第三课时 圆锥曲线的参数方程
一、教学目标：
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义
过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
(1)圆参数方程 （为参数）
（2）圆参数方程为： （为参数）
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？
（二）、讲解新课：
1.椭圆的参数方程推导：椭圆参数方程 （为参数）,参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。
2.双曲线的参数方程的推导：双曲线参数方程 （为参数）
参数几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。
3.抛物线的参数方程：抛物线参数方程 （t为参数）,t为以抛物线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。
（1）、关于参数几点说明：
A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
C.在实际问题中要确定参数的取值范围
(2)、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
（3）、参数方程求法：（A）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为；（B）选取适当的参数；（C）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（D）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
(4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间做参数；与旋转的有关问题选取角做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆参数方程 （为参数）；椭圆的参数方程是
（2）、以为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是。 （3）在利用研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作（acos,bsin）。
（三）、巩固训练
1、曲线的普通方程为。
2、曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
A． B． C．1 D．
3、已知椭圆 (为参数)求 （1）时对应的点P的坐标
（2）直线OP的倾斜角
（四）、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。
（五）、作业：
五、教学反思：
第二节 圆锥曲线的参数方程
一、选择题
1．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为 ( )．
A. B．－ C. D．－
解析 参数方程中消去t，得3x＋2y－7＝0.所以k＝－.
答案 D
2．下列在曲线(θ为参数)上的点是 ( )．
A. B.
C．(2，) D．(1，)
解析 转化为普通方程：y2＝1＋x (|y|≤)，把选项A、B、C、D代入验证
得，选B.
答案 B
3．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 (t为参数)上，则|PF|等于
( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距
离，即为4.
答案 C
4．双曲线C：(φ为参数)的一个焦点为 ( )．
A．(3，0) B．(4，0)
C．(5，0) D．(0，5)
解析 由得于是－＝sec2φ－tan2φ＝1，
即双曲线方程为－＝1，
焦点为F1，2(±5，0)．故选C.
答案 C
二、填空题
5．曲线与x轴交点的坐标是______________．
解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x＋2)2＝9(y＋1)，令y＝0，得x＝1
或x＝－5.
答案 (1，0)，(－5，0)
6．点P(1，0)到曲线(其中参数t∈R)上的点的最短距离为________．
解析 点P(1，0)到曲线上的点的距离设为d，
则d＝＝
＝＝t2＋1≥1.
所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.
答案 1
7．二次曲线 (θ是参数)的左焦点的坐标是________．
解析 题中二次曲线的普通方程为＋＝1左焦点为(－4，0)．
答案 (－4，0)
8．已知曲线 (t为参数，p为正常数)上的两点M，N对应的参数分别为t1和t2，且t1＋t2＝0，那么|MN|＝________．
解析 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即x轴，
|MN|＝2p|t1－t2|＝2p|2t1|＝4p|t1|.
答案 4p|t1|
三、解答题
9．在椭圆＋＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离的最小值．
解 设椭圆的参数方程为
d＝＝|cos θ－sin θ－3|
＝
当cos＝1时，dmin＝，此时所求点为(2，－3)．
10．已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)设圆的参数方程为
2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1
∴－＋1≤2x＋y≤＋1.
(2)x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0.
∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－sin－1，
∴a≥－1.
11．(椭圆参数方程的应用)设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1、F2距离之和等于4，写出椭圆C的方程和
焦点坐标；
(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4，
得2a＝4，即a＝2.
又点A在椭圆上，
因此＋＝1，得b2＝3，
于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，
线段F1P的中点坐标为(x，y)，
则x＝，y＝，
所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
消去θ，得＋＝1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程．
课件38张PPT。【课标要求】
1．了解双曲线、抛物线的参数方程．
2．掌握椭圆的参数方程及其应用．
3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．
【核心扫描】
1．对椭圆的参数方程的应用考查．(重点)
2．本节内容常与函数、方程、三角结合起来命题．第二节 圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程自学导引acos φbsin φ2.双曲线的参数方程asec φbtan φ3．抛物线的参数方程试一试：将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型．名师点睛5．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲
线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最
小值问题、轨迹问题等．【思维导图】题型一 椭圆参数方程的应用【例1】[思维启迪] 由已知求出A、B坐标，再设出C点坐标(6cos θ，3sin θ)，再用A、B、C的坐标表示出G点的参数方程，消参后得普通方程．【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更简便．【变式1】[思维启迪] 先用双曲线参数方程表示点A、B、P的坐标，再证kPA·kPB＝定值．题型二 双曲线参数方程的应用【例2】【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果．解 由sec2φ－tan2φ＝1得双曲线的普通方程为x2－y2＝1，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得双曲线的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，即ρ2cos 2θ＝1.
答案 ρ2cos 2θ＝1【变式2】 设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．
[思维启迪] 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．题型三 利用参数法求轨迹方程【例3】 设飞机以匀速v＝150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h＝588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．【变式3】解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0，588)，B为目标，坐标为(x0，0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得高考在线——圆锥曲线参数方程的应用【例1】点击1 考查椭圆参数方程的应用(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；【例2】单击此处进入 知能提升演练 [P28探究]
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示．在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆．你能说明它的构造原理吗？(提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程．)[P33思考]
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2＝2py(p>0)的参数方程？
答 根据抛物线的定义得出抛物线的参数方程的过程如下： [P34探究]
如右图所示，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，点A、B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？[课后习题解答]
习题2.2 (第34页)5．解 直线OA的方程为y＝kx，课件12张PPT。2、圆的参数方程yxorM(x,y)圆的参数方程的一般形式由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，∴参数方程为(θ为参数)例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。（2，1）课件14张PPT。3、 参数方程
和普通方程的互化(1,1)x步骤：
1、消掉参数(代入消元，三角公式法，配方法)
2、写出定义域（x的范围）参数方程化为普通方程的步骤在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。注意：小节
1、将参数方程化为普通方程的方法
2、将普通方程化为参数方程的方法注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。作业：27页5题课件9张PPT。二、圆锥曲线的参数方程1、椭圆的参数方程xyoAMB课件4张PPT。二、圆锥曲线的参数方程2、双曲线的参数方程
?baoxy)MBA双曲线的参数方程 双曲线的参数方程 y说明：⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.例2、解：课件12张PPT。二、圆锥曲线的参数方程2、抛物线的参数方程
xyoM(x,y)xyoBAM小节：
1、抛物线的参数方程的形式
2、抛物线参数的意义
第二课时 圆的参数方程及应用
一、教学目标：
知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合）
过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、圆的参数方程探求
1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
这就是圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
说明：（1）参数θ的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
3、若如图取
结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。
4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。
（二）、应用举例
例1、已知两条曲线的参数方程
（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。
（三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）
例2、1、已知点P（x，y）是圆上动点，求（1）的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆即，用参数方程表示为
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1）
(其中tan =) ∴的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ θ + ）∴ x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。
显然当sin（ θ+ ）= 1时，d取最大值，最小值，分别为， .
2、 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；
3、若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 。
（三）、课堂练习：学生练习：1、2
（四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。
（五）、作业：
1、方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）
A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线
2、已知，则的最大值是6。
8．曲线的一个参数方程为
五、教学反思：
第四课时 圆锥曲线参数方程的应用
一、教学目标：
知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题
过程与方法：选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。
教学难点：正确使用参数式来求解最值问题
三、教学模式：讲练结合，探析归纳
四、教学过程：
（一）、复习引入：
通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
（二）、讲解新课：
例1、双曲线 的两焦点坐标是 。
答案：（0，-4），（0，4）。学生练习。
例2、方程（t为参数）的图形是 双曲线右支 。
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：判断曲线形状的方法。
例3、设P是椭圆在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标。
分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求的最大值或者求点P到AB的最大距离，或者求四边形OAPB的最大值。
学生练习，教师准对问题讲评。【=时四边形OAPB的最大值=6，此时点P为（3，2）。】
（三）、巩固训练
1、直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（A）
A．或 B．或 C．或 D．或
2、椭圆 （）与轴正向交于点A，若这个椭圆上存在点P，使OP⊥AP，（O为原点），求离心率的范围。
3、抛物线的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。
4、设P为等轴双曲线上的一点，，为两个焦点，证明
5、求直线与圆的交点坐标。
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分别代入直线方程,得交点为（0，2）和（2，0）。
（三）、小结：本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题，选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，要求理解和掌握求解方法。
（四）、作业：
练习：在抛物线的顶点，引两互相垂直的两条弦OA，OB，求顶点O在AB上射影H的轨迹方程。
五、教学反思：
