8.2.2两角和与差的正弦、正切 学案

两角和与差的正弦、正切
【第一学时】
【学习目标】
1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．
2．能利用公式解决简单的化简求值问题．
【学习重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【学习过程】
一、初试身手
1．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为( )
A． B．
C． D．以上都不对
2．函数y＝sin x－cos x的最小正周期是( )
A． B．π
C．2π D．4π
3．已知α为锐角，sin α＝，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－，则sin(α＋β)＝________.
二、合作探究
1.利用公式化简求值
【例1】（1）＝( )
A．－ B．－
C． D．
（2）求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值；
（3）求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)的值．
[思路探究]（1）化简求值应注意公式的逆用．
（2）（3）对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值．
（1）C [
＝
＝
＝＝sin 30°＝.]
（2）解：原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°
＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1．
（3）sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)·
cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－cos(θ＋15°)
＝sin(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)＋cos(θ＋15°)－sin(θ＋15°)－cos(θ＋15°)＝0.
2.给值(式)求值
【例2】设α∈，β∈，若cos α＝－，sin β＝－，求sin(α＋β)的值．
[思路探究]应用公式 注意角的范围 求出所给角的正弦值．
[解]因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝，因为β∈，sin β＝－，所以cos β＝.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
＝×＋×＝.
1．(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．
[解] sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝×－×＋×＋×＝－－－＝－1．
2．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？
[解] 因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝.
因为β为第三象限，所以cos β＝－.
所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝－＋＝0.
3.辅助角公式的应用
[探究问题]
（1）函数y＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？
[提示] 不对．因为sin x＋cos x
＝
＝＝sin，
所以函数的最大值为.
（2）函数y＝3sin x＋4cos x的最大值等于多少？
[提示] 因为y＝3sin x＋4cos x
＝5，
令cos φ＝，sin φ＝，
则y＝5(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝5sin(x＋φ)，
所以函数y的最大值为5．
（3）如何推导asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)公式？
[提示] asin x＋bcos x
＝，
令cos φ＝，sin φ＝，则
asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋cos xsin φ)
＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tan φ＝确定，或由sin φ＝和cos φ＝共同确定)．
【例3】设函数f(x)＝sin x＋sin.
（1）求f(x)的最小值，并求使f(x)取得最小值的x的集合；
（2）不画图，说明函数y＝f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变化得到．
[思路探究]辅助角公式 转化成“一角一函数”的形式 将所给函数展开与合并．
[解]（1）f(x)＝sin x＋sin xcos ＋cos xsin ＝sin x＋sin x＋cos x＝sin x＋cos x
＝＝sin ，
当sin ＝－1时，f(x)min＝－，
此时x＋＝＋2kπ(k∈Z)，所以x＝＋2kπ(k∈Z)．
所以f(x)的最小值为－，x的集合为
.
（2）将y＝sin x的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得y＝sin x的图象；
然后将y＝sin x的图象上所有的点向左平移个单位长度，得f(x)＝sin的图象.
【母题探究】
(变结论)例题中的条件不变，试求函数f(x)的单调区间？
[解] 由本例解析知函数可化为f(x)＝sin，
当2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数为增函数；
当2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，函数为减函数．
所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)，
函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
【学习小结】
1．两角和与差的正弦公式
（1）Sα＋β：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.
（2）Sα－β：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.
2．辅助角公式
y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cos θ＝，sin θ＝.
【精炼反馈】
1．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝( )
A．－ B．
C．－ D．
A [∵cos α＝－，α为第三象限角，∴sin α＝－，由两角和的正弦公式得sin ＝sin αcos ＋cos α·sin ＝×＋×＝－.]
2．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．
C．[－1,1] D．
B [f(x)＝sin x－cos
＝sin x－cos x＋sin x
＝sin x－cos x＝sin，
所以函数f(x)的值域为[－，]．
故选B．]
3．sin 155°cos 35°－cos 25°cos 235°＝________.
[原式＝sin 25°cos 35°＋cos 25°sin 35°＝
sin(25°＋35°)＝sin 60°＝.]
4．已知α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，求α－β.
[解] ∵α，β均为锐角，sin α＝，cos β＝，
∴sin β＝，cos α＝.
∵sin α∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×＝－，∴α－β＝－.
【第二学时】
【学习目标】
1．能利用两角和与差的余弦公式、正弦公式推导出两角和与差的正切公式．
2．掌握两角和与差的正切公式的变形使用，能利用公式进行简单的求值、化简等．
【学习重难点】
利用两角和与差的正弦公式解决简单的化简求值问题.
【学习过程】
一、初试身手
1．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( )
A．－2－ B．－2＋
C．2－ D．2＋
2．＝( )
A．－ B．
C．－ D．
3．设tan α＝，tan β＝，且角α，β为锐角，则α＋β的值是_________．
二、合作探究
1.利用公式化简求值
【例1】求下列各式的值：
（1）tan 15°；（2）；
（3）tan 23°＋tan 37°＋tan 23°tan 37°.
[思路探究]把非特殊角转化为特殊角(如（1）)及公式的逆用(如（2）)与活用(如（3）)，通过适当的变形变为可以使用公式的形式，从而达到化简或求值的目的．
[解]（1）tan 15°＝tan(45°－30°)
＝＝＝＝2－.
（2）＝
＝
＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1．
（3）∵tan(23°＋37°)＝tan 60°＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝(1－tan 23°tan 37°)，
∴原式＝(1－tan 23°tan 37°)＋tan 23°tan 37°＝.
2.条件求值(角)问题
【例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为，.
（1）求tan(α＋β)的值；（2）求α＋2β的值．
[思路探究]先由任意角的三角函数定义求出cos α，cos β，再求sin α，sin β，从而求出tan α，tan β，然后利用Tα＋β求tan(α＋β)，最后利用α＋2β＝(α＋β)＋β，求tan(α＋2β)进而得到α＋2β的值．
[解]由条件得
cos α＝，cos β＝，
∵α，β为锐角，
∴sin α＝，sin β＝，
∴tan α＝7，tan β＝.
（1）tan(α＋β)＝＝＝－3．
（2）tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝＝＝－1，
∵α，β为锐角，∴0＜α＋2β＜，∴α＋2β＝.
3.公式的变形应用
[探究问题]
（1）判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？
[提示]根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．
（2）在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？
[提示]根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，
∴A＋B＝π－C，
∴tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C．
【例3】已知△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．
[思路探究]→→
→.
[解]由tan A＝tan[π－(B＋C)]
＝－tan(B＋C)
＝＝＝－.
而0°＜A＜180°，
∴A＝120°.
由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝
＝＝，
而0°＜C＜180°，
∴C＝30°，
∴B＝30°.
∴△ABC是顶角为120°的等腰三角形．
(变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－tan Btan C＝－，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？
[解] 由tan A＝tan [π－(B＋C)]
＝－tan (B＋C)＝
＝＝.
又0°由tan C＝tan [π－(A＋B)]
＝＝＝.
又0°所以C＝60°，所以B＝60°.
所以△ABC是等边三角形．
【学习小结】
1．两角和的正切公式
Tα＋β：tan(α＋β)＝ .
2．两角差的正切公式
Tα－β：tan(α－β)＝ .
【精炼反馈】
1．设角θ的终边过点(2,3)，则tan＝( )
A． B．－
C．5 D．－5
A [由于角θ的终边过点(2,3)，因此tan θ＝，故tan＝＝＝，选A．]
2．tan 10°tan 20°＋(tan 10°＋tan 20°)等于( )
A． B．1
C． D．
B [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 30°(1－tan 10°tan 20°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 10°tan 20°＝1．]
3．计算＝________.
1 [＝
＝tan 45°＝1．]
4．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan的值．
[解] ∵α＋＝(α＋β)－，
∴tan＝tan
＝＝
＝.
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