课件40张PPT。3.1.2 用二分法求方程的近似解30枚硬币中含有一枚质量稍轻的假币，用天平最少需几次称量才能将假币区分出来？
(1)在天平的左右两个盘里各放15枚，假币在较轻的一边．
(2)将含有假币的15枚取出一枚，余下的14枚左右各7枚，此时若天平平衡，则取出的一枚就是假币；若天平不平衡，则假币在较轻的一端的7枚中．(3)从这7枚中取出一枚，余下的6枚左右各放3枚，此时若天平平衡，那么取出的一枚就是假币，否则假币在较轻的3枚中．
(4)从这3枚中取出一枚，另两枚左右各放一枚，若天平平衡，则所取的一枚就是假币，否则天平两端较轻的就是假币．
上述称量寻找假币的方法用了什么思想？为什么不称量30次呢？若考虑偶然性的话，两次称量出哪一枚是假币的可能性也有，但不是必然称量出来的方法．上面的四次称量是一定找出假币的最少称量方法．你还有什么其他的称法吗？3．给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定 ，验证 ，给定 ；
(2)求区间 ；
(3)计算 ；
①若 ，则c就是函数的零点；
②若 ，则令 (此时零点x0∈(a，c))；
③若 ，则令 (此时零点x0∈(c，b))．
(4)判断是否达到精确度ε：即若 ，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．区间[a，b]f(a)·f(b)<0精确度ε(a，b)的中点cf(c)f(c)＝0f(a)·f(c)<0b＝cf(c)·f(b)<0a＝c|a－b|<ε4．求函数零点的近似值时，所要求的 不同，得到的结果也不相同，精确度ε是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若 ，即认为已达到所要求的精确度，否则应继续计算，直到 为止．
5．用二分法求函数零点的近似值时，最好是将计算过程中所得到的各个 、 、
等列在一个表格中，这样可以更清楚地发现零点所在区间．精确度|a－b|<ε达到精确度中点坐标计算中点的函数值所取区间1．下面关于二分法的叙述，正确的是 ( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成
D．只有求函数零点时才用二分法
答案：B2．设f(x)＝3x＋2x－8，用二分法求方程3x＋2x－8＝0在x∈(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根在区间 ( )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2) D．不能确定
解析：∵f(1.5)>0，f(1.25)<0，∴方程根在区间
(1.25,1.5)内．
答案：A3．求方程x3－2x－5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．
解析：设f(x)＝x3－2x－5，f(2)<0，f(3)>0，f(2.5)>0即f(2)f(2.5)<0，所以下一个区间是(2,2.5)．
答案：(2,2.5)4．已知函数g(x)的图象是连续不断的，x，g(x)的对应值表如下：
函数g(x)在哪个区间内有零点？为什么？
解析：∵g(1)＝－2<0，g(2)＝3>0，∴g(1)·g(2)<0，∴g(x)在区间(1,2)内有零点．类型一 二分法的概念
【例1】 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是 ( )思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①题中给出了函数的图象；
②二分法的概念．
解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
答案：B温馨提示：(1)准确理解“二分法”的含义．二分就是平均分成两部分．二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．
(2)“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点． 类型二 用二分法求方程的近似解
【例2】 利用计算器求方程lgx＝3－x的近似解(精确度0.1)．
思路分析：首先确定lgx＝3－x的根的大致区间，由于y＝lgx，y＝3－x的图象可以作出，由图象确定根的大致区间再用二分法求解．解：作出y＝lgx，y＝3－x的图象(下图)可以发现，方程lgx＝3－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(2,3)内．设f(x)＝lgx＋x－3，用计算器计算，得
f(2)<0，f(3)>0，∴x0∈(2,3)；
f(2.5)<0，f(3)>0?x0∈(2.5,3)；
f(2.5)<0，f(2.75)>0?x0∈(2.5,2.75)；
f(2.5)<0，f(2.625)>0?x0∈(2.5,2.625)；
f(2.5625)<0，f(2.625)>0?x0∈(2.5625,2.625)．
∵2.625－2.5625＝0.0625<0.1
∴原方程的近似解为2.5625.温馨提示：(1)若方程的根可以转化为常用函数图象交点的横坐标，也可以通过常用函数图象的交点，确定原方程所在的大致区间，再用二分法求解．
(2)求方程的近似解即求函数的零点的近似值．用二分法求解时要注意给定函数的符号、二分法求解的条件及要求的精确度．类型三 用二分法求函数零点的近似解
【例3】 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确度0.1)．
思路分析：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可以考虑首先确定一个包含正数的闭区间，而f(0)＝－6<0，f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，所以可取区间[1,2]作为计算的初始区间(当然选取[0,2]也是可以的)．解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．
用二分法逐步计算，列表如下：由上表的计算可知，区间[1.6875,1.75]的长度1.75－1.6875＝0.0625<0.1，所以x4＝1.6875就是函数的一个正数零点的近似值．
温馨提示：用二分法求函数零点的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要使其长度尽量小，其次要依据条件给定的精确度及时检验计算所得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算． 类型四 二分法的实际应用
【例4】 中央电视台有一档娱乐节目“幸运52”，主持人李咏会给选手在限定时间内猜某一物品的售价的机会，如果猜中，就把物品奖励给选手，同时获得一枚商标．某次猜一种品牌的手机，手机价格在500～1000元之间．选手开始报价：1000元，主持人回答：高了；紧接着报价900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，你猜中了．表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际中，游戏报价过程体现了“逼近”的数学思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？思路分析：从游戏中可以发现选手的报价往往是从高于真实价或者低于真实价，从两边向真实价靠拢的，而手机的价格范围是确定的，且报数是整数，所以可用数学中的“逼近思想”的特例二分法来设计猜价方案．解：取价格区间[500,1000]的中点750，如果主持人说低了，就再取[750,1000]的中点875；否则取另一个区间(500,750)的中点；若遇到小数取整数．照这样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过6次可猜中价格．温馨提示：此方案应该说方便、迅速、准确，而且很科学．在实际生活中处处有数学，碰到问题多用数学思维去思考，会使我们变得更聪明，更具有数学素养． 下列函数中能用二分法求零点的是( )解析：在A中，函数无零点．在B和D中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法求零点．而在C中，函数图象是连续不断的，且图象与x轴有交点，并且其零点为变号零点，∴C中的函数能用二分法求其零点，故选C.
答案：C 求方程2x3＋3x－3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
解：设f(x)＝2x3＋3x－3，经计算f(0)·f(1)<0，
∴f(x)在(0,1)内存在零点．
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解，列表如下：∵0.0625<0.1，∴方程的近似解为0.6875. 用二分法求函数f(x)＝x3－3的一个正实数零点(精确度0.1)．
解：由于f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，因此可取区间(1,2)为初始区间，用二分法逐次计算．
列表如下：∵|1.5－1.4375|＝0.0625<0.1，
∴函数的正实数零点近似值可以取1.4375. 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条10 km长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10 km，大约有200多根电线杆子呢．想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？解：如下图所示，他首先从中点C查．用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在BC段，再到BC段中点D查，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查……
每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，算一算，要把故障可能发生的范围缩小到50～100 m左右，即一两根电线杆附近，要查多少次？
据初中所学知识可知只要7次就够了．1．二分法的基本思想是将含零点的区间一分为二，然后逐步逼近零点，由于使用二分法的依据是勘根定理，因此并不是所有的零点都能用二分法求解．那么怎样的零点才能用二分法求出其近似解呢？
判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．2．使用二分法求函数零点近似值应注意以下几点：
(1)第一步中要使：①区间长度尽量小，②f(a)、f(b)的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0.
(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点和求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)的根，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根．
基础达标
一、选择题
1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为
( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3
答案：D
2．下列函数零点不宜用二分法的是
( )
A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝lnx＋3
C．f(x)＝x2＋2x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1
答案：C
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是
( )
A．[－2,1] B．[－1,0]
C．[0,1] D．[1,2]
解析：∵f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可以取区间[－2,1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算．
答案：A
4．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为
( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1)
C．(1,2) D．(2,3)
解析：设f(x)＝ex－(x＋2)，
则由题设知f(1)＝－0.28<0，
f(2)＝3.39>0，
故有一个根在区间(1,2)内．
答案：C
5．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经过计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________；第二次应计算________，以上横线上应填的内容为
( )
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.125)
解析：本题考查了二分法的应用问题，由已知及二分法解题步骤可知x0∈(0,0.5)且第二次需计算f(0.25)．故选A.
答案：A
6．(2010·天津高考)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是
( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：∵f(－2)＝e－2－4<0，f(－1)＝e－1－3<0，f(0)＝e0－2<0，f(1)＝e－1>0.
∴f(x)＝ex＋x－2的零点所在区间是(0,1)．故选C.
答案：C
二、填空题
7．已知函数f(x)＝x3＋x2－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
解析：由题意知f(x0)＝f()＝f(1.5)，代入解析式易计算得0.625.
答案：0.625
8．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精确度为0.1)．
解析：因为|0.75－0.6875|＝0.0625<0.1，所以0.75或0.6875都可作为方程的近似解．
答案：0.75或0.6875
9．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________次．
解析：由<0.01，得2n>10，
∴n的最小值为4.
答案：4
三、解答题
10．求方程x3＋x2－8x－8＝0的正无理零点的近似值(精确度为0.1)．
解：原方程可以化为
x2(x＋1)－8(x＋1)
＝(x＋1)(x2－8)＝0，
显然方程的一个有理根是x＝－1，
而方程的无理零点就是方程x2－8＝0的根，
令f(x)＝x2－8，则只需求出函数f(x)的正零点即可．
由于f(2)＝－4<0，f(3)＝1>0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间
中点的值
中点函数近似值
[2,3]
2.5
－1.75
[2.5,3]
2.75
－0.4375
[2.75,3]
2.875
0.2656
[2.75,2.875]
2.8125
－0.0898
[2.8125,2.875]
2.84375
0.087
由于|2.8125－2.875|＝0.0625<0.1，
所以原方程的正无理零点可取为2.8125.
11．证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
证明：设函数f(x)＝2x＋3x－6，
∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，
又∵f(x)是增函数，所以函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，
则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．
创新题型
12．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，m，n是方程f(x)＝0的两根，且a
解：据题意有f(m)＝0，f(n)＝0，且f(a)＝－2，f(b)＝－2，画出f(x)的草图如右图：
观察图象可知，a与b一定在区间(m，n)上，因此实数a，b，m，n的大小关系应为m