课件16张PPT。知识网络本 讲 归 纳 整 合1．直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直
线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．其中k＝tan α.α为
直线的倾斜角，代入上式得，要点归纳2．圆的参数方程3．椭圆的参数方程题型一 参数方程化为普通方程参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x、y的另一种曲线方程的形式，它体现了x、y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围．
在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．【例1】答案 (1)(x－1)2＋y2＝4 (2)x2－y＝2(y≥2)题型二 圆的参数方程及其应用(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．【例2】 2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算．题型三 直线的参数方程的应用(1)P、M两点间的距离|PM|；
(2)线段AB的长|AB|.【例3】 椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．题型四 圆锥曲线的参数方程及其应用 设P是椭圆4x2＋9y2＝36上的一个动点，求x＋2y的最大值和最小值．【例4】单击此处进入 高考真题高考真题
(时间：40分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1．(2011·深圳模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是________．
解析 由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．
答案 (－3,4)或(－1,2)
2．(2011·东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析 曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1?k＝±.
答案 ±
3．(2011·广东高考全真模拟卷一)直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．
解析 曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心到直线的距离d＝＝，则弦长l＝2＝.
答案
4．(2011·揭阳模拟)已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析 将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得＝≠?k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0?k＝－1.
答案 4 －1
5．(2011·湛江调研)参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直线y＝x的最短距离为________．
解析 参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝＝3，则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝3－3＝3(－1)．
答案 3(－1)
6．(2011·陕西)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析 消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.
答案 1
7．已知在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与曲线C：(θ是参数)有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围为________．
解析 曲线C的参数方程：(θ是参数)化为普通方程：＋y2＝1，故曲线C是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l的方程为y＝kx＋，将其代入椭圆的方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，所以Δ＝8k2－4×＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞.即k的取值范围为 ∪.
答案 ∪
8．如果曲线C：(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是________．
解析 将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x－a)2＋(y－a)2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜＜4，
∴0＜a2＜8，解得0＜a＜2或－2＜a＜0.
答案 (－2，0)∪(0,2)
二、解答题(共20分)
9．(10分)(2010·辽宁)已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解 (1)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)M点的直角坐标为，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为(t为参数)．
10．(10分)(2010·新课标全国)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解 (1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，
C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组
解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，.
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2 α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)，
P点轨迹的普通方程为2＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．
课件34张PPT。第2讲 参数方程如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题单击此处进入 活页限时训练本讲质量评估(二)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 ( )．
解析 将参数方程进行消参，则有t＝，把t＝，代入y＝中，得当
x>0时，x2＋y2＝1，此时y≥0；当x<0时，x2＋y2＝1，此时y≤0.对照选项，
可知D正确．
答案 D
2．直线 (t为参数)上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( )．
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－3，4)或(－1，2) D．(－4，5)或(0，1)
解析 可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的
非标准式中参数的几何意义可得 ·|t|＝，
可得t＝±，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标
为(－3，4)或(－1，2)．
答案 C
3．在方程 (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为 ( )．
A．(2，－7) B.
C. D．(1，0)
解析 把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是y＝1－2x2
(－1≤x≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．
答案 C
4．若P(2，－1)为圆(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为 ( )．
A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝5
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
解析 ∵由消去θ得，(x－1)2＋y2＝25
∴圆心C(1，0)，∴kCP＝－1，∴弦所在的直线的斜率为1
∴弦所在的直线方程为y－(－1)＝1·(x－2)
即x－y－3＝0.
答案 A
5．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是( )．
A. B.
C. D.
解析 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A
中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1，1]，故排除A和B.而C中y＝＝cot2t
＝＝，即x2y＝1，故排除C.
答案 D
6．直线3x－4y－9＝0与圆 (θ为参数)的位置关系是 ( )．
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析 把圆的参数方程化为普通方程，得x2＋y2＝4，得到半径为2，圆心为
(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线
和圆的位置关系．
答案 D
7．参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 ( )．
A．一条射线 B．两条射线 C．一条直线 D．两条直线
解析 根据参数中y是常数可知，方程表示的是平行于x轴的直线，再利用
不等式知识求出x的范围可得x≤－2或x≥2，可知方程表示的图形是两条射
线．
答案 B
8．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r与圆(φ是参数)的位置关系是 ( )．
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析 根据已知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d
＝＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．
答案 B
9．过点(0，2)且与直线(t为参数)互相垂直的直线方程为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 直线化为普通方程为y＝x＋1－2，其斜率k1＝，
设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－，故参数方程为(t
为参数)．
答案 B
10．若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是 ( )．
A．相交过圆心 B．相交但不过圆心
C．相切 D．相离
解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，
直线的方程为3x－y＋2＝0，
圆心坐标为(－1，3)，
易验证圆心不在直线3x－y＋2＝0上．
而圆心到直线的距离d＝＝<2，
∴直线与圆相交．
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
11．圆的参数方程为(0≤θ<2π)，若圆上一点P对应参数θ＝π，则P点的坐标是________．
解析 当θ＝π时，
x＝2＋4cosπ＝0，
y＝－＋4sinπ＝－3，
∴点P的坐标是(0，－3)．
答案 (0，－3)
12．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：，则C上各点到l的距离的最小值为________．
解析 圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，
∴d＝＝2，
∴距离最小值为2－2.
答案 2－2
13．已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________．
解析 由4x2＋y2＝4，得x2＋＝1.
令(φ为参数)，
则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.
∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4，
∴1≤|OP|≤2.
答案 [1，2]
14．点(－3，0)到直线(t为参数)的距离为________．
解析 ∵直线的普通方程为x－2y＝0，
∴点(－3，0)到直线的距离为d＝＝1.
答案 1
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．已知x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值．
解 由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知曲线表示以(1，－2)为圆心，半径等于2的
圆．令x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，则S＝3x－y＝3(1＋2cos θ)－(－2
＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋2sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，
所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S有最大值5＋2；
当sin(θ＋φ)＝－1时，S有最小值为5－2.
所以S的最大值Smax＝5＋2；
S的最小值Smin＝5－2.
16.如图所示，连结原点O和抛物线y＝2x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹．
解 因为抛物线标准方程为x2＝y，
所以它的参数方程为 (t为参数)，
得M.设P(x，y)，则M是OP的中点，
所以即 (t为参数)，
消去参数t，得y＝x2.
所以，点P的轨迹方程为y＝x2，它是以y轴为对称轴，焦点为的抛物
线．
17．已知点A为椭圆＋＝1上任意一点，点B为圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，求|AB|的最大值和最小值．
解 化椭圆普通方程为参数方程 (θ为参数)，圆心坐标为C(1，
0)，再根据平面内两点之间的距离公式可得
|AC|＝＝
＝ ，
所以，当cos θ＝时，|AC|取最小值为；
当cos θ＝－1时，|AC|取最大值为6.
所以，当cos θ＝时，|AB|取最小值为－1；
当cos θ＝－1时，|AB|取最大值为6＋1＝7.
18．设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率．
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
解 (1)由已知得直线l经过的定点是P(3，4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝.
(2)由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2，
由直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，
得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，
即<2，由此解得k>.
直线l的斜率的取值范围为.
19．已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.
写出C′1，C′2的参数方程．C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数
是否相同？说明你的理由．
解 (1)C1是圆，C2是直线．
C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0.
因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点．
(2)压缩后的参数方程分别为C′1：
(θ为参数)，C′2：(t为参数)，
化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，
联立消元得2x2＋2x＋1＝0，
其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的
个数相同．
第二讲 参数方程
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
[命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化．
解析 由得，cos θ＝，sin θ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sin
θ＋4cos θ得，ρ＝＋?ρ2＝2y＋4x?x2＋y2－4x－2y＝0.
答案 x2＋y2－4x－2y＝0
2．(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．
[命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程
转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围．
解析 由(0≤θ<π)，得＋y2＝1(y≥0，
x≠－)，由(t∈R)，得x＝y2，联立方程可得则5y4
＋16y2－16＝0，解得y2＝或y2＝－4(舍去)，则x＝y2＝1，又y≥0，所以
其交点坐标为.
答案
3．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线
(t为参数)平行的直线的普通方程为________．
[命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问
题的能力．
解析 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝
4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝
0.故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
答案 x－2y－4＝0
4．(2011·湖南高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．
[命题意图]本题考查圆的参数方程、直线的极坐标方程，直线与圆的位置关
系等基础知识，考查运算能力，考查等价转化的思想方法，考查方程思想．
解析 曲线C1的普通方程是x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的直角坐标方程是x－y
＋1＝0，由于直线x－y＋1＝0经过圆x2＋(y－1)2＝1的圆心，故两曲线的交
点个数是2.
答案 2
5．(2011·陕西)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
[命题意图]本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程
互化的相关知识．
解析 消掉参数θ，得到C1的普通方程(x－3)2＋(y－4)2＝1，表示以(3，4)为
圆心，以1为半径的圆；C2的直角坐标方程为x2＋y2＝1表示的是单位圆，|AB|
的最小值为－1－1＝3.
答案 3
6．(2011·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极
点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l
的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
[命题意图]本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基
础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
解 (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l
上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点
Q到直线l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
7．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
[命题意图]本题主要考查了参数方程与普通方程的互化问题，极坐标方程与
极坐标方程的互化．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与
C1，C2的交点分别为A2B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解 (1)C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分
别为(1，0)，(a，0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这
两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标
为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对
称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为
＝.
