课件45张PPT。3．2.1 几类不同增长的函数模型如果你是一个公司的老板，为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加．但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x；y＝log7x＋1；y＝1.002x.
为了既能维护公司的利润，又能起到对销售人员的激励作用，你会选择哪种奖励模型呢？1．三种函数模型的性质2.三种函数的增长速度比较
(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是 ，但 不同，且不在同一个“档次”上．
(2)在区间(0，＋∞)上随着x的增长，y＝ax(a>1)增长速度 ，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会 ．
(3)存在一个x0，使得当x>x0时，有 .增函数增长速度越来越快越来越慢logax
C．290元 D．280元2．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后再显示的图象如下图，给出下面说法．①前5分钟温度增加的速度越来越快
②前5分钟温度增加的速度越来越慢
③5分钟后温度保持匀速增加
④5分钟后温度保持不变
其中正确的说法是 ( )
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
解析：由图象分析单位时间内y的变化量可知，选B.
答案：B3．四个变量y1、y2、y3、y4随变量x变化的数据如下：
关于x呈指数型函数变化的变量是________．
解析：由“指数增长”成倍增加的特点，应是y2.
答案：y24．某种产品每件80元，每天售出30件，如果每个定价120元，则每天售出20件．如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数的解析式是________．5．下面给出几种函数随x取值而得到的函数值列表：
问(1)各函数随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？
(2)各函数增长的快慢有什么不同？
解：(1)随着x的增长，各函数的函数值都增大．
(2)y＝2x开始增长的速度较慢，但随着x的增大，y增长速度越来越快；y＝x2增长速度平衡；y＝log2x开始增长速度稍快，但随x增大，y增长速度越来越慢．类型一 线性函数模型应用题
【例1】 为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”和“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费y1(元)、y2(元)的关系分别如图(1)、图(2)所示．(1)分别求出通话费y1，y2与通话时间x之间的函数关系式；
(2)请帮助用户计算：在一个月(30天)内使用哪种卡便宜？
思路分析：由题目可知函数模型为直线型，可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数值大小的比较．温馨提示：函数的图象是表示函数的三种方法之一，正确识图、用图、译图是解决函数应用题的基本技能和要求．本题由于过原点的直线是正比例函数图象，因此运用了待定系数法求得一次函数解析式，然后利用函数解析式解决了实际问题．借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． 类型二 二次函数模型应用题
【例2】 养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值，列不等式求k的范围．温馨提示：这是一道二次函数的应用题，同时考查了正比例函数(一次函数)．本题中“最大养殖量”、“空闲量”、“空闲率”这些临时定义，使本题理解难度加大，因此，要通过多遍审题和分析关系理解好这些词汇，再找未知量之间的关系． 类型三 指数函数、对数函数模型应用题
【例3】 1999年1月6日，我国的第13亿个小公民在北京诞生，若今后能将人口年平均递增率控制在1%，经过x年后，我国人口数字为y(亿)．
(1)求y与x的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数y＝f(x)的定义域；
(3)判断函数f(x)是增函数还是减函数？并指出在这里函数的增减有什么实际意义． 思路分析：递增率问题广泛存在于生产和生活中，研究并解决这类问题是中等数学的重要应用方向之一．这类问题解决的关键是理解“递增率”的意义：递增率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长率，切记并不总是只和开始单位时间内的值比较．具体分析问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再推广概括为数学问题后求解．解：(1)1999年人口数：13亿．
经过1年，2000年人口数：13＋13×1%＝13(1＋1%)(亿)．
经过2年，2001年人口数：13(1＋1%)＋13(1＋1%)×1%＝13(1＋1%)(1＋1%)＝13(1＋1%)2(亿)．
经过3年，2002年人口数：13(1＋1%)2＋13(1＋1%)2×1%
＝13(1＋1%)3(亿)．
∴经过年数与(1＋1%)的指数相同，
∴经过x年人口数：13(1＋1%)x(亿)．
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x.(2)理论上指数函数定义域为R.
∵此问题以年作为单位时间，∴N*是此函数的定义域．
(3)y＝f(x)＝13(1＋1%)x是指数函数，
∵1＋1%>1,13>0，
∴y＝f(x)＝13(1＋1%)x是增函数，
即只要递增率为正数时，随着时间的推移，人口的总数总在增长．温馨提示：在实际问题中，常常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，可以用下面的公式y＝N(1＋p)x表示，解决平均增长率的问题，要用到这个函数式． 温馨提示：由本例归纳到一般有：当a>1且n>0时，在区间(0，＋∞)上，总存在一个数x0，当x>x0时，logax0时，总存在一个数x0，当x>x0时，logax下表：
关于变量x最有可能呈指数型函数变化的变量是________．(仅有一个变量)解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从1开始变化，其中变量y4的增长速度最快，则y4关于x呈指数型函数变化．
答案：y4常用的函数模型有以下几类：
1．线性函数模型(也称直线型)：①线性增长模型：y＝kx＋b(k>0)；②线性减少模型：y＝kx＋b(k<0)．
2．二次函数模型：当研究问题呈现先增长后减少的特点时，可以选用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)；当研究的问题呈现先减少后增长的特点时，可以选用二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)．6．分段函数模型：是一种比较复杂的函数模型，前面提到的几种模型，还是单一的函数变化模型，而分段函数模型可以用来描述在不同区间上有不同变化规律的实际问题，或者将定义域上变化复杂的函数分成几段区间来研究，在每一段区间上函数的变化是有规律的，根据函数的具体变化再选择相应的函数模型．
基础达标
一、选择题
1．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用
( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
解析：一次函数匀速增长，二次函数及指数型函数均为开始增长缓慢，后来增长越来越快，对数型函数开始增长迅速后来增长越来越慢．
答案：D
2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是
( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
答案：D
3．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，有
( )
A．f(x)>g(x) B．g(x)>f(x)
C．f(x)≥g(x) D．g(x)≥f(x)
解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图象，如图所示，
由于函数f(x)＝3x的图象在函数g(x)＝2x的图象的上方，则f(x)>g(x)．
答案：A
4．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是
( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
解析：代入数据验证可得答案．
答案：D
5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3000＋20x－0.1x2(0( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
解析：设新价为b，依题意有25x－(3000＋20x－0.1x2)≥0，解得x≥150或x≤－200(舍)．故选C.
答案：C
6．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是
( )
A．y＝ex B．y＝100lnx
C．y＝x100 D．y＝100·2x
解析：指数爆炸式形如指数函数．又e>2，∴ex比100·2x增大速度快．
答案：A
二、填空题
7．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物订一个新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是________．
解析：设新价为b，依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)·25%化简，得b＝a.∴y＝b·20%·x＝a·20%·x，即y＝x(x∈N?)．
答案：y＝x(x∈N?)
8．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a，那么广告效应为D＝a－A，当A＝________时，取得最大广告效应．
解析：D＝a－A＝－()2＋a，
∴＝a时，D取最大值，此时，A＝a2.
答案：a2
9．某商店每月利润稳步增长，去年12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则该商店去年每月利润的平均增长率为__________．
解析：设平均增长率为p，
则k＝(1＋p)11，故p＝－1.
答案：－1
三、解答题
10．某市的一家报刊摊点，从报社买进《晚报》的价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？
解：设摊主每天从报社买进x份，易知x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为
y＝20×0.30x＋10×0.30×250＋10×0.05×(x－250)－30×0.20x
＝0.5x＋625 (x∈[250,400])．
因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元，
即摊主每天从报社买进400份，才能使每月所获得的利润最大，一月最多可赚得825元．
11．已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有aL水，t min后剩余的水符合指数衰减函数y1＝ae－nt，那么桶2中的水就是y2＝a－ae－nt，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有L?
解：由题意得ae－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝①
设再过t min后桶1中的水有L，
则ae－n(t＋5)＝，e－n(t＋5)＝②
将①式平方得e－10n＝③
比较②、③得－n(t＋5)＝－10n，∴t＝5.
即再过5 min后桶1中的水只有L.
创新题型
12．某网民用电脑上因特网有两种方案可选：一是在家里上网，费用分为通讯费(即电话费)与网络维护费两部分．现有政策规定：通讯费为0.02元/分钟，但每月30元封顶(即超过30元则只需交30元)，网络维护费1元/小时，但每月上网不超过10小时则要交10元；二是到附近网吧上网，价格为1.5元/小时．
(1)将该网民某月内在家上网的费用y(元)表示为时间t(小时)的函数；
(2)试确定在何种情况下，该网民在家上网更便宜？
解：(1)由题意可以得到
y＝.
(2)当0当t>25时，要使1.5t－(t＋30)>0，只要t>60，
所以上网时间超过60小时则在家上网便宜．
