课件46张PPT。第2课时 指数函数的性质及应用一种放射性物质不断变为其他物质，每经过1年剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量y关于时间t的函数关系式，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出大约要经过多少年，剩留量是原来的50%.(结果保留1个有效数字)1．指数函数图象的单调性：(1)当a>1时，函数y＝ax在定义域(－∞，＋∞)上为 ；(2)当0
2．函数y＝2x在定义域(－∞，＋∞)上为增函数，如果x＝f(t)在t∈[M，N](M若在t∈[M，N](M则y＝af(t)在t∈[M，N](M若在t∈[M，N](M则y＝af(t)在t∈[M，N](MA．定义域是R，值域是R
B．定义域是R，值域是(0，＋∞)
C．定义域是R，值域是(－1，＋∞)
D．以上都不对2．函数y＝x＋a，y＝ax(a>0，a≠1)的图象可能是下图中的
( )
解析：由a>0及一次函数图象性质排除A、C、D中由一次函数图象与y轴交点知a>1，此时指数函数图象单调递减；当a>1矛盾，选B.
答案：B4．(2010·江苏高考)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函数，则实数a＝________.
解析：∵f(x)是偶函数，∴对任意x∈R都有f(－x)＝f(x)，则必有f(1)＝f(－1)．代入f(x)＝x(ex＋ae－x)可得(1＋a)(e＋e－1)＝0，∴a＝－1.
答案：－1思路分析：利用y＝af(x)型函数的单调性求之．温馨提示：“换元法”是研究y＝f(ax)型或y＝af(x)型函数的重要方法，利用内外函数“同增异减”的法则，很容易判断此类型函数的单调性． 类型二 解简单的指数不等式
【例2】 如果a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
思路分析：对a的取值分类讨论，从而得到关于x的不等式，解不等式即可．解：(1)当0∴2x＋1≥x－5，解得x≥－6.
(2)当a>1时，
由于a2x＋1≤ax－5，
∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.
综上所述，x的取值范围是：
当0当a>1时，x≤－6.温馨提示：本题易出现解析不完整的情况，原因是未对a进行分类讨论． 类型三 指数函数的最值问题
【例3】 设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．温馨提示：二次函数与指数函数的复合问题是常见题，对于这类复合函数问题，本质上考查的还是区间上的二次函数最值问题．在处理方式上可利用换元法，将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和ax的单调性求出t的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数最值问题了．特别要注意换元后的参数t的范围． 思路分析：函数的奇偶性看起来较难，只要运用常规方法，如通分等可解决．(3)证明：x>0时，2x>1，∴2x－1>0，
又∵x3>0，∴f(x)>0.
x<0时，2x<1，∴2x－1<0，
又∵x3<0，∴f(x)>0.
∴当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时f(x)>0.温馨提示：对一些比较复杂的函数进行奇偶性的判断，通常需要先化简再判断，在第(3)问中，由定义域的形式，自然想到分两种情况证明． 设2－5x>(0.5)x＋6，则x的取值范围是什么？ 已知函数y＝9x－2·3x＋2，x∈[1,2]，求函数的值域．
解：y＝9x－2·3x＋2＝(3x)2－2·3x＋2，
设t＝3x，x∈[1,2]，则t∈[3,9]，
则函数化为y＝t2－2t＋2(t∈[3,9])，
作出函数y＝t2－2t＋2，t∈[3,9]的图象如右图，
可知函数在[3,9]上为单调递增函数，∴5≤y≤65.
所以函数的值域为{y|5≤y≤65}． 1．指数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数函数单调性有关的问题首先要看底数的范围．
2．解与指数函数有关的问题要注意数形结合．
3．y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f[g(x)]的单调性有如下特点：指数幂比较大小的三种类型及求解技巧
两个指数幂比较大小是本节的一个重要题型，在比较时，要紧密结合指数函数的性质，根据问题类型灵活地选用比较方法．下面就对这个题型的相关类型及相应方法做一归纳总结．思路分析：借助相应指数函数的单调性比较同底指数幂的大小，若底数含参则应注意分类讨论．温馨提示：此类型比较大小问题，要先选定相关指数函数，再确定其单调性，然后依据单调性比较大小．当底数为参数时，要注意对其进行分类讨论．温馨提示：此类型比较大小问题，一般采用媒介法，并结合指数函数性质判定，常用的“媒介”有0、1或一个中间函数值．
综上，指数幂比较大小常见类型有三种，常用方法有以下几种：运用指数函数图象、性质、作商法、媒介法．同学们在做题时要灵活运用．
基础达标
一、选择题
1．若()2a＋1<()3－2a，则实数a的取值范围是
( )
A．(1，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
解析：函数y＝()x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a>.
答案：B
2．(2010·山东高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b，(b为常数)，则f(－1)＝________.
( )
A．3 B．1
C．－1 D．－3
解析：∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，解得b＝－1，∴x≥0时f(x)＝2x＋2x－1.
∴f(1)＝21＋2×1－1＝3.∴f(－1)＝－f(1)＝－3.
答案：D
3．函数y＝的值域是
( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
解析：∵2x>0，∴2x－1>－1.
又2x－1在分母上，∴2x－1>－1，且2x－1≠0.
当－1<2x－1<0时，<－1；
当2x－1>0时，>0.
∴<－1，或>0.故选D.
答案：D
( )
A．[－1，] B．(－10，－1]
C．[2，＋∞) D．[，2]
解析：－x2＋x＋2≥0?－1≤x≤2为定义域，f(x)＝－x2＋x＋2的减区间是[，2]，而y＝()x又是减函数，∴原函数的增区间是[，2]，故选D.
答案：D
5．设<()b<()a<1，则
( )
A．aaC．ab解析：由已知条件得0答案：C
6．若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为
( )
A．(1，＋∞) B．(1,8)
C．(4,8) D．[4,8)
解析：因为f(x)在R上是增函数，故结合图象知
，解得4≤a<8.
答案：D
二、填空题
7．函数y＝2－x在区间[，2]上的最小值是________．
解析：∵y＝2－x＝()x在[，2]上是减函数，∴ymin＝()2＝.
答案：
8．已知f(x)的定义域为(0,1)，则f(3x)的定义域为________．
解析：∵f(x)的定义域为(0,1)
∴0<3x<1，∴x<0，故应填(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
9．已知0.8m>0.8n>1，则m、n、0的大小关系为________．
解析：由指数函数y＝0.8x的图象可知m答案：m三、解答题
10．已知2x≤()x－3，求函数y＝()x的值域．
解：由2x≤()x－3得2x≤2－2x＋6，
∴x≤－2x＋6，x≤2，
∴()x≥()2＝，
即y＝()x的值域为[，＋∞)．
11．已知函数f(x)＝2x＋2－x.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)求函数的单调增区间，并证明．
解：(1)f(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2－x＋2x＝f(x)且x∈R，
∴函数f(x)＝2x＋2－x是偶函数．
(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]和[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．
设0≤x1∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)∴函数在[0，＋∞)上单调递增，
即函数的单调增区间为[0，＋∞)．
创新题型
12．已知关于x的方程()x＝的根为正数，求a的取值范围．
解：因为方程的根为正数，
所以0<()x<1，
即0<<1，
∴，∴
解得.
∴－