数式reiθ表示(r是模，θ是辐角)，从而得到了一般复数指数的概念．
1679年，莱布尼茨写信给荷兰数学家惠更斯讨论方程：
xx－x＝24，xz＋zx＝b，xx＋zz＝c，
这是引入变指数的开始．
指数概念形成后，欧拉才把对数建立在指数的逆运算的基础上，这就是现行教科书采用的方法．
基础达标
一、选择题
1．以下化简结果错误的是(字母均为正数)
( )
解析：根据分数指数幂的运算性质，A、B、D都正确，而C的右边应为－ac－2，故选C.
答案：C
2．(2008·浙江高考)已知，则x等于
( )
A．±8 B．±
C. D．±2
答案：B
( )
A. B．－
C. D．－
答案：C
( )
解析：注意根式定义和整体特点．
答案：C
5．如果x>y>0，那么＝
( )
解析：原式＝xyyxy－yx－x＝xy－xyx－y＝y－x.
答案：C
6．已知x2＋x－2＝2且x>1，则x2－x－2的值为
( )
A．2或－2 B．－2
C. D．2
解法一：∵x>1，∴x2>1，由x2＋x－2＝2，化为x4－2x2＋1＝0.
解得x2＝＋1，∴x2－x－2＝＋1－＝＋1－(－1)＝2.
解法二：(x2－x－2)2＝(x2＋x－2)2－4x2·x－2＝(2)2－4×1＝4.又x>1，∴x2>1>x－2，
∴x2－x－2＝＝2.
答案：D
二、填空题
a－2
答案：a－2
8．计算×5－1＝__________.
解析：原式＝×＝×＝9.
答案：9
答案：
三、解答题
10．计算下列各式．
创新题型
