课件45张PPT。第2课时 集合的表示蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快地飞翔；
茫茫的草原上，一群羊在悠闲地吃草；
清清的湖水里，一群鱼在自由地游动；
……
鸟群、羊群、鱼群……都是我们上节课学过的集合，那么我们用什么方法来表示它们呢？1．列举法：把集合的 一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
由1,2,3,1组成的集合用列举法表示为{1,2,3}．不能写成{1,2,3,1}，这不符合集合元素的互异性．元素2．描述法：在花括号内先写上表示这个集合元素的
及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 ．这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．
在不引起混淆的情况下，为了简便，有些集合用描述法表示时，可省去竖线及其代表元素．如所有直角三角形组成的集合，可以表示为{直角三角形}，但不能表示为{所有直角三角形}，因为{ }本身就有“所有”“全部”的意思．一般符号共同特征1．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为 ( )
A．{1,1} B．{1}
C．{x＝1} D．{x2－2x＋1＝0}
答案：B2．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示 ( )
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
答案：D3．小于5的自然数组成的集合可表示为________．
答案：{0,1,2,3,4}4．方程x2－1＝0的解集为________．
答案：{1，－1}5．用列举法表示出A＝{(x，y)|x＋y＝5，x，y∈N}．
答案：{(0,5)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,0)}思路分析：由题目可获取以下主要信息：
①已知3个集合；
②用列举法表示．
解答本题可先弄清集合元素的性质特点，然后再按要求改写．温馨提示：当集合中的元素个数较少时往往采用列举法表示．用列举法表示集合时，必须注意以下几点：
①元素之间必须用“，”隔开；
②集合的元素必须是明确的；
③不必考虑元素出现的先后顺序；
④集合中的元素不能重复；
⑤集合中的元素可以是任何事物． 类型二 用描述法表示集合
【例2】 用描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．思路分析：用描述法表示集合，需找准x所属的集合I和集合的一个特征性质p(x)．解：(1){x|x＝2n，n∈N*}；
(2){x|x＝3n＋2，n∈N}或{x|x＝3n－1，n∈N*}；
(3){(x，y)|xy＝0}．温馨提示：用描述法表示集合时应注意：①x∈R可简记为x；②“竖线”不可省略；③p(x)可以是文字语言，也可以是数学符号语言，能用数学符号表示的尽量用数学符号表示；④同一个集合，描述法表示可以不唯一． 类型三 列举法与描述法的灵活运用
【例3】 用适当的方法表示下列集合：
(1)比5大3的数；
(2)方程x2＋y2－4x＋6y＋13＝0的解集；
(3)不等式x－3>2的解的集合；
(4)二次函数y＝x2－10图象上的所有点组成的集合．思路分析：由题目可获取以下主要信息：①已知4个集合；②用适当的方法表示各个集合．对于(1)，比5大3的数就是8，宜用列举法；对于(2)，方程为二元二次方程，可将方程左边因式分解后求解，宜用列举法；对于(3)，不等式的解有无数个，宜于描述法；对于(4)，所给二次函数图象上的点有无数个，宜采用描述法．温馨提示：用列举法与描述法表示集合时，一要明确集合中的元素；二要明确元素满足的条件；三要根据集合中元素的个数来选择适当的方法表示集合．型四 集合中的开放探究型问题
【例4】 下面三个集合：
①{x|y＝x2＋1}；②{y|y＝x2＋1}；③{(x，y)|y＝x2＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义是什么？思路分析：①中代表元素为x，它是函数y＝x2＋1中的自变量，x∈R；
②中代表元素是y，它是函数y＝x2＋1中y的取值范围，y≥1；
③中代表元素是(x，y)，它是二次函数y＝x2＋1图象上的点．解：(1)因为三个集合的代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．
(2)集合①{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，满足条件y＝x2＋1中的x∈R，所以实质上{x|y＝x2＋1}＝R；
集合②的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以实质上{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}；集合③{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，可以认为是满足y＝x2＋1的数对(x，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y＝x2＋1，所以{(x，y)|y＝x2＋1}＝{p|p是抛物线y＝x2＋1上的点}．温馨提示：用描述法表示的集合，认识它一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的形式，二要看元素满足什么条件，对符号语言所表达含义的理解在数学中要求是很高的． 解：(1)A＝{0,3,4,5}；
(2)P＝{0,6,14,21}；
(3)A＝{－2,0,2}． 用描述法表示下列集合：
(1)所有被5整除的数；
(2)方程6x2－5x＋1＝0的实数解集；
(3)集合{－2，
－1,0,1,2}；
(4)右图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合．解：(1)列举法：{3,5,7}；
(2)描述法：{周长为10 cm的三角形}；
(3)列举法：
{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,312,321}；
(4)列举法：{(0,0)，(1,1)}．, 有下列五个命题：
(1){x|x2＋2x－3＝0}表示二次方程x2＋2x－3＝0的解集；
(2){x|x2＋2x－3>0}表示二次不等式x2＋2x－3>0的解集；
(3){x|y＝x2＋2x－3}表示二次函数y＝x2＋2x－3自变量组成的集合；
(4){x|x＝t2＋2t－3}表示二次函数x＝t2＋2t－3自变量组成的集合；其中正确的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由集合的描述法定义及函数、方程、不等式的有关知识知(1)(2)(3)正确，{x|x＝t2＋2t－3}表示二次函数x＝t2＋2t－3函数值x组成的集合，故(4)不正确；答案：C1．注意选择恰当的表示方法来表示集合，注重列举法与描述法的相互转化．
2．集合的大括号{ }已包含“所有”的意思，例如：{整数}，即代表整数Z，所以不必写{全数整数}．下列写法{实数集}，{R}也是错误的．3．列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定用哪种表示法，要注意，一般集合中的元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．
4．描述法表示集合时，代表元素十分重要，例如：
(1)所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形}，也可以写成{直角三角形}；
(2)集合{(x，y)|y＝x2＋1}与集合{y|y＝x2＋1}不是同一个集合．康托与集合论
在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使无穷概念在数学中信誉扫地．许多受分析基础危机影响的数学家致力于分析的严格化．因此无限集合在数学上的存在性问题又被提出来了．这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作．总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因．康托集合论是数学史上最具有革命性的理论．
康托，是19世纪末20世纪初伟大的数学家，集合论的创立者，数学史上最富有想象力，最有争议的人物之一．
乔治·康托生于俄国的一个丹麦——犹太血统的家庭．康托在1863年进入柏林大学学工科．这时的柏林大学正在形成一个数学教学与研究的中心．康托很早就向往这所由维尔斯特拉斯领导的世界数学中心之一．所以在柏林大学，康托受了维尔斯特拉斯的影响而转到学习纯粹的数学.1874年康托在克列勒的《数学杂志》上发表了关于无限集合理论的第一篇革命性文章．数学史上一般认为这篇文章的发表标志着集合论的诞生．他处理了数学上最棘手的对象——无限集合．数学史上没有比康托更大胆的设想了．因此，他不可避免地遭到了传统思想的反对．康托一生备受磨难，他以及其集合论受到粗暴攻击达十年，数学的发展最终证明康托是正确的．他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，而且也影响了现代哲学和逻辑学，康托也以此成为世纪之交的最伟大的数学家．
基础达标
一、选择题
1．下列各选项中的对象可构成一个集合的是
( )
A．与1非常接近的数 B．某校学生中的女生
C．中国漂亮的工艺品 D．某班视力差的女生
解析：由集合的确定性可知，“非常接近”“漂亮的”“视力差”都是不确定的．
答案：B
2．已知集合M：大于－2且小于1的所有实数，则下列关系式中正确的是
( )
A.∈M B．0?M
C．1∈M D．－∈M
解析：集合M中的元素应满足：－2
∵－在这个范围中，∴－∈M.
答案：D
3．下列关系正确的是
( )
A．0∈N＋ B．π?R
C．1?Q D．0∈Z
答案：D
4．已知集合S中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是
( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：由集合元素的互异性知a，b，c全不相等，显然一定构不成等腰三角形．
答案：D
5．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为
( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：若a＝2，则6－2＝4∈A；若a＝4，则6－4＝2∈A；若a＝6，则6－6＝0?A.
答案：B
6．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，其中：x＝a＋b(a，b∈Q)，则下列元素中不属于集合M的元素个数是有
( )
①x＝0，②x＝，③x＝3－2π，④x＝，⑤x＝＋.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：①0＝0＋0×，②＝0＋1×，③2π?Q，④＝3＋2，⑤＋＝(2－)＋(2＋)＝4＋0×.
答案：A
二、填空题
7．设A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则深圳________A；广州________A．(填∈或?)
解析：深圳不是省会城市，而广州是广东的省会．
答案：? ∈
8．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．
解析：由a2≠1，得a≠±1.
答案：±1
9．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2解析：∵x∈N，且2∴结合数轴知a＝6.
答案：6
三、解答题
10．设双元素集合A是方程x2－4x＋m＝0的解集，求实数m的取值范围．
解：要使集合A是双元素集合，则方程应有两个不相等实根，所以Δ＝(－4)2－4m>0，从而m<4.
11．由x，－x，|x|，，－组成的集合，元素的个数最多为几个？
解：设由x，－x，|x|，，－组成的集合记为M.∵＝|x|，－＝－x，∴由集合元素的互异性，知集合M是由x，－x，|x|组成的．
又∵|x|＝∴|x|必与x，－x中的一个相等．
∴集合M是由x，－x组成的集合．当x≠－x，即x≠0时，集合M中元素的个数最多有两个，分别是x，－x，因此由x，－x，|x|，，－组成的集合元素的个数最多为2.
创新题型
12．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．若∈A，求集合中的其他元素．
解：∵∈A，∴＝2∈A，∴＝－3∈A，
∴＝－∈A，∴＝∈A.
故当∈A时，集合中的其他元素为2、－3、－.
