课件38张PPT。2．1.2 指数函数及其性质第1课时
指数函数的概念、图象与性质有一位大学毕业生到一家私营企业工作，试用期过后，老板对这位大学生很赞赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为20元，以后每个月的工资是上月工资的2倍，那么这位老板选择了哪一种方案呢？此时老板不加思索就选了第二种方案，于是他们之间就定了一个劳动待遇合同，一年之后这位老板才发现自己选择了错误的方案，这是为什么呢？如果让老板重新签订合同，那你认为他会选择哪种方案呢？学习本节内容后，你就能回答这个问题了．
指数函数
(1)定义：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 ．(－∞，＋∞)(2)图象和性质：如下表所示：(－∞，＋∞)(0，＋∞)(0,1)(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)1．下列一定是指数函数的是 ( )
A．形如y＝ax的函数 B．y＝xa(a>0，且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)x D．y＝(a－2)ax
解析：∵y＝(|a|＋2)x符合指数函数的定义，
∴y＝(|a|＋2)x是指数函数．
答案：C2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图，则 ( )
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．0
1 D．0解析：结合指数函数的图象知b>1,0答案：C3．方程4x＋1－4＝0的解是x＝________.
解析：4x＋1－4＝0?4x＋1＝4?x＋1＝1，∴x＝0.
答案：04．函数y＝(a－1)x在R上为减函数，则a的取值范围是________．
解析：∵y＝(a－1)x在R上递减，∴0答案：(1,2)5．已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，求f(6)的值．
解：设f(x)＝ax，则a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，∴f(6)＝26＝64.类型一 指数函数的概念问题
【例1】 函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则a的值为________．温馨提示：判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构，否则就不是指数函数． 类型二 指数函数的图象问题
【例2】 如下图所示是指数函数①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx；④y＝dx的图象，则a、b、c、d与1的大小关系是
( )
A．aB．bC．1D．a解法二：作出直线x＝1，设与①②③④的图象分别交于点A、B、C、D，则其坐标依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由图象观察可得c>d>1>a>b，故选B.温馨提示：据上题现象总结规律如下：
当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y轴，当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向下越靠近x轴，简称，x>0时，底大图象高． 【例3】 画出函数y＝2|x＋1|的图象．
思路分析：通过分类讨论可去掉绝对值符号，变为分段函数，进而作出图象．另外，也可把函数y＝2|x＋1|看作由y＝2|x|左移一个单位得到，而y＝2|x|的图象，可由y＝2x的图象经对称变换得到．解法二：先作出y＝2x(x≥0)的图象，再关于y轴对称即得y＝2|x|的图象，再将y＝2|x|的图象左移一个单位即可得到y＝2|x＋1|的图象，如图所示．
温馨提示：函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝a－x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称，y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－ax(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称，函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象与y＝－a－x(a>0且a≠1)的图象关于坐标原点对称． 思路分析：由于指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的定义域是R，所以函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同，在定义域内可利用指数函数的单调性来求值域．
温馨提示：求与指数函数有关的函数的值域时，要注意考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性． 下列式子一定是指数函数的是 ( )
A．形如y＝ax的函数 B．y＝22x＋1
C．y＝(|m|＋2)－x D．y＝x2 函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)恒过定点________．
解析：原函数可变形为y－3＝ax－3(a>0，且a≠1)，将y－3看做x－3的指数函数，
∵x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4.
∴y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)恒过定点(3,4)．
答案：(3,4)1．准确理解指数函数的定义
在指数函数的定义表达式y＝ax(a>0，且a≠1)中，ax前的系数必须是1，自变量x在指数的位置上，否则不是指数函数．
2．在同一坐标系中，几个指数函数图象的相对位置与底数的关系在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，这一性质可通过x取1时，函数值的大小去理解．如右图所示，a、b、c分别对应函数y＝ax，y＝bx，y＝cx当x取1时的函数值，∵a>b>c，∴在y轴右侧图象从上到下对应y＝ax，y＝bx，y＝cx，这就验证了上述性质．
3．图象变换
(1)y＝f(x＋a)的图象可由y＝f(x)的图象平移得到：a>0时，左移a个单位，a<0时，右移|a|个单位，y＝ax＋k(k≠0，a>0且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向左(k>0)、向右(k<0)平移产生的．(2)y＝f(x)＋a的图象可由y＝f(x)的图象平移得到：a>0时，上移a个单位，a<0时，下移|a|个单位，如y＝ax＋k(a>0，a≠1且k≠0)的图象是由y＝ax的图象经过向上(k>0)、向下(k<0)平移产生的．
(3)y＝a－x与y＝ax(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
基础达标
一、选择题
1．下列函数中指数函数的个数为
( )
①y＝()x；
②y＝()x－1；
③y＝2·3x；
④y＝ax(a>0且a≠1，x≥0)；
⑤y＝1x；
⑥y＝()2x－1；
⑦y＝x.
A．1个 B．2个
C．4个 D．5个
解析：利用指数函数的定义可判断．
答案：A
2．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则
( )
A．AB B．A?B
C．AB D．A＝B
解析：由A＝{y|y>0}，B＝{y|y≥0}得A?B.
答案：A
3．函数y＝a|x|(a>1)的图象是下图中的
( )
解析：(分类讨论)：
去绝对值符号，可得y＝
又a>1，由指数函数图象易知，故选B.
答案：B
4．要得到函数y＝21－2x的图象，只需将函数y＝x的图象
( )
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
∴应向右平移个单位．
答案：D
5．若函数y＝ax－(b＋1)(a>0，a≠1)的图象在第一、三、四象限，则有
( )
A．a>1且b<0 B．a>1且b>0
C．00 D．0答案：B
6．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是
( )
B．y＝()1－x
C．y＝ D．y＝
解析：易知C值域为[0，＋∞)，A值域为{y|y>0且y≠1}，D值域为[0,1)，因此选B.
答案：B
二、填空题
7．指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,4)，那么f(2)·f(4)＝________.
解析：由已知函数图象过(2,4)，令y＝ax，得a2＝4，∴a＝2，∴f(2)·f(4)＝22×24＝64.
答案：64
8．已知函数f(x)＝2x＋a的图象不过第二象限，那么常数a的取值范围是__________．
解析：把函数y＝2x图象向下平移1个单位后图象过原点(0,0)，不过第二象限．再向下平移，仍然不过第二象限，即把y＝2x图象向下至少平移1个单位，所得函数f(x)＝2x＋a图象就满足条件，由向下平移图象的变换法则，知a≤－1.
答案：(－∞，－1]
9．(2009·江苏卷)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________．
解析：∵a＝∈(0,1)，
∴f(x)＝ax在定义域上为减函数，
由题意f(m)>f(n)可知，m答案：m三、解答题
10．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象过点(2，)，所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝()x－1(x≥0)，由x≥0得，x－1≥－1，
于是0<()x－1≤()－1＝2.
所以，所求的函数值域为(0,2]．
11．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x的图象经过怎样的变换得到的．
(1)y＝2x－1；(2)y＝2x＋1；(3)y＝2|x|；
(4)y＝|2x－1|；(5)y＝－2x；(6)y＝－2－x.
解：如下图所示．
y＝2x－1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位得到；
y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位得到；
y＝2|x|的图象是由y＝2x的y轴右边的图象和其关于y轴对称的图象组成的；
y＝|2x－1|的图象是由y＝2x的图象向下平移1个单位，然后将其x轴下方的图象对称到x轴上方得到的；
y＝－2x的图象与y＝2x的图象关于x轴对称；
y＝－2－x的图象与y＝2x的图象关于原点对称．
创新题型
12．若函数f(x)＝ax－1(a>0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解：当a>1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴，即，∴a＝±.
又a>1，∴a＝，
当0∴，即，
解得a∈?，综上所述，a＝.
