基础达标
一、选择题
1．若102x＝25，则x等于
( )
A．lg B．lg5
C．2lg5 D．2lg
解析：∵102x＝25，
∴2x＝lg25＝lg52＝2lg5，
∴x＝lg5.
答案：B
( )
A．1＋2lg2 B．－1－2lg2
C．3 D．－3
解析：
＝1－lg2＋2＋lg2＝3.
答案：C
3．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36＝
( )
A. B.
C. D.
解析：log36＝＝＝.
答案：B
4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是
( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．1＋3a－a2
解析：∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2，故选A.
答案：A
5．已知|lga|＝|lgb|(a>0，b>0)，那么
( )
A．a＝b B．a＝b或ab＝1
C．a＝±b D．ab＝1
解析：由|lga|＝|lgb|，得lga＝lgb或lga＝－lgb＝lg，∴a＝b或a＝.故选B.
答案：B
6．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则(lg)2的值等于
( )
A．2 B.
C．4 D.
解析：由根与系数的关系，得lga＋lgb＝2，lga·lgb＝，
∴(lg)2＝(lga－lgb)2
＝(lga＋lgb)2－4lga·lgb
＝22－4×＝2.
答案：A
二、填空题
7．lg20＋log10025＝________.
解析：lg20＋log10025＝lg20＋＝lg20＋lg5＝lg100＝2.
答案：2
答案：2
9．已知f(3x)＝2xlog23，则f(21005)的值等于________．
解析：设3x＝t，则x＝log3t，
∴f(t)＝2log3t·log23＝
＝2log2t，
∴f(21005)＝2log221005＝2010.
答案：2010
三、解答题
10．计算下列各式的值：
(1)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；
(2)(lg2)2＋lg2lg50＋lg25.
解：(1)原式＝lg5＋lg2＋＋2
＝lg10＋＋2＝.
(2)原式＝(1－lg5)2＋(1－lg5)(1＋lg5)＋2lg5
＝1－2lg5＋lg25＋1－lg25＋2lg5
＝1＋1
＝2.
11．已知log147＝a,14b＝5，用a，b表示log3528.
解：∵log147＝a,14b＝5，∴b＝log145.
∴log3528＝＝
＝
＝.
创新题型
12．已知a，b是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，若a，b满足lg(a＋b)＝lga＋lgb，试写出一组符合题意的p，q的值．
解：由已知得且Δ≥0，即p2－4q≥0，又因为lg(a＋b)＝lga＋lgb，即a＋b＝ab，且a>0，b>0，∴－p＝q>0，即满足即可，
如取p＝－4，q＝4；p＝－5，q＝5等均符合题意．(共43张PPT)
第2课时 对数的运算
目 标 要 求 热 点 提 示
1.能够熟练地运用对数的运算性质进行计算．
2．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．
3．了解换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数，体会换底公式在解题中的作用. (1)要准确把握对数与指数的关系，熟练掌握对数式与指数式的互化，并利用它们之间的关系以及幂的运算性质，推导对数的运算性质；(2)要准确把握对数式及对数运算性质中的限制条件；(3)要通过运用这些概念与性质，加深对对数的理解.
某中学为了争创“全国千所示范高中”，投入了大量的资金．一方面是硬件设施的改善和校园环境的美化，另一方面是进行师资培训，进一步提高教师素质．在2006年学校总投资是a万元，并计划在近几年内，每年都比上一年增长50%的势头投入资金．你能计算出经过多少年该中学的资金总投入是2006年的6倍吗？
1．log63＋log62等于 ( )
A．6 B．5
C．1 D．log65
解析：log63＋log62＝log6(3×2)＝log66＝1.
答案：C
4．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝________.(用a，b表示)
解析：log27＝log23·log37＝ab.
答案：ab
思路分析：逆用对数性质可求值．
温馨提示：对数式的计算要注意公式的逆用，譬如在常用对数中，lg2＝1－lg5，lg5＝1－lg2的运用．
温馨提示：解法一是先分括号内换底，然后再将底统一；解法二是在解题方向还不清楚的情况下，一次性地统一为常用对数(当然也可以换成其他非1的正数为底)，然后再化简．上述方法是不同底数对数的计算、化简和恒等证明的常用方法．
思路分析：指数与对数的互化，对数的运算性质是解决此类问题必须具备的基本手段．
类型四 对数的实际应用问题
【例4】 一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的84%，估计约经过多少年，该物质的剩留量是原来的一半．(结果保留1个有效数字)
思路分析：首先找到剩余量与年数的关系，再利用对数计算．
温馨提示：对数的实际应用问题应首先建立量的关系式，在计算时，通过两边取对数，利用对数计算．
计算：(1)log1627·log8132；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
根据建设有中国特色的社会主义的战略方针，我国工农业总产值从2000年到2020年经过20年将要翻两番，问平均增长率至少应为多少？(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg1.072＝0.0301)
解：设2000年总产值为a，平均增长率为x，由题意，得
a(1＋x)20＝4a，即(1＋x)20＝4，
将上式化为对数式得lg(1＋x)20＝lg4
即20lg(1＋x)＝2lg2＝0.6020.
∴lg(1＋x)＝0.0301＝lg1.072.
∴1＋x＝1.072，即x＝0.072.
故平均增长率至少应为7.2%.
1．对数运算性质的理解与运用需注意的问题
(1)对数的运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数符号都有意义时，等式才成立．如log2[(－3)·(－5)]是存在的，但log2(－3)与log2(－5)均不存在，故不能写成：
log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)．
(3)避免机械地从符号去记忆公式，注意用语言准确叙述运算性质，以防止出现上述错误．
(4)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．
对数简史
对数是高中初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是16世纪末到17世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔男爵．
在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间，运用对数使庞大的计算大为简化．
那么，当时纳皮尔所发明的对数运算，是怎么一回事呢？在那个时代，计算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来看看下面这个例子：
0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、…
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16 384、…
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示2的指数，第二行表示2的对应幂．如果我们要计算第二行中两个数的乘积，可以通过第一行对应数字的相加求和来实现．
比如，计算64×256的值，就可以先查询第一行的对应数字：64对应6,256对应8；然后再把第一行中的对应数字相加求和：6＋8＝14；第一行中的14对应第二行中的16384，所以有：64×256＝16384.
纳皮尔的这种计算方法，实际上已经完全是现代数学中“对数运算”的思想了．这种“化乘除为加减”，从而达到简化计算的思路，不正是对数运算的明显特征吗？
经过多年的探索，纳皮尔男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的对数定律说明书》，向世人公布了他的这项发明，并且解释了这项发明的特点．
