柱坐标系与球坐标系简介
本课提要：本节课的重点是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化.
一、课前小测 (温故而知新
1．如何确定一个圆柱侧面上的点的位置？
2．如何确定一个球面上的点的位置？
二、典型例题(重点、难点都在这里
【问题1】：（1）点A的柱坐标是，则它的直角坐标是 ；
（2）点B的直角坐标是，则它的柱坐标是 .
3．点P的柱坐标是，则它的直角坐标是 .
4．点Q的直角坐标是，则它的柱坐标是 .
【问题2】：（1）点A的球坐标是，则它的直角坐标是 ；
（2）点B的直角坐标是，则它的球坐标是 .
【问题3】：建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点.
三、 (懂了，不等于会了
5．将下列各点的柱坐标化为直角坐标：.
6．将下列各点的球坐标化为直角坐标：.
7．将下列各点的直角坐标化为球坐标：.
8．建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点.
四、 (试试你的身手呀
9．设M的球坐标为，则它的柱坐标为 .
10．在球坐标系中， 与两点间的距离是 .
11．球坐标满足方程的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.
四 柱坐标系与球坐标系简介
课题：球坐标系与柱坐标系
教学目的：
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点：利用它们进行简单的数学应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
二、讲解新课：
1、球坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)
有序数组叫做点P的球坐标，其中≥0，0≤≤，0≤＜2。
空间点P的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：
2、柱坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在
平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：
3、数学应用
例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.
变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
例2.将点M的球坐标化为直角坐标.
变式训练
1.将点M的直角坐标化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点＞0)的球坐标是什么?
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练
标满足方程=2的点所构成的图形是什么?
例4.已知点M的柱坐标为点N的球坐标为求线段MN的长度.
思考:
在球坐标系中,集合表示的图形的体积为多少?
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．球坐标系的作用与规则；
2．柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16
六、课后反思：本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。但以后少用，可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。
第八课时 球坐标系与柱坐标系
一、教学目的：
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。
教学难点：利用它们进行简单的数学应用。
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
（二）、讲解新课：
1、球坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)
有序数组叫做点P的球坐标，其中≥0，0≤≤，0≤＜2。
空间点P的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：
2、柱坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在
平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：
3、数学应用
例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.
变式训练：建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
例2.将点M的球坐标化为直角坐标.
变式训练
1.将点M的直角坐标化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点＞0)的球坐标是什么?
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练
极坐标满足方程=2的点所构成的图形是什么?
例4.已知点M的柱坐标为点N的球坐标为求线段MN的长度.
思考:在球坐标系中,集合表示的图形的体积为多少?
（三）、巩固练习：课本P22页练习3
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。3、球坐标、柱坐标、直角坐标的互化公式的理解与运用。
(五)、作业：课本P22页1、2、3
五、教学反思：
第四节 柱坐标系与球坐标系简介（选学）
一、选择题
1．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为 ( )．
A．P点(5，1，1)，B点
B．P点(1，1，5)，B点
C．P点，B点(1，1，5)
D．P点(1，1，5)，B点
解析 设P点的直角坐标为(x，y，z)，
x＝·cos ＝·＝1，y＝·sin ＝1，z＝5.
设B点的直角坐标为(x，y，z)，
x＝·sin ·cos ＝··＝，
y＝·sin ·sin ＝··＝，
z＝·cos ＝·＝.
所以，点P的直角坐标为(1，1，5)，点B的直角坐标为.
答案 B
2．设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 ∵ρ＝ ＝2，θ＝π，z＝3.
∴M的柱坐标为.
答案 C
3．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 由变换公式r＝＝2，cos φ＝＝，
∴φ＝.
∵tan θ＝＝1，∴θ＝π.∴M的球坐标为.
答案 B
4．点M的球坐标为，则它的直角坐标为 ( )．
A．(－6，2，4) B．(6，2，4)
C．(－6，－2，4) D．(－6，2，－4)
解析 由x＝8sin cos ＝－6，y＝8sin sin ＝2，z＝8cos ＝4，
得点M的直角坐标为(－6，2，4)．
答案 A
二、填空题
5．点M的球坐标为，则M的直角坐标为____________．
解析 x＝rsin φcos θ＝4×sin ×cos π＝2，
y＝rsin φsin θ＝4×sin ×sin π＝－2，
z＝rcos φ＝4×cos ＝0，∴M(2，－2，0)．
答案 (2，－2，0)
6．设点M的柱坐标为，则它的直角坐标为______．
答案 (，1，7)
7．在球坐标系中，方程r＝1表示______________________，方程φ＝表示空间的________________________．
答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥
面
8．已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析 设点M在平面Oxy上的射影为P，连结PN，
则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．
∵MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
∴PN⊥直线Oy.
∴|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1
∴|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
∴|MN|＝＝＝.
答案 3
三、解答题
9．(直角坐标与柱坐标、球坐标的互化)设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标．
解 由坐标变换公式，可得
ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝
(点(1，1)在平面xOy的第一象限)，
r＝＝＝2.
由rcos φ＝z＝，得cos φ＝＝，φ＝.
∴点M的柱坐标为，
球坐标为.
10．将下列各点的柱坐标化为直角坐标．
P，Q
解 直接代入互化公式
可得P的直角坐标为(，1，1)，Q点的直角坐标为(－2，2，－3)．
11．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满
足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)
的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆
柱，如图
所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
∴V＝Sh＝πr2h＝2π(体积单位)．
课件13张PPT。柱坐标系与球坐标系阅读课本P16---17 了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.一.柱坐标系 设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q， 用(ρ,θ)(ρ≥0,
0≤θ＜2π)表示点Q
在平面oxy上的极坐标， 点P的位置可用有
序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞ 柱坐标系又称半极坐标系，它是由
平面极坐标系及空间直角坐标系中的
一部分建立起来的. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为试一试 设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为
（ ， ，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致试一试 给定一个底面半径为r，高为h的圆
柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述
圆柱侧面以及底面上点的位置.注：坐标与点的位置有关二.球坐标系阅读课本P18 了解球坐标系的概念以及在球坐标
系中点的确定设P是空间任意一点，连接OP，记| OP |=r，OP与OZ轴正向所
夹的角为φ.在oxy平面的射影为Q， 设P
在oxy平面上的射影为Q， Ox轴按逆时
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数
组(r,φ,θ)表示.(r,φ,θ) 我们把建立上述
对应关系的坐标系
叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，其中 空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系. 空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为试一试 设点的球坐标为(2， ， )，求
它的直角坐标.点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ ）.数轴平面直角坐标系平面极坐标系空间直角坐标系球坐标系柱坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用
坐标系可以实现几何问题与代数问题
的相互转化，从而产生了坐标法.坐标系小结P(x,y,z)xyzxyzoP(ρ,θ,Z)QθxyzoP(r,φ,θ)Qθrφ课件30张PPT。【课标要求】
1．了解柱坐标系、球坐标系的意义．
2．掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．
3．能够根据空间坐标的转化解决某些问题．
?【核心扫描】
柱坐标和球坐标以及空间直角坐标的互化．(重点)第四节 柱坐标系与球坐标系简介（选学）(1)定义：建立空间直角坐标系O-xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)来表
示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组________________自学导引(ρ，θ，z) (z∈R)1．柱坐标系表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之
间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱
坐标系，有序数组____________叫做点P的柱坐标，记作
_____________，其中_____________________________ ．
(ρ，θ，z)P(ρ，θ，z)ρ≥0，0≤θ<2π，－∞变换公式为______________
想一想 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？
提示 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆．因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l，则方程ρ＝2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆的柱面．
2．球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系
O-xyz，设P是空间任意一点，连接
OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所
夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射
影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到
OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序
数组___________表示．
这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应
关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空
间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作
_____________，其中___________________________．(r，φ，θ)P(r，φ，θ)r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π1．空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和
竖坐标三度来确定的，即(x，y，z)．
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标
系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z)．
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的
连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的
正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即
(r，φ，θ)．
注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方
向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.名师点睛2．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空
间直角坐标系中的一部分建立起来的．
空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，
(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在
空间直角坐标系中的竖坐标．
【思维导图】
题型一 将点的柱坐标化为直角坐标 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：【例1】 根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：【变式1】 将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：题型二 将点的球坐标化为直角坐标【例2】【反思感悟】 根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.
化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式 根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：【变式2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．题型三 将点的直角坐标化为柱坐标球坐标【例3】[思维启迪] 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可． 若本例中条件不变，点C的柱坐标与球坐标如何分别表示？点D呢？【变式3】方法技巧——求球坐标系中两点间距离的策略【示例】[思维启迪] 先将点的球坐标转化为直角坐标，再利用两点距离公式求解．【反思感悟】 球坐标系又称空间极坐标系，可用空间任意一点P到O的距离r以及两个角θ，φ来刻画点P的位置．单击此处进入 知能提升演练 [P17思考]
1．给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置．
答 以圆柱的下底面中心为极点，圆柱的两底面中心连线所在直线为z轴建立柱坐标系，则圆柱侧面上的点坐标都满足ρ＝r (0≤z≤h)，下底面上所有点坐标都满足z＝0(0≤ρ≤r)，上底面上所有点坐标都满足z＝h(0≤ρ≤r)． 2．举例说明柱坐标系在日常生活中的应用．
答 在圆形体育场内，确定看台上某个座位的位置；确定长方体上各点的位置等也可以使用柱坐标系．
[P18思考]
在研究空间图形的几何特征时，我们应该怎样选择坐标系呢？
答 在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z或者r，φ，θ.在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．
[P18思考]
1．请利用球坐标系说明人们如何确定地面上一点的位
置．
2．举例说明球坐标系在日常生活中的应用．
答 1.在地面上的一点M，M点到球心的距离为ρ，M点所在经度为θ，设纬度为x，则φ＝90°－x，由此可得M的球坐标．
2．利用球坐标系可研究如航天器的位置，地球上点的位置等一些位于一个球面上的点，比较方便．
