课件11张PPT。知识网络本 讲 归 纳 整 合1．平面直角坐标系中的伸缩变换要点归纳2．极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的
一条射线Ox，一个长度单位及计算角度
的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一
个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极 轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和
从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成
的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称
为极角．
(2)极坐标与直角坐标的互化(3)圆的极坐标方程
①圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.
②圆心在极轴上的点(a，0)处，且圆过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.题型一 伸缩 变换【例1】 (2007·海南·宁夏高考)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解 以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．【例2】题型二 极坐标与直角坐标的互化 (2010·江苏高考)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．【例3】题型三 曲线的极坐标方程的求解与应用1．从近两年新课标高考试题可以看出，高考对该部分重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题，但各省市的要求不尽相同．
2．复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主．命题趋势单击此处进入 高考真题高考真题
(时间：40分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1．已知直线ρsin＝，则极点到该直线的距离是________．
解析 由题意知，ρsin θ＋ρcos θ＝1，∴x＋y－1＝0，由点到直线的距离公式得所求的距离d＝.
答案
2．(2011·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．
解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.
答案 2
3．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－2sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．
解析 由ρ＝6cos θ－2sin θ?ρ2＝6ρcos θ－2ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心的坐标为(3，－)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3.
答案 ρcos θ＝3
4．(2011·华南师大模拟)在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．
解析 依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.
答案 2
5．(2011·广州广雅中学模拟)在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝8的距离的最大值是________．
解析 把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cos θ＋sin θ)＝8化为直角坐标方程为x＋y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.
答案 8
6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cos θ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.
解析 曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.
答案
7．(2011·湛江模拟)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P的极坐标为过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________．
解析 圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为＝1，∴k＝，即tan α＝.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为.
答案
8．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析 注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即＞1，|m－5|＞5，解得，m＜0，或m＞10.
答案 (－∞，0)∪(10，＋∞)
二、解答题(共20分)
9．(10分)设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解 圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ－，它表示圆心在点，半径为的圆．
10．(10分)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆
C以M为圆心、4为半径．
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
(2)试判定直线l和圆C的位置关系．
解 (1)由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tan ，此方程可化为＝，令＝＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为(a为参数)．
如图，设圆上任意一点为P(ρ，θ)，则在△POM中，由余弦定理，得PM2＝PO2＋OM2－2·PO·OMcos∠POM，
∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos.
化简得ρ＝8sin θ，即为圆C的极坐标方程．
(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)，
直线l的普通方程是x－y－5－＝0，
圆心M到直线l的距离d＝＝＞4，
所以直线l和圆C相离．
课件28张PPT。第1讲 坐标系2acos_θ 2asin_θ
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(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在极坐标系中有如下三个结论：
①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；
②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．
在这三个结论中正确的是 ( )．
A．①③ B．① C．②③ D．③
解析 点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；
tan θ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为
圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立．
答案 D
2．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是 ( )．
A. B.
C. D.
答案 A
3．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所
成的角为，所以点P的一个极坐标为，排除A、B选项，－＋
2π＝，所以极坐标所表示的点在第二象限．
答案 D
4．极坐标ρ＝cos表示的曲线是 ( )．
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
解析 常见的是将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒
等于0，方程两边同乘ρ，
得ρ2＝ρcos＝ρ＝ρ(cos θ＋sin θ)，
即ρ＝(cos θ＋sin θ)，ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ.
在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，
ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
因此有x2＋y2＝(x＋y)，故方程ρ＝cos表示圆．
答案 D
5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为 ( )．
A．ρsin θ＝2 B．ρcos θ＝2
C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4
解析 如图所示，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sin θ，
CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，l和圆相切，l交极
轴于B(2，0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点，
则有cos θ＝＝，得ρcos θ＝2.
答案 B
6．圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 可化为直角坐标方程＋＝1或化为ρ＝
2cos，这是ρ＝2rcos(θ－θ0)形式的圆的方程．
答案 A
7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝的图形是 ( )．
解析 ρ＝cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcos θ
化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0表示圆，ρcos θ＝表示过点与极轴
垂直的直线．
答案 B
8．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为 ( )．
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
解析 ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x＝1，
即x2＋y2＝0或x＝1.
答案 C
9．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为 ( )．
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
解析 ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，
即ρ2＝4ρsin θ，则θ＝kπ＋或x2＋y2＝4y.
答案 C
10．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于 ( )．
A．直线θ＝对称 B．直线θ＝对称
C．点中心对称 D．极点中心对称
解析 化ρ＝4sin可得ρ＝4cos，
表示以为圆心的圆，故曲线ρ＝4sin关于直线θ＝π对称．
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
11．极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________．
解析 两圆的圆心分别为和，∴圆心距为.
答案
12．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0，0≤θ<)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．
解析 由(ρ≥0，0≤θ<)，
解得，即两曲线的交点为.
答案
13．在极轴上与点的距离为5的点的坐标是________．
解析 设所求点的坐标为(ρ，0)，则
＝5.
即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求点的坐标为(1，0)或(7，0)．
答案 (1，0)或(7，0)
14．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析 ∵ρ＝2sin θ，∴x2＋y2＝2y.
∵ρcos θ＝－1，∴x＝－1，∴两曲线交点的直角坐标为(－1，1)，
∴交点的极坐标为.
答案
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
解 设变换为代入第二个方程，
得2λx－μy＝4与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ
＝4.
∴伸缩变换公式为
即直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得
到直线2x′－y′＝4.
16．在直角坐标系中，已知三点P(2，2)，Q(4，－4)，R(6，0)．
(1)将P、Q、R三点的直角坐标化为极坐标；
(2)求△PQR的面积．
解 (1)P，Q，R(6，0)．
(2)S△PQR＝S△POR＋S△OQR－S△POQ
＝×4×6×sin ＋×4×6×sin －×4×4sin
＝14－4.
17．根据曲线的极坐标方程判定曲线类型．
(1)ρsincos＝1；
(2)ρ2(25－16cos2θ)＝225.
解 (1)∵ρsincos＝1，
∴2ρsincos＝2，即ρsin θ＝2，
∴y＝2，为平行于x轴的直线．
(2)将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入
ρ2(25－16cos2θ)＝225得
25x2＋25y2－16x2＝225，
∴9x2＋25y2＝225，
∴＋＝1，为焦点在x轴上的椭圆．
18.设极点O到直线l的距离为d，由点O向直线l作垂线，由极轴到垂线OA的角度为α(如图所示)．求直线l的极坐标方程．
解 在直线l上任取一点M(ρ，θ)．在直角三角形
OMA中，由三角知识得
ρcos(α－θ)＝d，即ρ＝.
这就是直线l的极坐标方程．
19．(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．
解 (1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点
O，∠COM＝θ－1，作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|
＝2cos(θ－1)，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：
ρ＝2cos，即ρ＝－2sin(1－θ)，
∴ρ＝2sin(θ－1)为所求．
第一讲 坐标系
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )．
A. B.
C．(1，0) D．(1，π)
解析 因为该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即为x2＋(y＋1)2＝1，圆心
的直角坐标方程为(0，－1)，化为极坐标可以为，故选B.
答案 B
2．(2011·安徽)在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )．
A．2 B.
C. D.
解析 由可知，点的直角坐标为(1，)，
圆ρ＝2cos θ的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心到点(1，)
的距离为.
答案 D
3．(2011·江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析 由得，cos θ＝，sin θ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sin
θ＋4 cos θ得，ρ＝＋?ρ2＝2y＋4x?
x2＋y2－4x－2y＝0.
答案 x2＋y2－4x－2y＝0
4．(2011·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．
解析 曲线C1的普通方程是x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的直角坐标方程是x－y
＋1＝0，由于直线x－y＋1＝0经过圆x2＋(y－1)2＝1的圆心，故两曲线的交
点个数是2.
答案 2
5．(2011·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极
点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l
的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解 (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的
直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点
Q到直线l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
