第一课时 参数方程的概念
一、教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳
四、教学过程
（一）．参数方程的概念
1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为，与地面成角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？
2．分析探究理解：
（1）、斜抛运动：
（2）、抽象概括：参数方程的概念。说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：
（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹
的参数方程消去参数t后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：
例1、已知曲线C的参数方程是 (t为参数)（1）判断点(0,1), (5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点(6,a)在曲线C上，求a的值。
分析：只要把参数方程中的t消去化成关于x,y的方程问题易于解决。学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y的方程问题求解。
例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为
rad/s,试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
解析：如图，运动开始时质点位于A点处，此时t=0，设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知，得参数方程为。
反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。
（三）、课堂练习：
（四）、小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。
（五）、作业：
补充：设飞机以匀速v=150m/s作水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。简解：（1）。（2）1643m。
五、教学反思：
第二讲 参数方程
第一节 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程
一、选择题
1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )．
A．(2，3) B．(1，5) C. D．(2，0)
解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.
∴过点(2，0)．
答案 D
2．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为 ( )．
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2 (2≤x≤3) D．y＝x＋2 (0≤y≤1)
解析 将参数方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3]，故选C.
答案 C
3．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是 ( )．
A．(x－1)2(y－1)＝1 B．y＝
C．y＝－1 D．y＝
解析 由x＝1－，得＝1－x，由y＝1－t2，得t2＝1－y.
∴(1－x)2·(1－y)＝·t2＝1.整理得y＝.
答案 B
4．直线l的参数方程为，(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离为 ( )．
A．|t1| B．2|t1| C.|t1| D.|t1|
解析 点P1对应的点的坐标为(a＋t1，b＋t1)，
∴|PP1|＝＝＝|t1|.
答案 C
二、填空题
5．曲线经过点，则a＝________．
解析 点代入曲线方程得cos θ＝，a＝2sin θ＝±2 ＝±.
答案 ±
6．物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程为________．
解析 设物体抛出的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，
由于物体作平抛运动，
依题意，得
这就是物体所经路线的参数方程．
答案 (t为参数)
7．把圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________．
解析 圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(－1，2)，半径为2，
故参数方程为(θ为参数)．
答案 (θ为参数)
8．将参数方程化成普通方程为__________．
解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x|≤.
答案 x2＝1＋2y (|x|≤)
三、解答题
9．已知曲线C：如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
解 ∵，
∴x2＋(y＋1)2＝1.
圆与直线有公共点，d＝≤1，
解得1－≤a≤1＋.
10．(圆的参数的应用)已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
解 (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos α，y－2＝sin α，
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由上述可知
x＋y＝4＋(cos α＋sin α)＝4＋2sin，
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
11．求圆x2＋y2＝9上一点P与定点(1，0)之间距离的最小值．
解 设P(3cos θ，3sin θ)，则P到定点(1，0)的距离为
d(θ)＝
＝
＝ .
当sin＝1时，d(θ)取最小值.
课件33张PPT。【综合评价】
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．【学习目标】
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写
出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义．
2．分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参
数写出它们的参数方程．
3．举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示
更方便，感受参数方程的优越性．
【学习计划】【课标要求】
1．理解曲线参数方程的有关概念．
2．掌握圆的参数方程．
3．能够根据圆的参数方程解决最值问题．第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程第一节 曲线的参数方程【核心扫描】
1．对圆的参数方程的考查是热点．
2．根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方
程．(难点)
1．参数方程的概念自学导引参数方程参数普通方程参变数2．圆的参数方程逆时针(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程
a＋rcos θb＋rsin θ1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、
纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标
变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有
相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意
义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定
一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，
反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的
相应的允许取值．名师点睛2．求曲线参数方程的主要步骤
第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点
的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，
以利于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两
点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较
明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一
确定．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物
理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明
可以省略．3．圆的参数方程中参数的理解【思维导图】题型一 参数方程的概念(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程．
[思维启迪] 本题主要应根据曲线与方程之间的关系，可知点M(5，4)在该曲线上，则点M的坐标应适合曲线C的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程．【例1】【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和利用三角恒等式消参法两种．【变式1】 圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．
[思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值．
题型二 圆的参数方程及其应用【例2】解 以AB所在直线为x轴，以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系． 已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．【变式2】 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝
2 000 m，水平飞行速度为v1＝100 m/s，如图所示．题型三 参数方程的实际应用【例3】(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度；
(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10 m/s2)[思维启迪] 解答本题可以建立直角坐标系，设出炸弹对应的点的坐标的参数方程，然后利用运动学知识求解．令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20(s)，
所以飞机投弹t s后炸弹的水平位移为100t m，离地面的高度为(2 000－5t2)m，其中，0≤t≤20.
(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系．水平方向s相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1 600(m)．
【反思感悟】 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解．由于水平抛出的炸弹作平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间． 如果本例条件不变，求：
(1)炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度各是多少米？
(2)如果飞机迎击一辆速度为v2＝20 m/s相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？【变式3】高考在线——圆的参数方程的应用【例1】点击1 考查圆的参数方程的应用答案 (－1，1)，(1，1)【例2】【例3】答案 (－∞，0)∪(10，＋∞)单击此处进入 知能提升演练 [P24思考]
这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么？
[P26思考]
为什么例4(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
答 涉及到了转化的等价性问题，第(1)小题中，由y2＝4sin2 φ得到y＝±2sin φ，但是由于φ的任意性(即φ∈R)，无论2sin φ还是－2sin φ都可以取到区间[－2，2]内的任何值，因此简化形式为y＝2sin φ.[课后习题解答]
习题2.1 (第26页)4．解 (1)2x－y－7＝0，它表示直线．
(2)y＝2x2，x∈[－1，1]，它表示以(－1，2)，(1，2)为
端点的一段抛物线弧．
(3)x2－y2＝4，它表示双曲线．第2课时 参数方程和普通方程的互化
一、选择题
1．已知曲线的参数方程为(θ为参数)，则曲线的普通方程为
( )．
A．y2＝1＋x B．y2＝1－x
C．y2＝1－x(－≤y≤) D．以上都不对
答案 C
2．曲线(θ为参数)的方程等价于 ( )．
A．x＝ B．y＝
C．y＝± D．x2＋y2＝1
答案 A
3．参数方程(t为参数)化为普通方程为 ( )．
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1去掉(0，1)点
C．x2＋y2＝1去掉(1，0)点
D．x2＋y2＝1去掉(－1，0)点
解析 x2＋y2＝＋＝1，
又∵x＝＝－1＋≠－1，故选D.
答案 D
4．直线l：(t为参数)与圆(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为 ( )．
A.或 B.或
C.或 D．－或－
答案 A
二、填空题
5．参数方程(α为参数)表示的普通方程是________．
答案 y2－x2＝1(|x|≤，y>0)
6．令x＝，t为参数，则曲线4x2＋y2＝4(0≤x≤1，0≤y≤2)的参数方程为________．
答案 (t为参数)
7．将参数方程(θ为参数)转化为直角坐标方程是________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．
解析 易得直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点
A的距离减去半径，易求得为－1.
答案 (x－1)2＋y2＝1 －1
8．(2009·天津高考)设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2的距离为________．
解析 由题意得直线l1的普通方程为3x－y－2＝0，故它与l2的距离为＝
.
答案
三、解答题
9．设y＝tx(t为参数)，求圆x2＋y2－4y＝0的参数方程．
解 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，得
(1＋t2)x2－4tx＝0，
解得x＝，∴y＝tx＝，
∴(t为参数)，这就是圆的参数方程．
10．两曲线的参数方程为 (θ为参数)和(t为参数)，求它们的交点坐标．
解 将两曲线的参数方程化为普通方程，
得＋＝1，y＝x (x≤0)．
联立解得它们的交点坐标为.
11．(普通方程与参数方程的互化、伸缩变换)(2008·海南·宁夏高考)已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程．C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
解 (1)C1是圆，C2是直线．
C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0.
因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点．
(2)压缩后的参数方程分别为C′1：
(θ为参数)，C′2：(t为参数)，
化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，
联立消元得2x2＋2x＋1＝0，
其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．
课件24张PPT。【课标要求】
1．了解参数方程化为普通方程的意义．
2．掌握参数方程化为普通方程的基本方法．
3．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．
【核心扫描】
1．对参数方程化为普通方程的考查是热点．
2．本课内容常与方程、三角函数结合起来命题．(难点)第2课时 参数方程和普通方程的互化1．参数方程转化为普通方程
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般
地，可以通过_________而从参数方程得到普通方程．
2．普通方程转化为参数方程自学导引消去参数x＝f(t)y＝f(t)取值范围试一试：将下列参数方程化为普通方程：1．参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒
等式消参法消去参数方程中的参数即可，通过曲线的
普通方程来判断曲线的类型．
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲
线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问
题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直
线的斜率、截距等作为参数．名师点睛2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参
数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确
率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需
求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然
后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．
3．参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取
值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因
此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．【思维导图】题型一 把参数方程化为普通方程 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．【例1】[思维启迪] 解答本题只要消去参数，建立关于x、y的二元方程即可． 把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．【变式1】
(2)x=-4t2 ①
y=t+1 ② 求方程4x2＋y2＝16的参数方程：
(1)设y＝4sin θ，θ为参数；
(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？
[思维启迪] 解答本题(1)可以直接把y＝4sin θ代入已知方程，解方程求出x即可；(2)可以把y＝t，x＝2t代入即可．
解 (1)把y＝4sin θ代入方程，
得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，
∴x＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x＝2cos θ，
因此4x2＋y2＝16的参数方程是题型二 把普通方程化成参数方程【例2】(2)将曲线的普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，同一条曲线的参数方程会有不同的形式，有的复杂，有的简单，选取什么参数好，要根据具体的问题而定，参数可以有具体的实际意义，也可没有具体意义． 与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为(t为参数) ( )．
【变式2】解析 A化为普通方程为
x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1]．
B化为普通方程为
x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1]．
C化为普通方程为
x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]．
D化为普通方程为
x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－∞，1]．
答案 D(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．题型三 参数方程的综合性问题【例3】[思维启迪] ①将参数方程化为普通方程，解方程组求交点．②由C1的普通方程求出点A的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标可得参数方程，再化为普通方程可知曲线类型．【反思感悟】 考查参数方程与普通方程的互化能力，考查利用参数表示动点轨迹方程的运算能力．【变式3】答案 (－1，1)，(1，1)答案 x2＋(y－1)2＝1高考在线——参数方程与普通方程互化的应用【例1】点击1 参数方程与普通方程的互化【例2】【例3】点击2 参数方程的应用答案 B单击此处进入 知能提升演练课件10张PPT。在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。参数方程一、曲线的参数方程1、参数方程的概念探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？xyoAM(x,y)一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。( )CA、一个定点 B、一个椭圆
C、一条抛物线 D、一条直线( )D
