课件44张PPT。本章概览
一、内容概述
本章主要内容包括函数的零点，求函数零点的近似解的一种方法——二分法，函数模型及其应用．
具体内容和要求如下：
1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．
3．了解指数函数、对数函数以及幂函数间的增长特征；知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．4．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．二、地位作用
函数的应用是学习函数的一个重要的方面．学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题．通过函数的应用，对完善函数的思想，激发应用数学的意识，培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助．函数内容在数学各分支中都有广泛的应用，近几年高考中逐渐增加了对有关函数内容的考查，加强了与方程(函数的零点)、不等式等相关知识的联系．三、学法指导
教材以二次函数为例引出了函数零点的概念，讨论了二次函数零点个数的判定方法，给出了函数零点的性质．用二分法求函数的符号是零点性质的应用．教材有目的、有意识地将算法思想渗透到高中数学的有关内容中，需要不断加深对算法思想的理解，体会算法思想在解决问题和培养理性思维中的意义和作用．二分法正是这一思想的体现．
通过本章的学习，学会用二分法求方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系．通过一些实例，感受建立函数模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的应用，认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，并能初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题．“数学建模”是数学学习的一种新的方式，提供了自主学习的空间，有助于体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学习数学的兴趣，培养创新精神和实践能力. 3．1.1 方程的根与函数的零点有这样一个有趣的故事：小虫在树枝上作了一个窝，快乐地生活着．一天，一只啄木鸟找食吃，它闻到一股小虫的味道，就知道这个树枝上有“美食”，但就是不确定在什么位置，于是这只啄木鸟首先在树枝的中间位置啄了一个洞，没有发现小虫，但是树枝左边小虫的气味比右边的要浓一些，于是啄木鸟开始向左边搜寻． 啄木鸟又在左半段树枝的中央啄了一个洞，还是没有发现小虫的踪迹，但是这次，树枝右边小虫的气味比左边的要浓一些，于是啄木鸟开始向右边搜寻．就这样，啄木鸟经过若干次的“搜寻”，终于找到了小虫子，饱餐一顿．你觉得这只啄木鸟聪明吗？在这背后，会不会蕴含着一些神秘的东西呢？1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把 叫做函数y＝f(x)的零点．
2．方程、函数、图象之间的关系
方程f(x)＝0 ?函数y＝f(x)的图象
?函数y＝f(x) ．使f(x)＝0的实数x有实数根与x轴有交点有零点3．函数零点的判定
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是 的一条曲线，并且有 ，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内 ，即存在c∈(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)＝0的根．连续不断f(a)·f(b)<0有零点f(c)＝01．函数y＝x－1的零点是 ( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．0 D．1
解析：令y＝0，即x－1＝0，∴x＝1，即为函数y＝x－1的零点．
答案：D2．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是
( )
A．a<1 B．a>1
C．a≤1 D．a≥1
解析：由题意知，Δ＝4－4a<0，∴a>1.
答案：B3．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于 ( )
A．0 B．1
C．－1 D．不能确定
解析：奇函数图象关于原点对称，若有三个零点，则三个零点之和为0.
答案：A4．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是________．
解析：令f(x)＝0，即x2－3x－4＝0，解得x1＝4，x2＝－1，即为函数的零点．
答案：4，－15．函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，求函数g(x)＝bx2－ax－1的零点．类型一 函数零点的概念
【例1】 讨论函数y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零点．
思路分析：函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根．可转化为讨论方程(ax－1)(x－2)＝0的根的情况．温馨提示：正确理解函数的零点与对应方程的根的关系，要结合本题中实数a的取值情况进行分类讨论． 思路分析：从已知的区间(a，b)中，求f(a)和f(b)，判断是否有f(a)·f(b)<0.温馨提示：这是最基本的题型，所用的方法也是基本方法：只要判断区间[a，b]的端点值的乘积是否有f(a)·f(b)<0，并且看函数f(x)的图象在[a，b]上是否是连续曲线即可．类型三 已知函数的零点求参数
【例3】 (1)函数f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14有两个零点，且一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围；
(2)关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根且一根大于4，一根小于4，求实数m的取值范围．思路分析：利用根与系数的关系或利用函数图象、数形结合求解．温馨提示：一元二次方程根的分布问题比较复杂，一般需研究根的判别式，对应函数图象的对称轴、端点函数值等，运算量比较大，但若从函数有零点的条件出发来分析，可使问题大大简化． 求下列函数的零点：
(1)f(x)＝－x2－2x＋3；
(2)f(x)＝x4－1.
解：(1)由于f(x)＝－x2－2x＋3
＝－(x＋3)(x－1)，
∴方程－x2－2x＋3＝0的两根是－3、1.
故函数的零点是－3,1.
(2)由于f(x)＝x4－1
＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.
故函数的零点是－1,1. (1)若方程2ax2－1＝0在(0,1)内恰有一解，则实数a的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝3mx－4，若在[－2,0]上存在x0，使f(x0)＝0，则实数m的取值范围是________．
1．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2．图象连续的函数的零点的性质：
(1)函数的图象是连续的，当它通过零点时(非偶次零点)，函数值变号．
推论：如果函数在区间[a，b]上的图象是连续的，且f(a)·f(b)<0，那么函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．
(2)相邻两个零点之间的函数值保持同号．
3．闭区间[a，b]上的连续函数满足f(a)f(b)<0时，在(a，b)上有零点，但有零点时未必满足f(a)f(b)<0.
4．有关零点的存在性及零点个数的题，作图判断较好．
基础达标
一、选择题
1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是
( )
A．－2,3 B．2,3
C．2，－3 D．－2，－3
解析：令－x2＋5x－6＝0，得x1＝2，x2＝3.
答案：B
2．函数f(x)＝x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上的零点情况是
( )
A．没有零点 B．有一个零点
C．有两个零点 D．有无数多个零点
解析：函数f(x)＝x2＋4x＋4＝(x＋2)2有唯一零点－2∈[－4，－1]．
答案：B
3．若已知f(a)<0，f(b)>0，则下列说法中正确的是
( )
A．f(x)在(a，b)上必有且只有一个零点
B．f(x)在(a，b)上必有正奇数个零点
C．f(x)在(a，b)上必有正偶数个零点
D．f(x)在(a，b)上可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点，还可能无零点
解析：若f(x)的图象不连续则可能没有零点，若f(x)在该区间有零点则可能有正偶数个零点，也可能有正奇数个零点．故应选D.
答案：D
4．函数f(x)＝x－没有零点则a的取值范围是
( )
A．a<0 B．a≤0
C．a>0 D．a≥0
解析：f(x)＝x－＝其定义域为{x|x∈R且x≠0}故a≤0即可．
答案：B
5．(2010·福建高考)函数f(x)＝的零点个数为
( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：由得x＝－3，
由得x＝e2，故有两个零点．
答案：C
6．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围是
( )
A．a<－1 B．a>1
C．－1
解析：令f(x)＝2ax2－x－1，∴f(x)＝0在(0,1)内恰有一解，∴f(0)·f(1)<0，即－1·(2a－2)<0，∴a>1.
答案：B
二、填空题
7．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
解析：函数f(x)＝ax－b的零点是3，所以3a－b＝0，即b＝3a，于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0，或x＝－1.
答案：0，－1
8．已知方程2x2＋(m＋1)x＋m＝0有一正根一负根，则实数m的取值范围是________．
解析：由韦达定理得即
?
??m<0.
∴m的取值范围是(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
9．(2009·山东卷)若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：由f(x)＝ax－x－a＝0，可得ax＝x＋a，
设y1＝ax，y2＝x＋a，由题意可知，两函数的图象有两个不同的交点，分两种情况：
①当0不合题意；
②当a>1时，如下图：
符合题意．
综述，a的取值范围为(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
三、解答题
10．已知m∈R时，函数f(x)＝m(x2－1)＋x－a恒有零点，求a的范围．
解：∵f(x)＝mx2＋x－a－m，当m＝0时，
f(x)＝x－a，
a∈R时，f(x)有零点，当m≠0时，
Δ＝12－4m(－a－m)＝4m2＋4am＋1≥0，恒成立，
则有16a2－16≤0，∴－1≤a≤1.
11．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝lnx＋2x－6，试判断函数f(x)的零点个数．
解法一：∵函数f(x)为奇函数，且x>0时，
f(x)＝lnx＋2x－6.
∴当x<0时，－x>0，
f(－x)＝ln(－x)－2x－6
即－f(x)＝ln(－x)－2x－6，
∴f(x)＝－ln(－x)＋2x＋6，
∴函数f(x)的解析式为：
f(x)＝.
易得函数f(x)有3个零点．
解法二：当x>0时，在同一坐标系中作出函数y＝lnx和y＝6－2x的图象，由图象的对称性以及奇函数性质可知，函数f(x)在R上有3个零点．
创新题型
12．试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y＝至少有一个零点．
解：函数f(x)＝的定义域为(－∞，－)∪(－，＋ ∞)．取区间[，]．
∵f()＝＝－<0，
f()＝＝－>0，
∴在区间[，]内函数f(x)至少有一个零点．
∴[，]就是符合条件的一个区间．
(答案不唯一)
