2022年高考数学满分限时冲刺训练（word版含解析）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，，集合，，，则　　
A．，，B．，，
C．，，D．，，
2．已知复数满足，则　　
A．2 B．0 C． D．
3．已知是函数的极值点，则实数的值为　　
A．1 B． C．2 D．
4．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为，底面边长为（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为　　
A． B． C． D．
5．函数的图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
6．习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的．已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（其中是自然对数的底数，为常数，为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了，则要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为　　（参考数据：
A．9 B．11 C．13 D．15
7．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为　　
A． B． C． D．
8．已知函数，若且，则有　　
A．可能是奇函数，也可能是偶函数
B．（1）
C．时，
D．（1）
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．2017年1月，《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占、、和，则适合表示上述调查结果的是　　
A．柱形图 B．折线图
C．扇形图 D．频率分布直方图
10．将函数的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是　　
A．函数的最大值为2
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是　　
A．△的周长为6
B．△的面积为
C．△的内切圆的半径为
D．△的外接圆的直径为
12．如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，下列说法正确的是　　
A．若点是线段的中点，则
B．若点是线段的中点，则平面
C．若平面，则点轨迹在正方形内的长度为
D．若点到的距离与到的距离相等，则点轨迹是抛物线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的离心率为　　．
14．已知向量、、，且，，，，则的最小值为　　．
15．已知圆锥底面圆半径为2，母线与底面成角为；则圆锥侧面积为　　，若圆锥底面圆周及顶点均在一球上，则该球体积为　　．
16．已知实数，，，满足：，，，则的最大值为　　．
参考答案：
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，，集合，，，则　　
A．，，B．，，
C．，，D．，，
【答案】
【详解】因为，
又集合，，
，，
所以，，．
故选：．
2．已知复数满足，则　　
A．2 B．0 C． D．
【答案】
【详解】由复数满足，
则，
则，
故选：．
3．已知是函数的极值点，则实数的值为　　
A．1 B． C．2 D．
【答案】
【详解】，
是函数的极值点，
，解得，
验证：，，
时，，此时函数单调递减；，时，，此时函数单调递增．
是函数的极小值点，
故选：．
4．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六、八是中国人的吉利数字，所以许多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形笔筒，其余的六棱形都不是六棱柱形．如图为一个正六棱柱形状的瓷器笔筒，高为，底面边长为（数据为笔筒的外观数据），用一层绒布将其侧面包裹住，忽略绒布的厚度，则至少需要绒布的面积为　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】根据正六棱柱的底面边长为，得正六棱柱的侧面积为，
所以至少需要绒布的面积为，
故选：．
5．函数的图象大致为　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【详解】函数的定义域为，
，则是奇函数，排除，
当时，，排除，
当时，由，得，则右侧前3个零点为，，，
当时，，排除，
故选：．
6．习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的．已知在过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为（其中是自然对数的底数，为常数，为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了，则要能够按规定排放废气，还需要过滤小时，则正整数的最小值为　　（参考数据：
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】
【详解】由题意可得，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了，
，
，解得，
由，
则，
，
故整数的最小值为．
故选：．
7．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．“河图”将一到十分成五行属性分别为金，木，水，火，土的五组，在五行的五种属性中，五行相克的规律为：金克木，木克土，土克水，水克火，火克金；五行相生的规律为：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木．现从这十个数中随机抽取3个数，则这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率为　　
A． B． C． D．
【答案】
【详解】由题意得数字4，9属性为金，3，8属性为木，1，6属性为水，
2，7属性为火，5，10属性为土，
从这十个数中随机抽取3个数，这3个数字的属性互不相克，
包含的基本事件个数，
这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字包含的基本事件个数为：
，
这3个数字的属性互不相克的条件下，取到属性为土的数字的概率．
故选：．
8．已知函数，若且，则有　　
A．可能是奇函数，也可能是偶函数
B．（1）
C．时，
D．（1）
【答案】
【详解】选项：假设为奇函数，因为奇函数关于原点对称，
即与已知矛盾，故函数不可能为奇函数，
故选项错误；
选项：构造函数，
，
由已知有，且，
故，
所以在定义域内单调递增，
故（1），即，
化简可得（1），
故选项错误；
，由三角函数图像可知：，
故由单调性可知，
，
，
其中，
故选项错误；
选项：由单调性有：（1），
故，
化简可得：，
故选项正确．
故选：．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．2017年1月，《中国青年报》社会调查中心联合问卷网，对多人进行了一项关于“二十四节气”的调查，全部都知道、大部分知道、少部分知道和完全不知道“二十四节气”日期的受访者分别占、、和，则适合表示上述调查结果的是　　
A．柱形图 B．折线图
C．扇形图 D．频率分布直方图
【答案】
【详解】上述调查结果是分类比例，
适合表示上述调查结果的是柱形图和扇形图，
故选：．
10．将函数的图象向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是　　
A．函数的最大值为2
B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】
【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象；
对于：函数的最大值为2，故正确；
对于：函数的最小正周期为，故错误；
对于：当时，，故错误；
对于：当时，故，故函数在该区间上单调递增，故正确．
故选：．
11．已知椭圆的左、右焦点分别是，，，为椭圆上一点，则下列结论正确的是　　
A．△的周长为6
B．△的面积为
C．△的内切圆的半径为
D．△的外接圆的直径为
【答案】
【详解】由题意知，，，，
由椭圆的定义知，，，
所以△的周长为，即选项正确；
将，代入椭圆方程得，，解得，
所以△的面积为，即选项正确；
设△的内切圆的半径为，则，即，
所以，即选项正确；
不妨取，，则，，
所以△的面积为，即，所以，
由正弦定理知，△的外接圆的直径，即选项错误．
故选：．
12．如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，下列说法正确的是　　
A．若点是线段的中点，则
B．若点是线段的中点，则平面
C．若平面，则点轨迹在正方形内的长度为
D．若点到的距离与到的距离相等，则点轨迹是抛物线
【答案】
【详解】．如图，取中点，中点，连接，，，
与平行且相等，则是平行四边形，，
又由与平行且相等得平行四边形，，，
而与相交，因此与相交，错；
．建立如图所示的空间直角坐标系，
则，0，，，，0，，，，1，，
，，，
，，是平面的一个法向量，平面，正确；
．在选项基础上，取中点，连接，，，，，，，
由得截面，
由与与平行且相等，得平行四边形，，
又平面，平面，
平面，同理平面，
，，平面，所以平面平面，
平面平面，平面，且平面，
，即线段为点轨迹，在正方形中易得，正确；
．由平面，平面，得，在平面内，到点的距离等于它到直线的距离，其轨迹是抛物线，正确．
故选：．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．椭圆的离心率为　　．
【答案】
【详解】由椭圆，得，，
，．
．
故答案为：．
14．已知向量、、，且，，，，则的最小值为　　．
【答案】
【详解】因为，，，
所以，
因为，所以，
故的最小值为．
故答案为：．
15．已知圆锥底面圆半径为2，母线与底面成角为；则圆锥侧面积为　　，若圆锥底面圆周及顶点均在一球上，则该球体积为　　．
【答案】，
【详解】如图，
为圆锥底面圆的圆心，圆锥的底面半径，母线与底面所成的角为，
则，
该圆锥的侧面展开图为以为半径，以圆锥底面圆的周长为弧长的扇形，
如图，
则展开后扇形的弧长，
所以，展开后扇形的面积为
即圆锥的侧面积为．
该圆锥的母线与底面所成角为，
圆锥的底面半径为2，
该圆锥的高为，
设球的半径为，
则，
解得，
．
故答案为：，．
16．已知实数，，，满足：，，，则的最大值为　　．
【答案】35
【详解】作出圆，与直线，
由题意，，，，都在圆上，
，则，
表示和到直线的距离和的5倍，
由图可知，
取、的中点，过作，垂足为，则，
为等边三角形，为的中点，，
则在圆上运动，故到直线距离的最大值为，
的最大值为．
故．
故答案为：35