第二课时 极坐标系的的概念
一、教学目的：
知识目标：理解极坐标的概念
能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：理解极坐标的意义
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．
（二）、讲解新课：
从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），
这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.
3、负极径的规定：在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角，当＜0时，点M （，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。
M （，）也可以表示为
（三）、应用导练
例1 写出下图中各点的极坐标（见教材P10页）
A（4，0） B（2，） C（6， ） D（4， - ） E（6， ） F（-6，）G（-3，）
反思归纳：（1）、平面上一点的极坐标是否唯一？（2）、若不唯一，那有多少种表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一表达式。约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
变式训练 ：在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，）
例2 在极坐标系中，
（1） 已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度； 答案：6
（2） 已知M的极坐标为（5，）且=，写出符合条件的点A的极坐标：>0, -2<<0
解：当>0时，点A(5，)的极坐标的一般形式为（5，）（K∈Z）令-2<<0，解得k=-1, = -2=-,点A的坐标为（5，-）.
变式训练：1、若的的三个顶点为 答案：正三角形。2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点）
例3 已知Q（，），分别按下列条件求出点P 的极坐标。（1）、P是点Q关于极点O的对称点；（2）、P是点Q关于直线的对称点；（3）、P是点Q关于极轴的对称点。
答案：（1）（-，+）；（2）（，+-）；（3）（ ，+2-）。
3、在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。
（四）、巩固与练习：课本P10页练习题2
（五）、小结：本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。 2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位3．极坐标中的点与坐标的对应关系。
（六）、作业：课本P18页A组1、2 P25页B组3
五、教学反思：第三节 简单曲线的极系坐标方程
一、选择题
1．已知点P的极坐标为(1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ( )．
A．ρ＝1 B．ρ＝cos θ
C．ρ＝－ D．ρ＝
解析 如图所示，设M为直线上任一点，设M(ρ，θ)．
在△OPM中，OP＝OM·cos∠POM，
∴1＝ρ·cos(π－θ)，即ρ＝－.
答案 C
2．在极坐标系中，圆心在(，π)且过极点的圆的方程为 ( )．
A．ρ＝2cos θ B．ρ＝－2cos θ
C．ρ＝2sin θ D．ρ＝－2sin θ
解析 如图所示，P(，π)，在圆上任找一点
M(ρ，θ)，延长OP与圆交于点Q，则∠OMQ＝90°，
在Rt△OMQ中，OM＝OQ·cos∠QOM
∴ρ＝2cos(π－θ)，即ρ＝－2cos θ.
答案 B
3．极坐标方程ρ＝2sin的图形是 ( )．
解析 ∵ρ＝2sin＝2sin θ·cos ＋2cos θ·sin
＝(sin θ＋cos θ)，
∴ρ2＝ρsin θ＋ρcos θ，
∴x2＋y2＝x＋y，
∴＋＝1，
∴圆心的坐标为.
结合四个图形，可知选C.
答案 C
4．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为 ( )．
A．x2＋(y＋2)2＝4 B．x2＋(y－2)2＝4
C．(x－2)2＋y2＝4 D．(x＋2)2＋y2＝4
解析 由已知得ρ2＝4ρsin θ，
∴x2＋y2＝4y，∴x2＋(y－2)2＝4.
答案 B
二、填空题
5．两曲线ρsin θ＝2和ρ＝4sin θ(ρ>0，0≤θ<2π)的交点的极坐标是____________．
答案 ，
6．极点到直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的距离为________．
解析 直线ρ(cos θ－sin θ)＝2的直角坐标方程为x－y－2＝0，极点的直
角坐标为(0，0)，
∴极点到直线的距离为d＝＝.
答案
7．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，则|AB|＝________．
解析 过点(3，0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝3，曲线ρ＝4cos
θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，把x＝3代入上式，得9＋y2－12＝0，
解得，y1＝，y2＝－，所以|AB|＝|y1－y2|＝2.
答案 2
8．极坐标方程5ρ2cos 2θ＋ρ2－24＝0所表示的曲线焦点的极坐标为______________．
解析 原方程化为直角坐标系下的方程为－＝1，
∴c＝＝，双曲线在直角坐标系下的焦点坐标为(，0)，(－，
0)，故在极坐标系下，曲线的焦点坐标为(，0)，(，π)．
答案 (，0)，(，π)
三、解答题
9．(求直线的极坐标方程)求过点A，并且与极轴垂直的直线的极坐标方程．
解 在直线l上任取一点M，如图：
因为A，
所以|OH|＝2cos ＝.
在Rt△OMH中，|OH|＝ρcos θ＝，
所以所求直线的方程为ρcos θ＝.
10．将下列直角坐标方程和极坐标方程互化．
(1)y2＝4x；
(2)y2＋x2－2x－1＝0；
(3)ρcos2 ＝1；
(4)ρ2cos 2θ＝4；
(5)ρ＝.
解 (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＝4x，
得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简得ρsin2 θ＝4cos θ.
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y2＋x2－2x－1＝0，
得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，
化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.
(3)∵ρcos2 ＝1，
∴ρ＝1，
即ρcos θ＋ρ＝2，
∴x＋＝2，
整理有y2＝4－4x.
(4)∵ρ2cos 2θ＝4，
∴ρ2(cos2 θ－sin2 θ)＝4.
化简得x2－y2＝4.
(5)∵ρ＝，
∴1＝2ρ－ρcos θ，∴1＝2－x，
整理得3x2＋4y2－2x－1＝0.
11．(求圆的极坐标方程)在极坐标平面上，求圆心为A，半径为5的圆的极坐标方程．
解 在圆上任取一点P(ρ，θ)，那么，在△AOP中，
|OA|＝8，|AP|＝5，∠AOP＝－θ或.
由余弦定理得cos＝，
即ρ2－16ρcos＋39＝0为所求圆的极坐标方程．第一讲 坐标系
第一节 平面直角坐标系
一、选择题
1．已知 ABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是(－1，2)、(3，0)、(5，1)，则点D的坐标是 ( )．
A．(9，－1) B．(－3，1)
C．(1，3) D．(2，2)
解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D点坐标．设D(x，
y)，
则即∴，故D(1，3)．
答案 C
2．把函数y＝sin 2x的图象变成y＝sin的图象的变换是 ( )．
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向右平移
解析 设y′＝sin2，变换公式为
将其代入y′＝sin2，得μy＝sin2，
∴μ＝1，λ＝－，∴
由函数y＝sin 2x的图象得到y＝sin的图象所作的变换为，故是向左平移个单位．
答案 A
3．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋4y′2＝1，则曲线C的方程为 ( )．
A．25x2＋36y2＝1 B．9x2＋100y2＝1
C．10x＋24y＝1 D.x2＋y2＝1
解析 将代入x′2＋4y′2＝1，得25x2＋36y2＝1，为所求曲线C的方程．
答案 A
4．在同一坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )．
A. B.
C. D.
解析 设 代入第二个方程y′＝sin x′得uy＝sin λx，即y＝sin λ
x，比较系数可得.
答案 B
二、填空题
5．在△ABC中，B(－2，0)，C(2，0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程为____________________________．
解析 ∵△ABC的周长为10，
∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10.其中|BC|＝4，
即有|AB|＋|AC|＝6>4.
∴A点轨迹为椭圆除去长轴两项两点，
且2a＝6，2c＝4.∴a＝3，c＝2，b2＝5.
∴A点的轨迹方程为＋＝1 (y≠0)．
答案 ＋＝1 (y≠0)
6．在平面直角坐标系中，方程x2＋y2＝1所对应的图形经过伸缩变换后的图形所对应的方程是____________．
解析 代入公式，比较可得＋＝1.
答案 ＋＝1
7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋9y′2＝9，则曲线C的方程是__________．
答案 x2＋y2＝1
8．在同一平面直角坐标系中，使曲线y＝2sin 3x变为曲线y′＝sinx′的伸缩变换是____________________________．
答案
三、解答题
9．已知一条长为6的线段两端点A、B分别在x、y轴上滑动，点M在线段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求动点M的轨迹方程．
解 (代入法)设A(a，0)，B(0，b)，M(x，y)，
∵|AB|＝6，∴a2＋b2＝36. ①
M分的比为.
∴ ②
将②式代入①式，化简为＋＝1.
10．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换φ：后，曲线C变为曲线x′2－9y′2＝9，求曲线C的方程．
解 直接代入得曲线C的方程为x2－y2＝1.
11．(图形伸缩变换与坐标变换之间的联系)阐述由曲线y＝tan x得到曲线y＝3tan 2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换．
解 y＝tan x的图象上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝tan
2x，再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y＝3tan 2x.
设y′＝3tan 2x′，变换公式为.
将其代入y′＝3tan 2x′得，
∴.1.2.1极坐标系的的概念
学习目标
1．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置.
2.体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
学习过程
一、学前准备
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P8～P10，找出疑惑之处）
1、如右图，在平面内取一个 ，叫做 ；
自极点引一条射线，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ）及其 （通常取 方向），这样就建立了一个 。
2、设是平面内一点，极点与的距离叫做点的 ，记为 ；以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的 ，记为 。有序数对 叫做点的 ，记作 。
3、思考：直角坐标系与极坐标系有何异同？
___________________________________________.
◆应用示例
例题1：(1)写出图中A，B，C，D，E，F，G各点的极坐标.
（2）：思考下列问题，给出解答。
①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
⑤本题点的极坐标统一表达式。
答：
◆反馈练习
在下面的极坐标系里描出下列各点
小结：在平面直角坐标系中，一个点对应 个坐标表示，一个直角坐标对应 个点。极坐标系里的点的极坐标有 种表示，但每个极坐标只能对应 个点。
三、总结提升1．已知，下列所给出的能表示该点的坐标的是
A． B． C． D．
2、在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是( )
A、 B、 C、 D、
●
O
X二 极坐标系
课题：1、极坐标系的的概念
教学目的：
知识目标：理解极坐标的概念
能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：理解极坐标的意义
教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆？
情境2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置惟一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？
问题2：如何刻画这些点的位置？
这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．
二、讲解新课：
从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：
在平面上取一个定点O，自点O引一条射线OX，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
（其中O称为极点，射线OX称为极轴。）
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。
特别强调：由极径的意义可知≥0;当极角的取值范围是[0,2)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极径=0,极角是任意角.
3、负极径的规定
在极坐标系中，极径允许取负值，极角也可以去任意的正角或负角
当＜0时，点M （，）位于极角终边的反向延长线上，且OM=。
M （，）也可以表示为
4、数学应用
例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）
A（4，0）B（2 ）C（ ）
D（ ）E（ ）F（ ）
G（ ）
1 平面上一点的极坐标是否唯一？
2 若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
3 不同的极坐标是否可以写出统一表达式
约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
变式训练
在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2）C（3，）D（5，）E（3，）F（4，）G（6，
点的极坐标的表达式的研究
例2 在极坐标系中，(1)已知两点P（5，），Q，求线段PQ的长度；
(2)已知M的极坐标为（，）且=，，说明满足上述条件的点M 的位置。
变式训练
1、若的的三个顶点为
2、若A、B两点的极坐标为求AB的长以及的面积。（O为极点）
例3 已知Q（，），分别按下列条件求出点P 的极坐标。
（1） P是点Q关于极点O的对称点；
（2） P是点Q关于直线的对称点；
（3） P是点Q关于极轴的对称点。
变式训练
1.在极坐标系中,与点关于极点对称的点的一个坐标是 ( )
2在极坐标系中，如果等边的两个顶点是求第三个顶点C的坐标。
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立极坐标系。 2．极坐标系的基本要素是：极点、极轴、极角和度单位。3．极坐标中的点与坐标的对应关系。
五、课后作业：
六．课后反思：本节学习内容对学生来说是全新的，因而学生学习的兴趣很浓，课堂气氛很好。部分学生还未能转换思维，感到有点吃力。后续教学还要加强基础训练。
课题：2、极坐标与直角坐标的互化
教学目的：
知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点：互化关系式的掌握
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？
问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解
二、讲解新课：
直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{ {
说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤≤。
3互化公式的三个前提条件
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
三．举例应用：
例1．（1）把点M 的极坐标化成直角坐标
（2）把点P的直角坐标化成极坐标
变式训练
在极坐标系中,已知求A,B两点的距离
例2.若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.
(1) 已知A的极坐标求它的直角坐标,
(2) 已知点B和点C的直角坐标为
求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)
变式训练
把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜)
例3.在极坐标系中,已知两点.
求A,B中点的极坐标.
变式训练
在极坐标系中,已知三点.判断三点是否在一条直线上.
四、巩固与练习：课后练习
五、小 结：本节课学习了以下内容：
1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；
2．互换的公式；
3．互换的基本方法。
五、课后作业：
六、课后反思：在教师的引导下，学生能积极应对互化的原因、方法，也能较好地模仿操作，但让学生独立自主完成新的问题的解答，明显有困难，需要教师的点拨引导。这点可采取的措施是：小组讨论，共同寻找解决问题的方法，很有效。但教学时间不足。第五课时 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、教学目的：
知识目标：掌握极坐标系中直线和圆的方程，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
教学难点：寻找关于ρ，θ的等式
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
问题情境：情境1： , , , 分别表示什么曲线？情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？我们知道，同一条曲线在不同的坐标系中，会有不同的方程。为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成。
（二）、题目探析，体会感受过程，归纳总结
1、基础巩固导练
（1）.已知点P的极坐标是（1，），则过点P且垂直极轴的直线极坐标方程是 .
（2）.在极坐标系中，曲线一条对称轴的极坐标方程 .
（3）.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点.
则|AB|= .
（4）.已知三点A(5，)，B(-8，)，C(3，)，则ΔABC形状为 .
（5）.已知某圆的极坐标方程为：ρ2 –4ρcon(θ-π/4)+6=0则：A.圆的普通方程 ；B.圆上所有点（x,y）中xy的最大值和最小值分别为 、 .
（1）.ρcosθ= -1；（2）.；（3）.；（4）.等边三角形；(5).(x-2)2+(y-2)2=2;
;9、1；
2、例题精讲
例1、【课本P15页例10】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程。
（1）、ρcosθ=0； （2）、； （3）、
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法。
例2、【课本P15页例11】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程。
（1）、X-Y-2=0；（2）、；（3）、（4）、（5）、 反思归纳：曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法。
（三）、强化巩固导练：学生练习课本P17页练习题中2、3、5
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ，θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x,y；2．求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。3、要会熟练地进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。
（五）、作业：课本P18页A组5、6、10 B组中2
课外练习（1）化在直角坐标方程为极坐标方程，（2）化极坐标方程 为直角坐标方程。
五、教学反思：(时间：40分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1．已知直线ρsin＝，则极点到该直线的距离是________．
解析 由题意知，ρsin θ＋ρcos θ＝1，∴x＋y－1＝0，由点到直线的距离公式得所求的距离d＝.
答案
2．(2011·汕头调研)在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A到圆心C的距离是________．
解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x2＋y2－4y＝0，圆心坐标为(0,2)．又易知点A的直角坐标为(2，2)，故点A到圆心的距离为＝2.
答案 2
3．在极坐标系中，过圆ρ＝6cos θ－2sin θ的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为________．
解析 由ρ＝6cos θ－2sin θ ρ2＝6ρcos θ－2ρsin θ，所以圆的直角坐标方程为x2＋y2－6x＋2y＝0，将其化为标准形式为(x－3)2＋(y＋)2＝11，故圆心的坐标为(3，－)，所以过圆心且与x轴垂直的直线的方程为x＝3，将其化为极坐标方程为ρcos θ＝3.
答案 ρcos θ＝3
4．(2011·华南师大模拟)在极坐标系中，点M到曲线ρcos＝2上的点的距离的最小值为________．
解析 依题意知，点M的直角坐标是(2,2)，曲线的直角坐标方程是x＋y－4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M到该直线的距离，即为＝2.
答案 2
5．(2011·广州广雅中学模拟)在极坐标系中，圆ρ＝4上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝8的距离的最大值是________．
解析 把ρ＝4化为直角坐标方程为x2＋y2＝16，把ρ(cos θ＋sin θ)＝8化为直角坐标方程为x＋y－8＝0，∴圆心(0,0)到直线的距离为d＝＝4.∴直线和圆相切，∴圆上的点到直线的最大距离是8.
答案 8
6．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝2cos θ，曲线C2：θ＝，若曲线C1与C2交于A、B两点，则线段AB＝________.
解析 曲线C1与C2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由得即曲线C1与C2的另一个交点与极点的距离为，因此AB＝.
答案
7．(2011·湛江模拟)在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2＋2ρcos θ＝0，点P的极坐标为过点P作圆C的切线，则两条切线夹角的正切值是________．
解析 圆C的极坐标方程：ρ2＋2ρcos θ＝0化为普通方程：(x＋1)2＋y2＝1，点P的直角坐标为(0,2)，圆C的圆心为(－1,0)．如图，当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋2，则圆心到切线的距离为＝1，∴k＝，即tan α＝.易知满足题意的另一条切线的方程为x＝0.又∵两条切线的夹角为α的余角，∴两条切线夹角的正切值为.
答案
8．若直线3x＋4y＋m＝0与曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0没有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析 注意到曲线ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0的直角坐标方程是x2＋y2－2x＋4y＋4＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝1.要使直线3x＋4y＋m＝0与该曲线没有公共点，只要圆心(1，－2)到直线3x＋4y＋m＝0的距离大于圆的半径即可，即＞1，|m－5|＞5，解得，m＜0，或m＞10.
答案 (－∞，0)∪(10，＋∞)
二、解答题(共20分)
9．(10分)设过原点O的直线与圆(x－1)2＋y2＝1的一个交点为P，点M为线段OP的中点，当点P在圆上移动一周时，求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．
解 圆(x－1)2＋y2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，设点P的极坐标为(ρ1，θ1)，点M的极坐标为(ρ，θ)，
∵点M为线段OP的中点，∴ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ－，它表示圆心在点，半径为的圆．
10．(10分)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆
C以M为圆心、4为半径．
(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；
(2)试判定直线l和圆C的位置关系．
解 (1)由题意，直线l的普通方程是y＋5＝(x－1)tan ，此方程可化为＝，令＝＝a(a为参数)，得直线l的参数方程为(a为参数)．
如图，设圆上任意一点为P(ρ，θ)，则在△POM中，由余弦定理，得PM2＝PO2＋OM2－2·PO·OMcos∠POM，
∴42＝ρ2＋42－2×4ρcos.
化简得ρ＝8sin θ，即为圆C的极坐标方程．
(2)由(1)可进一步得出圆心M的直角坐标是(0,4)，
直线l的普通方程是x－y－5－＝0，
圆心M到直线l的距离d＝＝＞4，
所以直线l和圆C相离．新课标人教A版选修4-4 第一讲 坐标系 导学案
§4.1.1—第一课
平面直角坐标系
本课提要：本节课的重点是体会坐标法的作用，掌握坐标法的解题步骤，会运用坐标法解决实际问题与几何问题.
一、 温故而知新
1．到两个定点A（-1，0）与B（0，1）的距离相等的点的轨迹是什么？
2．在⊿ABC中，已知A（5，0），B（-5，0），且，求顶点C的轨迹方程.
2、 重点、难点都在这里
【问题1】：某信息中心接到位于正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比它们晚4s.已知各观测点到中心的距离都是1020m.试确定巨响发生的位置.（假定声音传播的速度为340m/s，各观测点均在同一平面上.）
练一练：
3．有三个信号检测中心A、B、C，A位于B的正东，相距6千米，C在B的北偏西300，相距4千米.在A测得一信号，4秒后B、C同时测得同一信号.试求信号源P相对于信号A的位置（假设信号传播速度为1千米/秒）.
【问题2】：已知⊿ABC的三边满足，BE，CF分别为边AC，AB上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系.
三、 懂了，不等于会了
4．两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的平方和为26，求点M的轨迹.
5．求直线与曲线的交点坐标.
6．求证：三角形的三条高线交于一点.
平面直角坐标系中的伸缩变换
【基础知识导学】
1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。
【典型例题】 在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换。
（1） 将直线变成直线，
分析：设变换为可将其代入第二个方程，得，与比较，将其变成比较系数得
【解】(1)，直线图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线。
【解题能力测试】
1、已知（的图象可以看作把的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则为（ ）
A． B .2 C.3 D.
2.在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线则曲线C的方程为（ ）
A． B. C． D.
3．在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，求曲线C的方程并画出图象。
【知识要点归纳】
（1） 以坐标法为工具，用代数方法研究几何图形是解析几何的主要问题，它的特点是“数形结合”。
（2） 能根据问题建立适当的坐标系又是能否准确解决问题的关键。
（3） 设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。
【潜能强化训练】1.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。 （1） （2）。
2，已知点A为定点，线段BC在定直线上滑动，已知|BC|=4，点A到直线的距离为3，求 ABC的外心的轨迹方程。
课前小测
典型问题
技能训练
Y1.2.2. 极坐标与直角坐标的互化
学习目标
1．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式。2. 会实现极坐标和直角坐标之间的互化。
学习过程
一、学前准备
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便。
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？
问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P11～P11，找出疑惑之处）
直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{ {
说明：1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤<。
3、互化公式的三个前提条件
（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;（2）. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
（3）. 两种坐标系的单位长度相同.
◆应用示例
例1．将点的极坐标化成直角坐标。
解：
例2．将点的直角坐标化成极坐标解：
◆反馈练习
1．点，则它的极坐标是
A． B． C． D．
2．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B． C． D．四 柱坐标系与球坐标系简介
课题：球坐标系与柱坐标系
教学目的：
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系
教学难点：利用它们进行简单的数学应用
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
二、讲解新课：
1、球坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)
有序数组叫做点P的球坐标，其中≥0，0≤≤，0≤＜2。
空间点P的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：
2、柱坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在
平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：
3、数学应用
例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.
变式训练
建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
例2.将点M的球坐标化为直角坐标.
变式训练
1.将点M的直角坐标化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点＞0)的球坐标是什么
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么 并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练
标满足方程=2的点所构成的图形是什么
例4.已知点M的柱坐标为点N的球坐标为求线段MN的长度.
思考:
在球坐标系中,集合表示的图形的体积为多少
三、巩固与练习
四、小 结：本节课学习了以下内容：
1．球坐标系的作用与规则；
2．柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16
六、课后反思：本节内容与平面直角坐标和极坐标结合起来，学生容易理解。但以后少用，可能会遗忘很快。需要定期调回学生的记忆。(共40张PPT)
【综合评价】
通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标(有序数组)、曲线与方程建立了联系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标系下的方程也有不同形式．因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐标系．本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容，同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义．
【学习目标】
1．回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标
系的作用．
2．通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平
面图形的变化情况．
3．能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系
和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标
和直角坐标的互化．
4．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或
圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系
和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形
时选择适当坐标系的意义．
5．借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬
度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位
置的方法，并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方
法相比较，体会它们的区别．
【学习计划】
内容 学习重点 建议学习时间
平面直角坐标系 坐标系的选择；坐标法；伸缩变换 2课时
极坐标系 极坐标系；极坐标和直角坐标的互化 2课时
简单曲线的极坐标方程 直线和圆的极坐标方程 2课时
球坐标系与柱坐标系简介 两种坐标系的意义 2课时
【课标要求】
1．了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用．
2．理解平面直角坐标系中的伸缩变换．
3．能够建立适当的直角坐标系，运用解析法解决数学问题．
第一节 平面直角坐标系
【核心扫描】
1．对平面直角坐标系的应用以及坐标法的考查是本节热点．
2．本节内容常与方程、平面几何图形结合命题．
3．理解图形伸缩变换与坐标变换之间的关系．(难点)
1．平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数
对)，曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．
(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建
立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关
系．
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐
标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问
题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问
题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．
自学导引
2．平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸
缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研
究几何变换．
想一想 如何理解点的坐标的伸缩变换？
提示 在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换．
1．坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上
起着划时代的作用．坐标系的创建，在代数和几何之间架
起了一座桥梁．利用坐标系，我们可以方便地用代数的方
法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一
个点的位置．它使几何概念得以用代数的方法来描述，几
何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数
方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法
应用于几何学的研究．
建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问
题，如函数问题就常常需要借助直角坐标系来解决．
名师点睛
2．解析法解题步骤
第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题
中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
3．体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法
(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变
换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解．
(2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区
别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变
换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方
程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程．
【思维导图】
题型一 运用坐标法解决解析几何问题
【例1】
解 以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(－2，0)，O2(2，0)．
【反思感悟】 建立坐标系的几个基本原则：
①尽量把点和线段放在坐标轴上．
②对称中心一般放在原点．
③对称轴一般作为坐标轴．
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【变式1】
解
在 ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
[思维启迪] 解答本题可以运用坐标方法，先在 ABCD所在的平面内建立平面直角坐标系，设出点A、B、C、D的坐标，再由距离公式完成证明．也可以运用向量的线性运算以及数量积运算加以证明．
题型二 用坐标法解决平面几何问题
【例2】
解 法一 坐标法：以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
【反思感悟】 本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．
已知在△ABC中，点D在BC边上，且满足|BD|＝|CD|，求证：|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
【变式2】
证明 法一 以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，
法二 延长AD到E，使DE＝AD，
连接BE，CE，
则四边形ABEC为平行四边形，
由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE|2＋|BC|2＝2(|AB|2＋|AC|2)，即(2|AD|)2＋(2|BD|)2＝2(|AB|2＋|AC|2)，所以|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|BD|2)．
题型三 平面直角坐标系中的伸缩变换
【例3】
[思维启迪] 解答本题首先要根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用，明确原来的点与变换后的点的坐标，利用方程的思想求解．
【变式3】
求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1.
[思维启迪] 求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或椭圆．
方法技巧——求图形伸缩变换的策略
【示例】
【反思感悟】 伸缩变换要分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用x′，y′表示．
单击此处进入 知能提升演练
[P3思考]
我们以信息中心为基点，用角和距离刻画了点P的位置．这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？
答 直角坐标点的位置用有序数组来刻画．两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想．在这里，应该使用角和距离刻画点P位置更方便．
[P4探究]
你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？
答 可以建立不同的直角坐标系(例如以点F为坐标原点，OB所在直线为x轴建立直角坐标系)解决问题的过程中，根据几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则．
如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；
使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．
[P8思考]
答 椭圆可以变成圆，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，圆可以变为椭圆．我们可以把圆作为椭圆的特例．
[课后习题解答]
习题1.1 (第8页)
1．解 设两定点A、B，以线段AB的中点为原点，AB所
在直线为x轴建立直角坐标系，则A、B的坐标为(－3，
0)、(3，0)．
设动点为P(x，y)，由已知得到|PA|2＋|PB|2＝26，
即(x＋3)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝26，整理得x2＋y2＝4.
这就是点M的轨迹方程．这是以AB的中点为圆心，2
为半径的圆．
2．解 以直线l为x轴，过点A与l垂直的直线为y轴建立平
面直角坐标系．则点A的坐标为(0，3)．设△ABC的外
心为P(x，y)，因为P是线段BC的垂直平分线上的点，
所以B、C的坐标分别为(x－2，0)，(x＋2，0)．
因为P也在线段AB的垂直平分线上，
整理得x2－6y＋5＝0.
这就是所求的轨迹方程．
3.证明 法一 如图所示，AD，BE，
CO分别是三角形ABC的三条高，取边
AB所在的直线为x轴，边AB上的高CO
所在的直线为y轴建立直角坐标系．设
A，B，C的坐标依次为(－a，0)，(b，
0)，(0，c)，
由方程①与②，解得x＝0.
所以，AD，BE的交点H在y轴上．
因此，三角形的三条高线相交于一点．
所以(－b)(x＋a)＋cy＝0. ②
①－②得到(a＋b)x＝0.
因为a＋b≠0，所以x＝0.所以点H在AB边的高线上，即△ABC的三条高线交于一点．
5.第一讲 坐标系
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·北京)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )．
A. B.
C．(1，0) D．(1，π)
解析 因为该圆的直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，即为x2＋(y＋1)2＝1，圆心
的直角坐标方程为(0，－1)，化为极坐标可以为，故选B.
答案 B
2．(2011·安徽)在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为( )．
A．2 B.
C. D.
解析 由可知，点的直角坐标为(1，)，
圆ρ＝2cos θ的方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心到点(1，)
的距离为.
答案 D
3．(2011·江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
解析 由得，cos θ＝，sin θ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sin
θ＋4 cos θ得，ρ＝＋ ρ2＝2y＋4x
x2＋y2－4x－2y＝0.
答案 x2＋y2－4x－2y＝0
4．(2011·湖南)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．
解析 曲线C1的普通方程是x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的直角坐标方程是x－y
＋1＝0，由于直线x－y＋1＝0经过圆x2＋(y－1)2＝1的圆心，故两曲线的交
点个数是2.
答案 2
5．(2011·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极
点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l
的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
解 (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．因为点P的
直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点
Q到直线l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.(共33张PPT)
【课标要求】
1．了解极坐标方程的意义．
2．掌握直线和圆的极坐标方程．
3．能够根据极坐标方程研究有关数学问题．
【核心扫描】
1．极坐标方程与直角坐标方程的互化．(重点)
2．能用曲线的极坐标方程解决相关问题．(难点)
第三节 简单曲线的极坐标方程
1．曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点
的极坐标中至少有一个满足方程_____________，并且
坐标适合方程_____________的点都在曲线C上，那么
方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程．
自学导引
f(ρ，θ)＝0
f(ρ，θ)＝0
2．常见曲线的极坐标方程
ρ＝r
θ＝α
θ＝π＋α
名师点睛
2．求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探
求ρ，θ的关系，经常利用三角形和正弦定理．
3．在进行两种坐标间的互化时，我们要注意：
(1)互化公式是有三个前提条件的，极点与直角坐标系的原
点重合；极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合；两种坐
标系的单位长度相同．
(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定
在0≤θ<2π，ρ>0范围内求值．
(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简．
(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，
通常要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，
若在，是等价变形；否则，不是等价变形．
【思维导图】
题型一 圆的极坐标方程
【例1】
[思维启迪] 解答本题先设圆上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为ρ，θ的极坐标方程，化简即可．
解 由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA，在Rt△OAM中，
|OM|＝|OA|cos∠AOM，
【反思感悟】 求轨迹方程时，我们常在三角形中利用正弦定理找到变量ρ，θ的关系．在圆的问题中，经常用到直角三角形中的边角关系．
在圆心的极坐标为A(4，0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．
【变式1】
解 设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.
由圆心为(4，0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，
得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，
即ρ＝4cos θ.
故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2，0)为圆心，2为半径的圆．
题型二 射线或直线的极坐标方程
【例2】
[思维启迪] 解答本题先设直线上任意一点M(ρ，θ)，建立等式转化为关于ρ，θ的方程，再化简即可．
【反思感悟】 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程．
【变式2】
将下列直角坐标方程与极坐标方程互化．
(1)直线x＋y＝0；
(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)；
(3)ρcos θ＝2；(4)ρ＝2cos θ；(5)ρ2 cos 2θ＝2.
[思维启迪] (1)(2)用公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入曲线(含直线)的直角坐标方程，再化简即可．
(3)(4)(5)利用公式ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y等代入曲线的极坐标方程，再化简方程．
题型三 直角坐标方程与极坐标方程的互化
【例3】
(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0得
ρ2 cos2θ＋ρ2 sin2θ＋2aρcos θ＝0，
即ρ(ρ＋2acos θ)＝0，∴ρ＝－2acos θ，
所以圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2acos θ.
(3)∵ρcos θ＝2，∴x＝2.
(4)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，
∴x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1.
(5)∵ρ2 cos 2θ＝2，∴ρ2(cos2θ－sin2θ)＝2，
即ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝2，∴x2－y2＝2.
【反思感悟】 在实践中，由于问题的需要和研究的方便，常需把这两种坐标进行换算，我们有必要掌握这两种坐标间的互化．在解这类题时，除正确使用互化公式外，还要注意与恒等变换等知识相结合．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.
(1)将x2－y2＝a2化为极坐标方程；
(2)将ρ＝2asin θ化为直角坐标方程．
【变式3】
解 (1)直接代入互化公式，ρ2cos2 θ－ρ2sin2 θ＝a2，
∴ρ2cos 2θ＝a2，这就是所求的极坐标方程．
(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a×ρsin θ.
∴x2＋y2＝2ay，这就是要求的直角坐标方程．
(2010·北京高考)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是 ( )．
A．两个圆 B．两条直线
C．一个圆和一个射线 D．一条直线和一条射线
解析 由(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)得，ρ＝1或θ＝π，其中ρ＝1表示以极点为圆心，半径为1的圆，θ＝π表示以极点为起点与Ox反向的射线．
答案 C
高考在线——极坐标方程的应用
【例1】
点击1 考查极坐标方程的意义
(2010·广东高考)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．
点击2 极坐标方程与直角坐标方程的互化
【例2】
【例3】
点击3 极坐标方程的应用
【例4】
(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．
单击此处进入 知能提升演练
[P15思考]
在例3中，如果以极点为直角坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，那么直线l的直角坐标方程是什么？比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程，你对不同坐标系下的直线方程有什么认识？
在极坐标系中，过极点的直线方程形式比较简单，而不过极点的直线方程形式要比直角坐标方程复杂．
[课后习题解答]
习题1.3 (第15页)
1．解 (1)表示圆心在极点，半径为5的圆(图略)．
3．解 (1)ρcos θ＝4.(2)ρsin θ＝－2.(3)2ρcos θ－3ρsin θ－
1＝0.(4)ρ2cos 2θ＝16.
4．解 (1)y＝2.(2)2x＋5y－4＝0.(3)(x＋5)2＋y2＝25.
(4)(x－1)2＋(y＋2)2＝5.第四节 柱坐标系与球坐标系简介（选学）
一、选择题
1．已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为 ( )．
A．P点(5，1，1)，B点
B．P点(1，1，5)，B点
C．P点，B点(1，1，5)
D．P点(1，1，5)，B点
解析 设P点的直角坐标为(x，y，z)，
x＝·cos ＝·＝1，y＝·sin ＝1，z＝5.
设B点的直角坐标为(x，y，z)，
x＝·sin ·cos ＝··＝，
y＝·sin ·sin ＝··＝，
z＝·cos ＝·＝.
所以，点P的直角坐标为(1，1，5)，点B的直角坐标为.
答案 B
2．设点M的直角坐标为(－1，－，3)，则它的柱坐标是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 ∵ρ＝ ＝2，θ＝π，z＝3.
∴M的柱坐标为.
答案 C
3．设点M的直角坐标为(－1，－1，)，则它的球坐标为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 由变换公式r＝＝2，cos φ＝＝，
∴φ＝.
∵tan θ＝＝1，∴θ＝π.∴M的球坐标为.
答案 B
4．点M的球坐标为，则它的直角坐标为 ( )．
A．(－6，2，4) B．(6，2，4)
C．(－6，－2，4) D．(－6，2，－4)
解析 由x＝8sin cos ＝－6，y＝8sin sin ＝2，z＝8cos ＝4，
得点M的直角坐标为(－6，2，4)．
答案 A
二、填空题
5．点M的球坐标为，则M的直角坐标为____________．
解析 x＝rsin φcos θ＝4×sin ×cos π＝2，
y＝rsin φsin θ＝4×sin ×sin π＝－2，
z＝rcos φ＝4×cos ＝0，∴M(2，－2，0)．
答案 (2，－2，0)
6．设点M的柱坐标为，则它的直角坐标为______．
答案 (，1，7)
7．在球坐标系中，方程r＝1表示______________________，方程φ＝表示空间的________________________．
答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，轴截面顶角为的圆锥
面
8．已知柱坐标系中，点M的柱坐标为，且点M在数轴Oy上的射影为N，则|OM|＝________，|MN|＝________．
解析 设点M在平面Oxy上的射影为P，连结PN，
则PN为线段MN在平面Oxy上的射影．
∵MN⊥直线Oy，MP⊥平面xOy，
∴PN⊥直线Oy.
∴|OP|＝ρ＝2，|PN|＝＝1
∴|OM|＝＝＝3.
在Rt△MNP中，∠MPN＝90°，
∴|MN|＝＝＝.
答案 3
三、解答题
9．(直角坐标与柱坐标、球坐标的互化)设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标与球坐标．
解 由坐标变换公式，可得
ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝
(点(1，1)在平面xOy的第一象限)，
r＝＝＝2.
由rcos φ＝z＝，得cos φ＝＝，φ＝.
∴点M的柱坐标为，
球坐标为.
10．将下列各点的柱坐标化为直角坐标．
P，Q
解 直接代入互化公式
可得P的直角坐标为(，1，1)，Q点的直角坐标为(－2，2，－3)．
11．在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)围成的几何体的体积．
解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满
足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)
的轨迹是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆
柱，如图
所示，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，
∴V＝Sh＝πr2h＝2π(体积单位)．(共28张PPT)
第1讲 坐标系
2acos_θ
2asin_θ
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MATHEMATICS
数学
4-4
坐标系与参数方程
01》考基自主导学
必考必记:教学相长
M
O
M(a,y)
02
KAOXIANGTANJIUDAOXI
》考向探究导析
研析考向案例突破
M(e, a
03:
KAOTIZHUANXIANGTUPO
》考题专项突破
考题展示氵名师解读
审题)→化为普通方程
化为
为
两点间的距离
求
离
决此类问题一般先将极坐标化为普通方
圆的知识及距离公式等解决
化为普通方程,求出交
决
题一般有两
标联立,根据限
求出极坐标,要注意题
给的限制条件及隐
)
04
HUOYEXIANSHIXUNLIAN
》活页限时训练
教学备选氵阶梯训练圆的极坐标方程
本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的圆（如过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程.
一、 温故而知新
1．圆的极坐标方程是 .2．曲线的直角坐标方是 .
二 重点、难点都在这里
【问题1】：求以点为圆心，为半径的圆C的极坐标方程.
3．求圆心在点（3，0），且过极点的圆的极坐标方程.
4．求以为圆心，4为半径的圆的极坐标方程.
【问题2】：已知圆心的极坐标为，圆的半径为，求圆的极坐标方程.
【问题3】：已知一个圆的极坐标方程是，求圆心的极坐标与半径.
三练习 5．在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程：
（1）圆心在，半径为1的圆；（2）圆心在，半径为的圆.
6．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：（1）；（2）.
7．求下列圆的圆心的极坐标：（1）；（2）.
8．求圆的圆心的极坐标与半径.
四、 试试你的身手呀
9．设有半径为4的圆，它在极坐标系内的圆心坐标是，则这个圆的极坐标方程是 .
10．两圆和的圆心距是 .
11．在圆心的极坐标为，半径为的圆中，求过极点的弦的中点的轨迹.
课前小测
典型问题
变式训练
第3页(共14张PPT)
阅读课本P16---17
了解柱坐标系的定义, 以及如何用
柱坐标系描述空间中的点.
设P是空间任意一点，
在oxy平面的射影为Q，
用(ρ,θ)(ρ≥0,
0≤θ＜2π)表示点Q
在平面oxy上的极坐标，
点P的位置可用有
序数组(ρ,θ,z)表示.
x
y
z
o
P(ρ,θ,Z)
Q
θ
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系.
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱
坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中
ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z＜+∞
柱坐标系又称半极坐标系，它是由
平面极坐标系及空间直角坐标系中的
一部分建立起来的.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐
标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为
设点的直角坐标为(1，1，1)，求它
在柱坐标系中的坐标.
解得ρ= ，θ=
点在柱坐标系中的坐标为
（ ， ，1）.
注：求θ时要注意角的终边与点的
射影所在位置一致
给定一个底面半径为r，高为h的圆
柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述
圆柱侧面以及底面上点的位置.
x
y
z
o
注：坐标与点的位置有关
阅读课本P18
了解球坐标系的概念以及在球坐标
系中点的确定
x
y
z
o
P
Q
θ
r
φ
设P是空间任意一点，
连接OP，
记| OP |=r，
OP与OZ轴正向所
夹的角为φ.
在oxy平面的射影为Q，
设P
在oxy平面上的射影为Q，
Ox轴按逆时
针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.
这样点 P 的位置就可以用有序数
组(r,φ,θ)表示.
(r,φ,θ)
我们把建立上述
对应关系的坐标系
叫做球坐标系 (或空间极坐标系) .
有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，
其中
x
y
z
o
P(r,φ,θ)
Q
θ
r
φ
空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系.
空间点P的直角坐标(x, y, z)与球坐标
(r,φ,θ)之间的变换关系为
x
y
z
o
P(r,φ,θ)
Q
θ
r
φ
设点的球坐标为(2， ， )，求
它的直角坐标.
点在直角坐标系中的坐标为
（ －1 ，1 ，－ ）.
数轴
平面直角坐标系
平面极坐标系
空间直角坐标系
球坐标系
柱坐标系
坐标系是联系形与数的桥梁，利用
坐标系可以实现几何问题与代数问题
的相互转化，从而产生了坐标法.
坐标系
小结
P(x,y,z)
x
y
z
x
y
z
o
P(ρ,θ,Z)
Q
θ
x
y
z
o
P(r,φ,θ)
Q
θ
r
φ(共31张PPT)
【课标要求】
1．理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性．
2．掌握极坐标与直角坐标的互化．
3．掌握极坐标系的简单应用．
第二节 极坐标系
【核心扫描】
1．对极坐标系的意义和应用的考查是热点．
2．对极坐标和直角坐标互化的考查是热点．
3．能够根据坐标转化解决某些数学问题．(难点)
1．极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做__
__；自极点O引一条射线Ox，叫做_____；再选定一个
_________、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通
常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
自学导引
极
点
极轴
长度单位
(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：
设M是平面内一点，极点O与点M的距离
|OM|叫做点M的_____，记为ρ；以极轴Ox
为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点
M的_____，记为θ.有序数对_________叫做点M的极坐标，记为___________．
一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．
特别地，当点M在极点时，它的极坐标为(0，θ)，θ可以取任意实数．
极径
极角
(ρ，θ)
M(ρ，θ)
(3)点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与__________
__________表示同一个点．特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和点的直角坐标的唯一性不同，平面内一个
点的极坐标有无数种表示．
想一想 极坐标系所在平面内的点与极坐标是否能建立一一对应关系？
提示 建立极坐标系后，给定(ρ，θ)，就可以在平面内唯一确定一点M；反过来，给定平面内一点M，它的极坐标却不是唯一的．所以极坐标系所在平面内的点与极坐标不能建立一一对应关系，这是极坐标系与平面直角坐标系的主要区别．
(ρ，θ＋
2kπ)(k∈Z)
2.点的极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景：把直角坐标系的原点作
为____，x轴的正半轴作为_____，并在
两种坐标系中取相同的________，如图
所示．
(2)互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
极点
极轴
长度单位
在一般情况下，由tan θ确定角时，可根据点M所在的象限取最小正角．
x2＋y2
ρcos θ
ρsin θ
1．极坐标系的概念
极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长
度单位；④角度单位和它的正方向．四者缺一不可．
极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置．
2．点的极坐标：每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的
位置．其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角．
平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐
标．根据点的极坐标(ρ，θ)的定义，对于给定的点
(ρ，θ)有无数个极坐标，可分为两类，一类为(ρ，θ＋
2kπ) (k∈Z)，另一类为(－ρ，θ＋2kπ＋π) (k∈Z)．
名师点睛
在极坐标(ρ，θ)中，一般限定ρ≥0.当ρ＝0时，就与极点重合，此时θ不确定．给定点的极坐标(ρ，θ)，就唯一地确定了平面上的一个点．但是，平面上的一个点的极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式．由此可见，平面上的点与它的极坐标不是一一对应关系．这是极坐标与直角坐标的不同之处．如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系．
【思维导图】
题型一 极坐标系的概念与点的极坐标
写出图中A、B、C、D、E、F、G各点的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)，最内层圆的半径为1，且各圆半径相差1.
【例1】
[思维启迪] 确定极径、极角即可．
解 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为
【反思感悟】 (1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序搞错了．
(2)点的极坐标是不唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的．
写出下列各点的极坐标．
【变式1】
分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
题型二 把点的极坐标化为直角坐标
【例2】
【反思感悟】 将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键．
【变式2】
分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)：
题型三 将点的直角坐标化为极坐标
【例3】
[思维启迪]
解 (1)由于直角坐标原点(0，0)与极点重合，所以限定ρ≥0，0≤θ<2π时，其极坐标为(0，θ)．
本例中，如果限定ρ>0，θ∈R，分别求各点的极坐标；
解 根据与角α终边相同的角为α＋2kπ，k∈Z，
由上述可知，点的直角坐标化为极坐标
(ρ>0，θ∈R)，分别如下：
【变式3】
方法技巧——极坐标的综合应用
【示例】
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积．
[思维启迪] 解答本题可以结合图形利用边、角关系完成判断和计算．
单击此处进入 知能提升演练
[P9思考]
如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：
(1)他向东偏北60°方向走120 m后到达什么位置？该位置唯一确定吗？
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
答 (1)他向东偏北60°方向走120 m后到达图书馆，位置唯一确定．
(2)从教学楼向东走60 m到达体育馆，从教学楼向西北方向走50 m到达办公楼．
[课后习题解答]
习题1.2 (第12页)
1．解 由题图得各点的极坐标分别为：
所以A，B两点间的距离为|AB|＝3＋1＝4.
4．解 由直角坐标与极坐标互化公式x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，第一章 坐标系
【课标要求】
1．坐标系：了解极坐标系；会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置；会进行极坐标和直角坐标的互化。了解在球坐标系、柱坐标系中刻画空间中点的位置的方法（本节内容不作要求）。
2．曲线的极坐标方程：了解曲线的极坐标方程的求法；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形（过极点的直线、过极点的圆、圆心在极点的圆）的极坐标方程。
3．平面坐标系中几种常见变换（本节内容不作要求）了解在平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换。
第一课时直角坐标系
一、教学目的：
知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
能力与与方法：体会坐标系的作用
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：体会直角坐标系的作用
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、平面直角坐标系与曲线方程
1、教师设问：问题1：如何刻画一个几何图形的位置？问题2：如何创建坐标系？问题3：(1).如何把平面内的点与有序实数对(x,y)建立联系？(2).平面直角坐标系中点和有序实数对(x,y)是怎样的关系？问题4：如何研究曲线与方程间的关系？结合课本例子说明曲线与方程的关系？
2、思考交流：(1).在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3)、 5为半径的圆的方程是什么？ （2）.在平面直角坐标系中，圆心坐标为（a,b)半径为r的圆的方程是什么
3、、学生活动：学生回顾并阅读课本，思考讨论交流。教师准对问题讲解。
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
（1）、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
（2）、平面直角坐标系 ：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定
（3）、空间直角坐标系 ：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定
（4）、抽象概括：在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：A.曲线C上的点坐标都是方程f(x,y)=0的解；B.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上。那么，方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程，曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲线。
（5）、学生写直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程并作出相应的图形。
4、学生练习：课本P3练习中1、2题。
5、建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x。上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即： 设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为 通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx 写出其坐标变换。在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’) 这就是变换公式。通常把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
3、例题：课本P4例1.在下列平面直角坐标系中，分别作出以圆点为圆心，6为半径的圆：
(1)、x轴与y轴具有相同的单位长度；（2）、X轴上的单位长度为Y轴上单位长度的2倍；（3）、X轴上的单位长度为Y轴上单位长度的倍。
教师分析：关键是建立坐标伸缩变换关系式。
学生练习，教师准对问题讲评。
反思归纳：在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。
4、巩固训练：课本P6页练习题。
（三）求轨迹方程
1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程。
2．在面积为1的中，，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程。
教师分析，学生练习，准对问题讲评。
反思归纳：求轨迹方程的方法和一般步骤。方法：定义法、直接法、相关点法、待定系数法、参数法。一般步骤：（1）、恰当建系；（2）、分析曲线特征，揭示隐含条件；（3）、找出曲线上与任意点有关的位置关系和满足的几何条件；（4）列出方程。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．如何建立直角坐标系； 2．建标法的基本步骤；3．什么时候需要建标；4、求轨迹方程的方法和一般步骤；5、在平面直角坐标系中进行坐标伸缩变换，关键是探析坐标伸缩变换公式。
（五）、作业：课本P7页3、8、9、11
五、教学反思：(共10张PPT)
1.3简单曲线的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f( , )=0有如下关系
(１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中至少有一个)符合方程f( , )=0 ；
(２)方程f( , )=0的所有解为坐标的点都在曲线Ｃ上。
则曲线Ｃ的方程是f( , )=0 。
探 究
如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标( , )满足的条件？
x
C(a,0)
O
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？
题组练习1
求下列圆的极坐标方程
(１)中心在极点，半径为2；
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)中心在(a, /2)，半径为a；
(４)中心在Ｃ( 0, ０)，半径为r。
＝2
＝2acos
＝2asin
2+ 0 2 -2 0 cos( - ０)= r2
极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
练习2
(２)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(３)中心在(a, /2)，半径为a；
＝2acos
＝2asin
练习3
以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是
C
练习4
曲线 关于极轴对
称的曲线是：
C
１.小结：
（１）曲线的极坐标方程概念
（２）怎样求曲线的极坐标方程
（3）圆的极坐标方程(共11张PPT)
知识网络
本 讲 归 纳 整 合
1．平面直角坐标系中的伸缩变换
要点归纳
2．极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的
一条射线Ox，一个长度单位及计算角度
的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一
个极坐标系．O点称为极点，Ox称为极
轴．平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和
从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成
的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为极径，θ称
为极角．
(2)极坐标与直角坐标的互化
(3)圆的极坐标方程
①圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为ρ＝R.
②圆心在极轴上的点(a，0)处，且圆过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ.
题型一 伸缩 变换
【例1】
(2007·海南·宁夏高考)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．
解 以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．
(1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程．
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．
【例2】
题型二 极坐标与直角坐标的互化
(2010·江苏高考)在极坐标系中，已知圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a＝0相切，求实数a的值．
【例3】
题型三 曲线的极坐标方程的求解与应用
1．从近两年新课标高考试题可以看出，高考对该部分重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题，但各省市的要求不尽相同．
2．复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主．
命题趋势
单击此处进入 高考真题
高考真题第二节 极坐标系
一、选择题
1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．
答案 B
2．已知A，B的极坐标分别是和，则A和B之间的距离等于
( )．
A. B.
C. D.
解析 极坐标系中两点A(ρ1，θ1)，B(ρ2，θ2)的距离|AB|＝
eq \r(ρ＋ρ－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）).
答案 C
3．在极坐标系中，已知点P，若P的极角满足－π<θ<π，ρ∈R，则下列点中与点P重合的是 ( )．
A.，，
B.，，
C.，，
D.
答案 D
4．已知点M的极坐标是，它关于直线θ＝的对称点坐标是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 当ρ<0时，我们找它的极角应按反向延长
线上去找．描点时，先找到角－的
终边．又因为ρ＝－2<0，所以再沿反向延长线上
找到离极点2个单位的点即是点.
直线θ＝，就是由极角为的那些点的集合．
故M关于直线θ＝的对称点为M′，但是选择支没有这
样的坐标．
又因为M′的坐标还可以写成M′，故选B.
答案 B
二、填空题
5．在极坐标系中，已知点A，B，则A、B两点间的距离为________．
解析 利用极坐标系中两点间距离公式．
答案
6．已知点M的直角坐标为(－3，－3)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M的极坐标是________．
答案
7．在极坐标系中，已知点P，则点P在－2π≤θ<2π，ρ∈R时的另外三种极坐标形式为__________．
答案 ，，
8．(极坐标意义的考查)极坐标系中，点A的极坐标是，则
(1)点A关于极轴对称的点是________；
(2)点A关于极点对称的点的极坐标是________；
(3)点A关于直线θ＝的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0，θ∈[0，2
π))
解析 如图所示，在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角
的变化．另外，我们要注意：极角是以x轴正向为始边，按照逆时针方向得
到的．
答案 (1) (2) (3)
三、解答题
9．(1)把点M的极坐标化成直角坐标；
(2)把点N的直角坐标(－，－1)化成极坐标．
解 (1)x＝－5cos ＝－，y＝－5sin ＝－.
∴点M的直角坐标是.
(2)ρ＝＝2，tan θ＝＝.
又∵点N在第三象限，ρ>0.∴最小正角θ＝π.
故点N的极坐标是.
10．(极坐标的应用)已知A、B两点的极坐标分别是，，求A、B两点间的距离和△AOB的面积．
解 求两点间的距离可用如下公式：
|AB|＝ ＝＝2.
S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝＝×2×4＝4.
11．已知点Q(ρ，θ)，分别按下列条件求出点P的极坐标．
(1)点P是点Q关于极点O的对称点；
(2)点P是点Q关于直线θ＝的对称点．
解 (1)由于P、Q关于极点对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，极角相差(2k＋
1)π(k∈Z)．所以，点P的极坐标为(ρ，(2k＋1)π＋θ)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．
(2)由P、Q关于直线θ＝对称，得它们的极径|OP|＝|OQ|，点P的极角θ′
满足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，
所以点P的坐标为(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．(共27张PPT)
一．平面直角坐标系的建立
思考:声响定位问题
某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到一声巨响，正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚4s，已知各观测点到中心的距离都是1020m，试确定该巨响的位置。（假定当时声音传播的速度为340m/s，各相关点均在同一平面上） (2004年广东高考题)
y
x
B
A
C
P
o
以接报中心为原点O，以BA方向为x轴，建立直角坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点，
设P（x,y）为巨响为生点，由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|，故P在BC的垂直平分线PO上，PO的方程为y=－x，因A点比B点晚4s听到爆炸声，
y
x
B
A
C
P
o
则 A(1020,0), B(－1020,0), C(0,1020)
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义知P点在以A、B为焦点的
双曲线 上，
答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 处.
用y=－x代入上式，得 ，∵|PA|>|PB|,
解决此类应用题的关键：
1、建立平面直角坐标系
2、设点（点与坐标的对应）
3、列式（方程与坐标的对应）
4、化简
5、说明
坐 标 法
例1.已知△ABC的三边a,b,c满足
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究BE与CF的位置关系。
(A)
F
B
C
E
O
y
x
以△ABC的顶点Ａ为原点Ｏ，
边AB所在的直线x轴，建立直角
坐标系，由已知，点A、B、F的
坐标分别为
解：
A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ).
因此，BE与CF互相垂直.
具体解答过程见书本P4
你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应注意什么问题？
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
二.平面直角坐标系中的伸缩变换
思考：
（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x
x
O
2
y=sinx
y=sin2x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，就得到正弦曲线y=sin2x.
上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：
设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来 ，得到点P’(x’,y’).坐标对应关系为：
x’= x
y’=y
1
通常把 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。
1
坐标对应关系为：
（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx 写出其坐标变换。
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’=x
y’=3y
2
通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。
2
在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。
（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x 写出其坐标变换。
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.
设点P（x,y）经变换得到点为P’(x’,y’)
x’= x
y’=3y
3
通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。
3
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称
为平面直角坐标系中的伸缩变换。
4
注 （1）
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
练习：
1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换
x’=x
y’=3y
后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)x2+y2=1
2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=1
3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变
换 后，
曲线C变为x’2－9y’2 =1，求曲线C的方程并画出图形。
x’=3x
y’=y
思考：在伸缩 下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？
4
课堂小结：
（1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题；
（2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。
作业： P8 1, 4, 5
预习： 极坐标系（书本P9-P11）(共26张PPT)
从这向北
2000米。
请问：去
中学怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从这向北走2000米！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
一、极坐标系的建立：
在平面内取一个定点O，叫做极点。
引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向（通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
X
O
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
X
O
M
对于平面上任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示从OX到OM 的角度， 叫做点M的极径， 叫做点M的极角，有序数对（ ， ）就叫做M的极坐标。
特别强调： 表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离； 表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM 为终边的角。
题组一：说出下图中各点的极坐标
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
特别规定： 当M在极点时，它的极坐标 =0， 可以取任意值。
想一想？
三、点的极坐标的表达式的研究
X
O
M
如图：OM的长度为4，
请说出点M的极坐标的其他表达式。
思考：这些极坐标之间有何异同？
思考：这些极角有何关系？
这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。
点M的极坐标统一表达式：
极径相同，不同的是极角
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A
B
C
D
E
F
G
O
X
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定（ , ）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。
原因在于：极角有无数个。
O
X
P
M
(ρ,θ)…
如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π
那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.
[3]一点的极坐标有否统一的表达式？
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。
[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？
无数，极角有无数个。
有。（ρ，2kπ+θ）
极坐标和直角坐标的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, )
这个点如何用极坐标表示
O
x
y
在直角坐标系中,
以原点作为极点,
x轴的正半轴作为极轴,
并且两种坐标系中取相
同的长度单位
点M的直角坐标为
θ
设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, ∏ / 3)
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标
化成直角坐标.
解:
所以, 点M的直角坐标为
已知下列点的极坐标，求它们的直
角坐标。
例2. 将点M的直角坐标
化成极坐标.
解:
因为点在第三象限, 所以
因此, 点M的极坐标为
练习: 已知点的直角坐标, 求它们
的极坐标.
例3 已知两点（2， ），（3， ）
求两点间的距离.
π
3
π
2
o
x
A
B
解：∠AOB =
π
6
用余弦定理求
AB的长即可.直线的极坐标方程
本课提要：本节课的重点是掌握一些特殊位置下的直线（如过极点或垂直于极轴的直线）的极坐标方程.
一、 温故而知新
1．直线的极坐标方程是 .
2．曲线的直角坐标方程是 .
二、典型例题
【问题1】：求经过极点，从极轴到直线的夹角是的直线的极坐标方程.
练一练：
3．经过极点，且倾斜角是的直线的极坐标方程是 .
4．直线的直角坐标方程是 .
【问题2】：设点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程.
三、技能训练 懂了，不等于会了
5．在极坐标系中，求适合下列条件的直线的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是的直线；（2）过点，并且和极轴垂直的直线.
6．把下列极坐标方程化为直角坐标方程：
（1）；（2）.
7．求下列直线的倾斜角：（1）；（2）.
8．已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离.
四、变式训练 试试你的身手呀
9．过点，且平行于极轴的直线的极坐标方程为 .
10．直线关于直线对称的直线的极坐标方程为________________
课前小测
第2页第六课时 圆锥曲线统一的极坐标方程
一、教学目的：
知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程
能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式
教学难点：方程中字母的几何意义
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1、问题情境
情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？
情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？
2、学生回顾
（1）．求曲线方程的方程的步骤
（2）．两种坐标互化前提和公式
（3）．圆锥曲线统一定义
（二）、讲解新课：
1、由必修课的学习我们已经知道：与一个定点的距离和一条定直线（定点不在定直线上）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当e=1时，是抛物线。那么当01时，点的轨迹是什么曲线呢？可以借助极坐标系进行讨论。
2、圆锥曲线的统一方程
设定点的距离为，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数的点的轨迹的极坐标方程。分析：①建系
②设点
③列出等式
④用极坐标、表示上述等式，并化简得极坐标方程
说明：⑴为便于表示距离，取为极点，垂直于定直线的方向为极轴的正方向。
⑵表示离心率，表示焦点到准线距离。
学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程，
3、圆锥曲线的统一方程，化为直角坐标方程为，由此可由e与0和1的大小关系确定曲线形状。
4、思考交流：学生讨论交流课本P18页的问题：当01时，方程（1）表示了什么曲线？角在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点？
2、例题讲解
例题：2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。
变式训练
已知抛物线的焦点为。
（1）以为极点，轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；
（2）过取作直线交抛物线于A、B两点，若|AB|＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线的倾斜角。
(三)、巩固练习：从极点O作圆C：=8cos的弦ON，求ON的中点M的轨迹方程。
答案：=4cos
（四）、小结：本课学习了以下内容：1、我们推导了圆锥曲线统一的极坐标方程，体会和掌握了求曲线的极坐标方程的方法步骤。2、把圆锥曲线统一的极坐标方程化为了直角坐标方程，从而判断了曲线形状，强化了互化公式的应用。3、进一步理解和掌握了圆锥曲线统一的定义。
（五）、作业：课本P19页A组中8、9、10 B组中2
五、教学反思：三 简单曲线的极坐标方程
课 题: 1、圆的极坐标方程
教学目标：
1、掌握极坐标方程的意义
2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程
教学重点、极坐标方程的意义
教学难点：极坐标方程的意义
教学方法：启发诱导，讲练结合。
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置极坐标也有同样作用？
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程
极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤
4、极坐标与直角坐标的互化关系式:
二、讲解新课：
1、引例．如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，
的极坐标(,)满足的条件？
解：设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，
则有：OM=OAcosθ，即：ρ＝2acosθ ①，
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
可以验证点O(0,π/2)、A(2a,0)满足①式.
等式①就是圆上任意一点的极坐标满足的条件.
反之，适合等式①的点都在这个圆上.
3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，
可以使圆的极坐标方程更简单？
①建系；
②设点；M（ρ，θ）
③列式；OM＝r， 即：ρ＝r
④证明或说明.
变式练习：求下列圆的极坐标方程
(１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；
(２)中心在(a,/2)，半径为a；
(３)中心在Ｃ(a,０)，半径为a
答案：(1)＝2acos (2) ＝2asin (3)
例2．（1）化在直角坐标方程为极坐标方程，
（2）化极坐标方程 为直角坐标方程。
三、课堂练习：
1.以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的方程是 (C)
2.极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少？
四、课堂小结：
1．曲线的极坐标方程的概念．
2．求曲线的极坐标方程的一般步骤．
五、课外作业：教材 1，2
1．在极坐标系中，已知圆的圆心，半径，
（1）求圆的极坐标方程。
（2）若点在圆上运动，在的延长线上，且，求动点的轨迹方程。
课题：2、直线的极坐标方程
教学目标：
知识与技能：掌握直线的极坐标方程
过程与方法：会求直线的极坐标方程及与直角坐标之间的互化
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：理解直线的极坐标方程，直角坐标方程与极坐标方程的互化
教学难点：直线的极坐标方程的掌握
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、探究新知：
阅读教材P13-P14
探究1、直线经过极点，从极轴到直线的角是，如何用极坐标方程表示直线
思考：用极坐标表示直线时方程是否唯一？
探究2、如何表示过点，且垂直于极轴的直线的极坐标方程，化为直角坐标方程是什么？过点，平行于极轴的直线的极坐标方程呢？
二、知识应用：
例1、已知点P的极坐标为，直线过点P且与极轴所成的角为，求直线的极坐标方程。
例2、把下列极坐标方程化成直角坐标方程
（1） （2） （3）
例3、判断直线 与圆的位置关系。
三、巩固与提升：
P15第1，2，3，4题
四、知识归纳：
1、直线的极坐标方程
2、直线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
3、直线与圆的简单综合问题
五、作业布置：
1、在直角坐标系中，过点，与极轴垂直的直线的极坐标方程是（ ）
A B C D
2、与方程表示同一曲线的是 （ ）
A B C D
3、在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线的极坐标方程是
4、在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线方程是
5、在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程是
6、已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离。
7、在极坐标系中，由三条直线围成图形的面积。
六、反思：
O
x本讲质量评估(一)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在极坐标系中有如下三个结论：
①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；
②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．
在这三个结论中正确的是 ( )．
A．①③ B．① C．②③ D．③
解析 点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；
tan θ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为
圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立．
答案 D
2．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标的是 ( )．
A. B.
C. D.
答案 A
3．点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴所
成的角为，所以点P的一个极坐标为，排除A、B选项，－＋
2π＝，所以极坐标所表示的点在第二象限．
答案 D
4．极坐标ρ＝cos表示的曲线是 ( )．
A．双曲线 B．椭圆 C．抛物线 D．圆
解析 常见的是将方程化为直角坐标方程，可以判断曲线形状，由于ρ不恒
等于0，方程两边同乘ρ，
得ρ2＝ρcos＝ρ＝ρ(cos θ＋sin θ)，
即ρ＝(cos θ＋sin θ)，ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ.
在以极点为原点，以极轴为x轴正半轴的直角坐标系中，
ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，
因此有x2＋y2＝(x＋y)，故方程ρ＝cos表示圆．
答案 D
5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为 ( )．
A．ρsin θ＝2 B．ρcos θ＝2
C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4
解析 如图所示，⊙C的极坐标方程为ρ＝4sin θ，
CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，l和圆相切，l交极
轴于B(2，0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点，
则有cos θ＝＝，得ρcos θ＝2.
答案 B
6．圆ρ＝(cos θ＋sin θ)的圆心坐标是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 可化为直角坐标方程＋＝1或化为ρ＝
2cos，这是ρ＝2rcos(θ－θ0)形式的圆的方程．
答案 A
7．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝的图形是 ( )．
解析 ρ＝cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcos θ
化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0表示圆，ρcos θ＝表示过点与极轴
垂直的直线．
答案 B
8．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为 ( )．
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
解析 ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x＝1，
即x2＋y2＝0或x＝1.
答案 C
9．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为 ( )．
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
解析 ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，
即ρ2＝4ρsin θ，则θ＝kπ＋或x2＋y2＝4y.
答案 C
10．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于 ( )．
A．直线θ＝对称 B．直线θ＝对称
C．点中心对称 D．极点中心对称
解析 化ρ＝4sin可得ρ＝4cos，
表示以为圆心的圆，故曲线ρ＝4sin关于直线θ＝π对称．
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中的横线上)
11．极坐标方程分别为ρ＝cos θ与ρ＝sin θ的两个圆的圆心距为________．
解析 两圆的圆心分别为和，∴圆心距为.
答案
12．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ(ρ≥0，0≤θ<)，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．
解析 由(ρ≥0，0≤θ<)，
解得，即两曲线的交点为.
答案
13．在极轴上与点的距离为5的点的坐标是________．
解析 设所求点的坐标为(ρ，0)，则
＝5.
即ρ2－8ρ＋7＝0，解得ρ＝1或ρ＝7.∴所求点的坐标为(1，0)或(7，0)．
答案 (1，0)或(7，0)
14．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
解析 ∵ρ＝2sin θ，∴x2＋y2＝2y.
∵ρcos θ＝－1，∴x＝－1，∴两曲线交点的直角坐标为(－1，1)，
∴交点的极坐标为.
答案
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．在同一平面直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足图象变换的伸缩变换．
解 设变换为代入第二个方程，
得2λx－μy＝4与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4，比较系数得λ＝1，μ
＝4.
∴伸缩变换公式为
即直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得
到直线2x′－y′＝4.
16．在直角坐标系中，已知三点P(2，2)，Q(4，－4)，R(6，0)．
(1)将P、Q、R三点的直角坐标化为极坐标；
(2)求△PQR的面积．
解 (1)P，Q，R(6，0)．
(2)S△PQR＝S△POR＋S△OQR－S△POQ
＝×4×6×sin ＋×4×6×sin －×4×4sin
＝14－4.
17．根据曲线的极坐标方程判定曲线类型．
(1)ρsincos＝1；
(2)ρ2(25－16cos2θ)＝225.
解 (1)∵ρsincos＝1，
∴2ρsincos＝2，即ρsin θ＝2，
∴y＝2，为平行于x轴的直线．
(2)将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入
ρ2(25－16cos2θ)＝225得
25x2＋25y2－16x2＝225，
∴9x2＋25y2＝225，
∴＋＝1，为焦点在x轴上的椭圆．
18.设极点O到直线l的距离为d，由点O向直线l作垂线，由极轴到垂线OA的角度为α(如图所示)．求直线l的极坐标方程．
解 在直线l上任取一点M(ρ，θ)．在直角三角形
OMA中，由三角知识得
ρcos(α－θ)＝d，即ρ＝.
这就是直线l的极坐标方程．
19．(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程．
解 (1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点
O，∠COM＝θ－1，作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|
＝2cos(θ－1)，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1)．
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：
ρ＝2cos，即ρ＝－2sin(1－θ)，
∴ρ＝2sin(θ－1)为所求．(共16张PPT)
1、负极径的定义
说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）
对于点M（ ， ）负极径时的规定：
[1]作射线OP，使 XOP=
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使 OM =
O
X
P
M
O
X
P
= /4
M
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点
M（－3， /4）的位置
[1]作射线OP，使 XOP= /4
[2]在OP的反向延长线上取一点M，使 OM = 3
负极径小结：极径变为负，极角增加 。
练习：写出点 的负极径的极坐标
（6， ）
答：（－6， +π）
或（－6，－ +π）
特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为 ≥ 0 。因为负极径只在极少数情况用。
§1.3.2直线的极坐标方程
新课引入：
思考：在平面直角坐标系中
1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为
x=3
x=3
2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______
x=a
特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。
答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点Ｐ的坐标 与 之间的关系，然后列出方程 ( , )=0 ，再化简并讨论。
怎样求曲线的极坐标方程？
例题1：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。
o
M
x
﹚
分析：
如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其
极径可以取任意的非负数。故所求
直线的极坐标方程为
新课讲授
1、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。
易得
思考：
2、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
为了弥补这个不足，可以考虑允许通径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为
或
例题2、求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。
解：如图，设点
为直线L上除点A外的任意一点，连接OM
o
x
﹚
A
M
在 中有
即
可以验证，点A的坐标也满足上式。
求直线的极坐标方程步骤
1、根据题意画出草图；
2、设点 是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于 的方 程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求。
练习：设点A的极坐标为A ,直线 过点 A 且与极轴所成的角为 , 求 的极坐标方程。
解：如图，设点
为直线 上异于A的点
连接OM，
﹚
o
M
x
A
在 中有
即
显然A点也满足上方程。
例题3设点P的极坐标为 ，直线 过点P且与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。
o
x
M
P
﹚
﹚
解：如图，设点
点P外的任意一点，连接OM
为直线上除
则 由点P的极坐标知
设直线L与极轴交于点A。则
在
由正弦定理得
显然点P的坐标也是它的解。
小结：直线的几种极坐标方程
1、过极点
2、过某个定点，且垂直于极轴
3、过某个定点，且与极轴成一定
的角度第三课时 极坐标与直角坐标的互化
一、教学目的：
知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式
能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解
教学难点：互化关系式的掌握
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;
情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便
问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？
问题2：平面内的一个点的直角坐标是，这个点如何用极坐标表示？
学生回顾
理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义
正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解
（二）、讲解新课：
直角坐标系的原点O为极点，轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点P的指教坐标与极坐标分别为和，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
{ {
说明1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式
2、通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取≥0，≤≤。
3、互化公式的三个前提条件
（1）. 极点与直角坐标系的原点重合;
（2）. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
（3）. 两种坐标系的单位长度相同.
（三）、举例应用：
例1、【课本P10页例2题】
把下列点的极坐标化成直角坐标：（1）A(2,) (2)B(4, )
(3)M(-5, ) (4)N(-3,- ). 学生练习，教师准对问题讲评。
变式训练：在极坐标系中,已知求A,B两点的距离
反思归纳：极坐标与直角坐标的互化的方法。
例2、【课本P11页例3】若以极点为原点,极轴为轴正半轴,建立直角坐标系.
(1) 已知A的极坐标求它的直角坐标,
(2) 已知点B和点C的直角坐标为
求它们的极坐标.＞0,0≤＜2)
学生练习，教师准对问题讲评。
变式训练：把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定＞0,0≤＜)
反思归纳：极坐标与直角坐标的互化的方法。
例3、如图是某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来。（A为教学楼、B为体育馆、C为图书馆、D为实验楼、E为办公楼。AB=60m、AE=50m、分析：以A点为极点，AB所在的直线为极轴，建立极坐标系，问题易于解决。
学生练习，教师引导学生反思。
变式训练
在极坐标系中,已知三点
.判断三点是否在一条直线上.
（四）、小 结：本节课学习了以下内容：
1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；
2．互换的公式；
3．互换的基本方法。
（五）、课后作业：课本P12页1、2 P25页A组中3
五、教学反思：第四课时 直线和圆的极坐标方程
一、教学目的：
知识目标：掌握极坐标方程的意义
能力目标：能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法
教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解
三、教学模式：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
问题情境
1、直角坐标系建立可以描述点的位置；极坐标也有同样作用？
2、直角坐标系的建立可以求曲线的方程； 极坐标系的建立是否可以求曲线方程？
学生回顾
1、直角坐标系和极坐标系中怎样描述点的位置？
2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义
3、求曲线方程的步骤
（二）、讲解新课：
1、引例：以极点O为圆心5为半径的圆上任意一点极径为5，反过来，极径为5的点都在这个圆上。
因此，以极点为圆心，5为半径的圆可以用方程来表示。
2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
3、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程的点在曲线上，那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线。
4、求直线和圆的极坐标方程
例1、【课本P13页例5】求经过点且与极轴垂直的直线的极坐标方程。
教师分析：设动点的极坐标抓住几何图形特征建立关系式。
学生练习。
变式训练：已知点的极坐标为，那么过点且垂直于极轴的直线极坐标方程。
答案：
例2、【课本P13页例6】求经过点A(2,0)、倾斜角为的直线的极坐标方程。
分析：设动点的极坐标，在三角形OAM中利用正弦定理可解。学生练习。
反思归纳：以上题目均为求直线的极坐标方程，方法是设动点的极坐标，抓住几何图形特征建立与的关系式。
例3、【课本P14页例8】求圆心在（a,0）(a>0)、半径为a的圆的极坐标方程
学生练习，准对问题讲评。
变式训练：求圆心在且过极点的圆的极坐标方程。
（三）、巩固与练习：课本P14页练习中2、3
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．如何求直线和圆的极坐标方程 。2．极坐标系中曲线与方程的关系和直角坐标系中曲线与方程的关系是一致的。3、掌握求直线和圆的极坐标方程的方法和步骤。
（五）、作业：课本P18页A组 4、11 B组中1
六、教学反思：一 平面直角坐标系
课题：1、平面直角坐标系
教学目的：
知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法
能力与与方法：体会坐标系的作用
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会直角坐标系的作用
教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题
授课类型：新授课
教学模式：启发、诱导发现教学.
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位置机器运动的轨迹。
情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。
问题1：如何刻画一个几何图形的位置？
问题2：如何创建坐标系？
二、学生活动
学生回顾
刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系
1、数轴 它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定
2、平面直角坐标系
在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定
3、空间直角坐标系
在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定
三、讲解新课：
1、 建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：
任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置
2、 确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标
四、数学运用
例1 选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点。
*变式训练
如何通过它们到点O的距离以及它们相对于点O的方位来刻画,即用”距离和方向”确定点的位置？
例2 已知B村位于A村的正西方1公里处,原计划经过B村沿着北偏东60的方向设一条地下管线m.但在A村的西北方向400米出,发现一古代文物遗址W.根据初步勘探的结果,文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问:埋设地下管线m的计划需要修改吗
*变式训练
1．一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸的时间比在B处晚2s,已知A、B两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程
2．在面积为1的中，，建立适当的坐标系，求以M，N为焦点并过点P的椭圆方程
例3 已知Q（a,b）,分别按下列条件求出P 的坐标
（1）P是点Q 关于点M（m,n）的对称点
（2）P是点Q 关于直线l:x-y+4=0的对称点（Q不在直线1上）
*变式训练
用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
思考
通过平面变换可以把曲线变为中心在原点的单位圆，请求出该复合变换？
四、巩固与练习
五、小 结：本节课学习了以下内容：1．如何建立直角坐标系；
2．建标法的基本步骤；
3．什么时候需要建标。
五、课后作业：课本P14页 1，2，3，4
六、课后反思：
建标法，学生学习有印象，但没有主动建标的意识，说明学生数学学习缺乏系统性，需要加强训练。
课题：2、平面直角坐标系中的伸缩变换
教学目标：
知识与技能：平面直角坐标系中的坐标变换
过程与方法：体会坐标变换的作用
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识
教学重点：理解平面直角坐标系中的坐标变换、伸缩变换
教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题
授课类型：新授课
教学措施与方法：启发、诱导发现教学.
教学过程：
一、阅读教材P4—P8
问题探究1：怎样由正弦曲线得到曲线？
思考：“保持纵坐标不变横坐标缩为原来的一半”的实质是什么？
问题探究2：怎样由正弦曲线得到曲线？
思考：“保持横坐标不变纵坐标缩为原来的3倍”的实质是什么？
问题探究3：怎样由正弦曲线得到曲线？
二、新课讲解：
定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换
注 （1）
（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；
（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。
例1、在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
（1）2x+3y=0; (2)
例2、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线，求曲线C的方程并画出图象。
三、知识应用：
1、已知（的图象可以看作把的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的倍（纵坐标不变）而得到的，则为（ ）
A． B .2 C.3 D.
2、在同一直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线则曲线C的方程为（ ）
A． B.C． D.
3、在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。
（1）
（2）。
四、知识归纳：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换
的作用下，点P(x,y)对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
五、作业布置：
1、抛物线经过伸缩变换后得到
2、把圆变成椭圆的伸缩变换为
3、在同一坐标系中将直线变成直线的伸缩变换为
4、把曲线的图象经过伸缩变换得到的图象所对应的方程为
5、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为，则曲线C的方程
六、反思：柱坐标系与球坐标系简介
本课提要：本节课的重点是了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并掌握柱坐标、球坐标与直角坐标的互化.
一、课前小测 温故而知新
1．如何确定一个圆柱侧面上的点的位置？
2．如何确定一个球面上的点的位置？
二、典型例题重点、难点都在这里
【问题1】：（1）点A的柱坐标是，则它的直角坐标是 ；
（2）点B的直角坐标是，则它的柱坐标是 .
3．点P的柱坐标是，则它的直角坐标是 .
4．点Q的直角坐标是，则它的柱坐标是 .
【问题2】：（1）点A的球坐标是，则它的直角坐标是 ；
（2）点B的直角坐标是，则它的球坐标是 .
【问题3】：建立适当的球坐标系，表示棱长为2的正方体的顶点.
三、 懂了，不等于会了
5．将下列各点的柱坐标化为直角坐标：.
6．将下列各点的球坐标化为直角坐标：.
7．将下列各点的直角坐标化为球坐标：.
8．建立适当的柱坐标系与球坐标系，表示棱长为3的正四面体的四个顶点.
四、 试试你的身手呀
9．设M的球坐标为，则它的柱坐标为 .
10．在球坐标系中， 与两点间的距离是 .
11．球坐标满足方程的点所构成的图形是什么？并将此方程化为直角坐标方程.
技能训练
变式训练
第2页第八课时 球坐标系与柱坐标系
一、教学目的：
知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法
能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系。
教学难点：利用它们进行简单的数学应用。
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？
学生回顾
在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理
（二）、讲解新课：
1、球坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，连接OP，记| OP |=，OP与OZ轴正向所夹的角为，P在oxy平面的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为，点P的位置可以用有序数组表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)
有序数组叫做点P的球坐标，其中≥0，0≤≤，0≤＜2。
空间点P的直角坐标与球坐标之间的变换关系为：
2、柱坐标系
设P是空间任意一点，在oxy平面的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在
平面oxy上的极坐标，点P的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z∈R
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：
3、数学应用
例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.
变式训练：建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.
例2.将点M的球坐标化为直角坐标.
变式训练
1.将点M的直角坐标化为球坐标.
2.将点M 的柱坐标化为直角坐标.
3.在直角坐标系中点＞0)的球坐标是什么
例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么 并将此方程化为直角坐标方程.
变式训练
极坐标满足方程=2的点所构成的图形是什么
例4.已知点M的柱坐标为点N的球坐标为求线段MN的长度.
思考:在球坐标系中,集合表示的图形的体积为多少
（三）、巩固练习：课本P22页练习3
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则； 2．柱坐标系的作用与规则。3、球坐标、柱坐标、直角坐标的互化公式的理解与运用。
(五)、作业：课本P22页1、2、3
五、教学反思：
PAGE
4(共30张PPT)
【课标要求】
1．了解柱坐标系、球坐标系的意义．
2．掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式．
3．能够根据空间坐标的转化解决某些问题．
【核心扫描】
柱坐标和球坐标以及空间直角坐标的互化．(重点)
第四节 柱坐标系与球坐标系简介（选学）
(1)定义：建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)来表
示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可用有序数组________________
自学导引
(ρ，θ，z) (z∈R)
1．柱坐标系
表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之
间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱
坐标系，有序数组____________叫做点P的柱坐标，记作
_____________，其中_____________________________ ．
(ρ，θ，z)
P(ρ，θ，z)
ρ≥0，0≤θ<2π，－∞(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的
变换公式为______________
想一想 柱坐标满足方程ρ＝2的点所构成的图形是什么？
提示 在平面极坐标系中，ρ＝2表示以极点为圆心，2为半径的圆．因此，在柱坐标系中，设Oz轴所在的直线为l，则方程ρ＝2表示以l为轴，且垂直于轴的截面是半径为2的圆的柱面．
2．球坐标系
(1)定义：建立空间直角坐标系
O xyz，设P是空间任意一点，连接
OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所
夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射
影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到
OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序
数组___________表示．
这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应
关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空
间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作
_____________，其中___________________________．
(r，φ，θ)
P(r，φ，θ)
r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π
1．空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和
竖坐标三度来确定的，即(x，y，z)．
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标
系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z)．
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点的
连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的
正方向所成的角φ，以及点到原点的距离r组成的，即
(r，φ，θ)．
注意球坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方
向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
名师点睛
2．柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空
间直角坐标系中的一部分建立起来的．
空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，
(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在
空间直角坐标系中的竖坐标．
【思维导图】
题型一 将点的柱坐标化为直角坐标
将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：
【例1】
根据下列点的柱坐标，分别求其直角坐标：
【变式1】
将下列各点的球坐标分别化为直角坐标：
题型二 将点的球坐标化为直角坐标
【例2】
【反思感悟】 根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.
化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式
根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：
【变式2】
已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标．
题型三 将点的直角坐标化为柱坐标球坐标
【例3】
[思维启迪] 解答本题根据空间直角坐标系、柱坐标系以及球坐标系的意义和联系计算即可．
在由三角函数值求角时，要结合图形确定角的范围再求值，若不是特殊角，可以设定角，然后明确其余弦值或正切值，并标注角的范围即可．
若本例中条件不变，点C的柱坐标与球坐标如何分别表示？点D呢？
【变式3】
方法技巧——求球坐标系中两点间距离的策略
【示例】
[思维启迪] 先将点的球坐标转化为直角坐标，再利用两点距离公式求解．
【反思感悟】 球坐标系又称空间极坐标系，可用空间任意一点P到O的距离r以及两个角θ，φ来刻画点P的位置．
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[P17思考]
1．给定一个底面半径为r，高为h的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标描述圆柱侧面以及底面上点的位置．
答 以圆柱的下底面中心为极点，圆柱的两底面中心连线所在直线为z轴建立柱坐标系，则圆柱侧面上的点坐标都满足ρ＝r (0≤z≤h)，下底面上所有点坐标都满足z＝0(0≤ρ≤r)，上底面上所有点坐标都满足z＝h(0≤ρ≤r)．
2．举例说明柱坐标系在日常生活中的应用．
答 在圆形体育场内，确定看台上某个座位的位置；确定长方体上各点的位置等也可以使用柱坐标系．
[P18思考]
在研究空间图形的几何特征时，我们应该怎样选择坐标系呢？
答 在直角坐标中，我们需要三个长度x，y，z，而在柱坐标与球坐标中，我们需要长度，还需要角度．它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要ρ，θ，z或者r，φ，θ.
在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题．
当图形中有互相垂直且相交于一点的三条直线时，可以利用这三条直线直接建系．
有些图形虽然没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是图形中有一定的对称关系(如：正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥等)，我们可以利用图形的对称性建立空间坐标系来解题．
有些图形没有互相垂直且相交于一点的三条直线，但是有两个互相垂直的平面，我们可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且相交于一点的三条直线，建立空间坐标系．
[P18思考]
1．请利用球坐标系说明人们如何确定地面上一点的位
置．
2．举例说明球坐标系在日常生活中的应用．
答 1.在地面上的一点M，M点到球心的距离为ρ，M点所在经度为θ，设纬度为x，则φ＝90°－x，由此可得M的球坐标．
2．利用球坐标系可研究如航天器的位置，地球上点的位置等一些位于一个球面上的点，比较方便．
