苏教版（2019）数学必修第一册 7.3.3 函数y＝Asinwxφ教案

第七章　三角函数
7．3．3 函数y＝Asin(wx+φ)
本节课是在学习了任意角的三角函数，正、余弦函数的图象和性质后，进一步研究函数y＝Asin(ωx+φ)的简图的画法，由此揭示这类函数的图象与正弦曲线的关系，以及A、ω、φ的物理意义，并通过图象的变化过程，进一步理解正、余弦函数的性质，它是研究函数图象变换的一个延伸，也是研究函数性质的一个直观反映．
课程目标 学科素养
1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响. 2.掌握y＝sin x与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤． a数学抽象: 理解y＝Asin(ωx＋φ)中ω，φ，A对图象的影响. b逻辑推理: 通过分析A、ω、φ，研究图像变换注意事项. c数学运算: 求函数的定义域、值域、单调区间等. d直观想象: 图像的变换.
教学重点：通过五点作图法正确找出函数y＝sin x到y＝sin(ωx+φ)的图象变换规律。
教学难点：对周期变换、相位变换先后顺序调整后，将影响图象平移量的理解．
1．函数y＝tan的定义域是________．
答案：
2．函数y＝tan x，x∈的值域是________．
答案：[0,1]
3．函数f(x)＝tan的单调递增区间为________．
答案：，k∈Z
4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tan ωx(ω为常数，且ω≠0)相交的两相邻点间的距离为________．
答案：
知识点一　φ(φ≠0)对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响
思考1　如何由y＝f(x)的图象变换得到y＝f(x＋a)的图象？
答案　向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|个单位长度．
思考2　如何由y＝sin x的图象变换得到y＝sin的图象？
答案　向左平移个单位长度．
梳理　如图所示，对于函数y＝sin(x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度而得到的．
知识点二　ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
思考1　函数y＝sin x，y＝sin 2x和y＝sin x的周期分别是什么？
答案　2π，π，4π.
思考2　当三个函数的函数值相同时，它们x的取值有什么关系？
答案　当三个函数的函数值相同时，y＝sin 2x中x的取值是y＝sin x中x取值的，y＝sin x中x的取值是y＝sin x中x取值的2倍．
思考3　函数y＝sin ωx的图象是否可以通过y＝sin x的图象得到？
答案　 可以，只要“伸”或“缩”y＝sin x的图象即可．
梳理　如图所示，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到．
知识点三　A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
思考　对于同一个x，函数y＝2sin x，y＝sin x和y＝sin x的函数值有何关系？
答案　对于同一个x，y＝2sin x的函数值是y＝sin x的函数值的2倍，而y＝sin x的函数值是y＝sin x的函数值的.
梳理　如图所示，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，可以看作是把y＝sin(ωx＋φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0知识点四　函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
典型例题
类型一　平移变换
例1　函数y＝sin的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
解　函数y＝sin的图象，可以看作是把曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到的．
引申探究
1．若将本例中y＝sin改为y＝cos，其它不变，又该怎样变换？
解　y＝cos＝sin＝sin，可以看作是把y＝sin x上所有的点向左平移个单位长度得到．
2．若将本例改为：函数y＝sin的图象可由y＝sin 2x的图象经过怎样变换得到？
解　y＝sin＝sin，可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．
总结　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数．再观察x前系数，当x前系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度．
变式训练　要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案　A
解析　y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos.
若设f(x)＝sin 2x＝cos，
则f＝cos，所以向左平移个单位长度，即可得到y＝cos.
类型二　伸缩变换
例2　将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数__________的图象．
答案　y＝sin
引申探究
若将本例中“横坐标伸长为原来的5倍”改为“纵坐标伸长为原来的5倍”，其它条件不变，则可得到函数解析式为________．
答案　y＝5sin
总结　对于函数y＝sin x，若横坐标伸长为原来的ω(ω>1)倍，则得到函数y＝sin .若纵坐标伸长为原来的A(A>1)倍，则得到函数y＝Asin x，两者可理解为横向伸缩是反比例伸缩变换，纵向伸缩是正比例伸缩变换．
类型三　图象变换的综合应用
例3　把函数y＝f(x)的图象上的各点向右平移个单位长度，然后把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的倍，所得图象的解析式是y＝2sin，求f(x)的解析式．
解　y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
所以f(x)＝3cos x.
总结　(1)已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．
(2)已知函数f(x)图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A或ω即可．
变式训练　将函数y＝2sin的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　因为函数y＝2sin的图象向左平移m个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin，所以＋m＝kπ＋，k∈Z，即m＝kπ＋，k∈Z.又m>0，所以m的最小值为，故选B.
类型四　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
例4　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
解　由图象知振幅A＝3，
又T＝－＝π，∴ω＝＝2.
由点可知，－×2＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<，得φ＝，∴y＝3sin.
总结　若设所求解析式为y＝Asin(ωx＋φ)，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
(1)由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)由函数图象与x轴的交点确定T，由T＝，确定ω.
(3)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω已知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
类型五　函数y＝Asin，|φ|<性质的应用
例5　设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，函数y＝f(x)的图象的一条对称轴是直线x＝.
(1)求φ的值；
(2)求函数y＝f(x)的单调区间及最值．
解　(1)由2x＋φ＝kπ＋，k∈Z，
得x＝＋－，k∈Z，
令＋－＝，k∈Z，得φ＝kπ＋，k∈Z.
∵－π＜φ＜0，∴φ＝－.
(2)由(1)知，f(x)＝sin.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(k∈Z)．同理可得函数的单调递减区间是(k∈Z)．
当2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值1；
当2x－＝2kπ－(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值－1.
总结　有关函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想．
变式训练　已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)上最高点为(2，)，该最高点与相邻的最低点间的曲线与x轴交于点(6,0)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在x∈[－6,0]上的值域．
解　(1)由题意可知A＝，＝6－2＝4，
∴T＝16，即＝16，∴ω＝，
∴y＝sin.
又图象过最高点(2，)，∴sin＝1，
故＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，得φ＝，∴y＝sin.
(2)∵－6≤x≤0，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1.
即函数在x∈[－6,0]上的值域为[－，1].
本节课通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认知，关注每名学生的个体差异和不同的学习需求.