苏教版（2019）数学必修第一册 5.2.2 分段函数教案

第五章　函数概念与性质
第5.2.2节　分段函数
本节是在前面学习了函数的解析式的基础上引入的，首先应该明白分段函数是一个函数，只是已分段的形式表示而已。其次了解一些简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．或者给定函数值会求自变量。
课程目标 学科素养
1.会用解析法及图象法表示分段函数. 2.给出分段函数，能研究有关性质. a数学抽象:分段函数的表示形式. b数学运算:分段函数的两类求值问题. c数学建模: 目标在不同区间有不同的解析表达方式时会用分段函数表示.
1.教学重点：会用解析法及图象法表示分段函数.
2.教学难点：分段函数的求值问题.
1．已知函数f(x＋1)＝(x＋1)2，则f(x)＝________.
答案：x2
2．面积为100 m2的等腰梯形，上底长为x m，下底为上底的3倍，则高y与x的解析式为________．
答案：y＝(x＞0)
3．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且F＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝(m≠0)，
则F(x)＝kx＋.
由F＝16，F(1)＝8，
得解得
所以F(x)＝3x＋(x≠0)．
答案：F(x)＝3x＋(x≠0)
4．已知x≠0时，f(x)满足f ＝x2＋，则f(x)的表达式为________．
解析：∵f ＝x2＋＝2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
答案：f(x)＝x2＋2(x≠0)
类型一　建立分段函数模型
例1　 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
解　设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为y＝
函数图象如图所示：
总结　当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
类型二　研究分段函数的性质
命题角度1　给x求y
例2　已知函数f(x)＝试求f(－5)，f(－)，f 的值．
解　∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－∈(－2,2)，
∴f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2.
∵－∈(－∞，－2]，
∴f ＝－＋1＝－∈(－2,2)，
∴f ＝f ＝2＋2×
＝－.
总结　分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间；
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
变式训练　已知函数f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象．
解　(1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1≤4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如下：
命题角度2　给y求x
例3　已知函数f(x)＝
(1)若f(x0)＝8，求x0的值；
(2)解不等式f(x)>8.
解　(1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－(舍去)，故x0＝.
(2)f(x)>8等价于 ①
或 ②
解①得x∈ ，解②得x>，
综合①②知f(x)>8的解集为{x|x>}．
总结　已知函数值求变量x取值的步骤
(1)先对x的取值范围分类讨论；
(2)然后代入到不同的解析式中；
(3)通过解方程求出x的解；
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
变式训练　已知f(x)＝
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)＝，求x的值；
(3)若f(x)≥，求x的取值范围．
解　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)f(x)＝等价于①或②
解①得x＝±，②解集为 .
∴当f(x)＝时，x＝±.
(3)由于f ＝，结合此函数图象可知，
使f(x)≥的x的取值范围是∪.
分段函数要讲清这样几点：
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．