第二讲 参数方程
第一节 曲线的参数方程
第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程
一、选择题
1．当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点 ( )．
A．(2，3) B．(1，5) C. D．(2，0)
解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.
∴过点(2，0)．
答案 D
2．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为 ( )．
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2 (2≤x≤3) D．y＝x＋2 (0≤y≤1)
解析 将参数方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3]，故选C.
答案 C
3．曲线的参数方程是(t是参数，t≠0)，它的普通方程是 ( )．
A．(x－1)2(y－1)＝1 B．y＝
C．y＝－1 D．y＝
解析 由x＝1－，得＝1－x，由y＝1－t2，得t2＝1－y.
∴(1－x)2·(1－y)＝·t2＝1.整理得y＝.
答案 B
4．直线l的参数方程为，(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离为 ( )．
A．|t1| B．2|t1| C.|t1| D.|t1|
解析 点P1对应的点的坐标为(a＋t1，b＋t1)，
∴|PP1|＝＝eq \r(2t)＝|t1|.
答案 C
二、填空题
5．曲线经过点，则a＝________．
解析 点代入曲线方程得cos θ＝，a＝2sin θ＝±2 ＝±.
答案 ±
6．物体从高处以初速度v0(m/s)沿水平方向抛出，以抛出点为原点，水平直线为x轴，物体所经路线的参数方程为________．
解析 设物体抛出的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，
由于物体作平抛运动，
依题意，得
这就是物体所经路线的参数方程．
答案 (t为参数)
7．把圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0化为参数方程为________．
解析 圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的标准方程是(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
圆心为(－1，2)，半径为2，
故参数方程为(θ为参数)．
答案 (θ为参数)
8．将参数方程化成普通方程为__________．
解析 应用三角变形消去θ，同时注意到|x|≤.
答案 x2＝1＋2y (|x|≤)
三、解答题
9．已知曲线C：如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围．
解 ∵，
∴x2＋(y＋1)2＝1.
圆与直线有公共点，d＝≤1，
解得1－≤a≤1＋.
10．(圆的参数的应用)已知圆的极坐标方程为ρ2－4ρ·cos＋6＝0.
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
解 (1)由ρ2－4ρcos＋6＝0，得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，
即x2＋y2－4x－4y＋6＝0为所求，
由圆的标准方程(x－2)2＋(y－2)2＝2，
令x－2＝cos α，y－2＝sin α，
得圆的参数方程为(α为参数)．
(2)由上述可知
x＋y＝4＋(cos α＋sin α)＝4＋2sin，
故x＋y的最大值为6，最小值为2.
11．求圆x2＋y2＝9上一点P与定点(1，0)之间距离的最小值．
解 设P(3cos θ，3sin θ)，则P到定点(1，0)的距离为
d(θ)＝
＝
＝ .
当sin＝1时，d(θ)取最小值.本讲质量评估(二)
(时间：90分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 ( )．
解析 将参数方程进行消参，则有t＝，把t＝，代入y＝中，得当
x>0时，x2＋y2＝1，此时y≥0；当x<0时，x2＋y2＝1，此时y≤0.对照选项，
可知D正确．
答案 D
2．直线 (t为参数)上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( )．
A．(－4，5) B．(－3，4)
C．(－3，4)或(－1，2) D．(－4，5)或(0，1)
解析 可以把直线的参数方程转化成标准式，或者直接根据直线参数方程的
非标准式中参数的几何意义可得 ·|t|＝，
可得t＝±，将t代入原方程，得或所以所求点的坐标
为(－3，4)或(－1，2)．
答案 C
3．在方程 (θ为参数)所表示的曲线上的一点的坐标为 ( )．
A．(2，－7) B.
C. D．(1，0)
解析 把参数方程化为普通方程时注意范围的等价性，普通方程是y＝1－2x2
(－1≤x≤1)，再根据选择项逐个代入进行检验即可．
答案 C
4．若P(2，－1)为圆(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为 ( )．
A．x－y－3＝0 B．x＋2y＝5
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
解析 ∵由消去θ得，(x－1)2＋y2＝25
∴圆心C(1，0)，∴kCP＝－1，∴弦所在的直线的斜率为1
∴弦所在的直线方程为y－(－1)＝1·(x－2)
即x－y－3＝0.
答案 A
5．下列参数方程(t为参数)与普通方程x2－y＝0表示同一曲线的方程是( )．
A. B.
C. D.
解析 注意参数范围，可利用排除法．普通方程x2－y＝0中的x∈R，y≥0.A
中x＝|t|≥0，B中x＝cos t∈[－1，1]，故排除A和B.而C中y＝＝cot2t
＝＝，即x2y＝1，故排除C.
答案 D
6．直线3x－4y－9＝0与圆 (θ为参数)的位置关系是 ( )．
A．相切 B．相离
C．直线过圆心 D．相交但直线不过圆心
解析 把圆的参数方程化为普通方程，得x2＋y2＝4，得到半径为2，圆心为
(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线
和圆的位置关系．
答案 D
7．参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 ( )．
A．一条射线 B．两条射线 C．一条直线 D．两条直线
解析 根据参数中y是常数可知，方程表示的是平行于x轴的直线，再利用
不等式知识求出x的范围可得x≤－2或x≥2，可知方程表示的图形是两条射
线．
答案 B
8．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r与圆(φ是参数)的位置关系是 ( )．
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析 根据已知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d
＝＝r，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切．
答案 B
9．过点(0，2)且与直线(t为参数)互相垂直的直线方程为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 直线化为普通方程为y＝x＋1－2，其斜率k1＝，
设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－，故参数方程为(t
为参数)．
答案 B
10．若圆的方程为(θ为参数)，直线的方程为(t为参数)，则直线与圆的位置关系是 ( )．
A．相交过圆心 B．相交但不过圆心
C．相切 D．相离
解析 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，
直线的方程为3x－y＋2＝0，
圆心坐标为(－1，3)，
易验证圆心不在直线3x－y＋2＝0上．
而圆心到直线的距离d＝＝<2，
∴直线与圆相交．
答案 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
11．圆的参数方程为(0≤θ<2π)，若圆上一点P对应参数θ＝π，则P点的坐标是________．
解析 当θ＝π时，
x＝2＋4cosπ＝0，
y＝－＋4sinπ＝－3，
∴点P的坐标是(0，－3)．
答案 (0，－3)
12．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：，则C上各点到l的距离的最小值为________．
解析 圆方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4，
∴d＝＝2，
∴距离最小值为2－2.
答案 2－2
13．已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________．
解析 由4x2＋y2＝4，得x2＋＝1.
令(φ为参数)，
则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.
∵0≤sin2φ≤1，∴1≤1＋3sin2φ≤4，
∴1≤|OP|≤2.
答案 [1，2]
14．点(－3，0)到直线(t为参数)的距离为________．
解析 ∵直线的普通方程为x－2y＝0，
∴点(－3，0)到直线的距离为d＝＝1.
答案 1
三、解答题(本大题共5小题，每小题10分，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．已知x，y满足(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求S＝3x－y的最值．
解 由(x－1)2＋(y＋2)2＝4可知曲线表示以(1，－2)为圆心，半径等于2的
圆．令x＝1＋2cos θ，y＝－2＋2sin θ，则S＝3x－y＝3(1＋2cos θ)－(－2
＋2sin θ)＝5＋6cos θ－2sin θ＝5＋2sin(θ＋φ)(其中tan φ＝－3)，
所以，当sin(θ＋φ)＝1时，S有最大值5＋2；
当sin(θ＋φ)＝－1时，S有最小值为5－2.
所以S的最大值Smax＝5＋2；
S的最小值Smin＝5－2.
16.如图所示，连结原点O和抛物线y＝2x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹．
解 因为抛物线标准方程为x2＝y，
所以它的参数方程为 (t为参数)，
得M.设P(x，y)，则M是OP的中点，
所以即 (t为参数)，
消去参数t，得y＝x2.
所以，点P的轨迹方程为y＝x2，它是以y轴为对称轴，焦点为的抛物
线．
17．已知点A为椭圆＋＝1上任意一点，点B为圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，求|AB|的最大值和最小值．
解 化椭圆普通方程为参数方程 (θ为参数)，圆心坐标为C(1，
0)，再根据平面内两点之间的距离公式可得
|AC|＝＝
＝ ，
所以，当cos θ＝时，|AC|取最小值为；
当cos θ＝－1时，|AC|取最大值为6.
所以，当cos θ＝时，|AB|取最小值为－1；
当cos θ＝－1时，|AB|取最大值为6＋1＝7.
18．设直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，圆C的参数方程为(θ为参数)．
(1)若直线l经过圆C的圆心，求直线l的斜率．
(2)若直线l与圆C交于两个不同的点，求直线l的斜率的取值范围．
解 (1)由已知得直线l经过的定点是P(3，4)，而圆C的圆心是C(1，－1)，
所以，当直线l经过圆C的圆心时，直线l的斜率为k＝.
(2)由圆C的参数方程得圆C的圆心是C(1，－1)，半径为2，
由直线l的参数方程为(t为参数，α为倾斜角)，
得直线l的普通方程为y－4＝k(x－3)，
即kx－y＋4－3k＝0，
当直线l与圆C交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，
即<2，由此解得k>.
直线l的斜率的取值范围为.
19．已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.
写出C′1，C′2的参数方程．C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数
是否相同？说明你的理由．
解 (1)C1是圆，C2是直线．
C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0.
因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点．
(2)压缩后的参数方程分别为C′1：
(θ为参数)，C′2：(t为参数)，
化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，
联立消元得2x2＋2x＋1＝0，
其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的
个数相同．第二课时 圆的参数方程及应用
一、教学目标：
知识与技能：分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。利用圆的几何性质求最值（数形结合）
过程与方法：能选取适当的参数，求圆的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：能选取适当的参数，求圆的参数方程
教学难点：选择圆的参数方程求最值问题.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、圆的参数方程探求
1、根据图形求出圆的参数方程，教师准对问题讲评。
这就是圆心在原点、半径为r的圆的参数方程。
说明：（1）参数θ的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。
3、若如图取
结论：参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。
4，反思归纳：求参数方程的方法步骤。
（二）、应用举例
例1、已知两条曲线的参数方程
（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。学生练习，教师准对问题讲评。
（三）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）
例2、1、已知点P（x，y）是圆上动点，求（1）的最值，
（2）x+y的最值，
（3）P到直线x+y- 1=0的距离d的最值。
解：圆即，用参数方程表示为
由于点P在圆上，所以可设P（3+cosθ，2+sinθ），
（1）
(其中tan =) ∴的最大值为14+2 ，最小值为14- 2 。
(2) x+y= 3+cosθ+ 2+sinθ=5+ sin（ θ + ）∴ x+y的最大值为5+ ，最小值为5 - 。
显然当sin（ θ+ ）= 1时，d取最大值，最小值，分别为， .
2、 过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；
3、若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为 。
（三）、课堂练习：学生练习：1、2
（四）、小结：1、本课我们分析圆的几何性质，选择适当的参数求出圆的参数方程。2、参数取的不同，可以得到圆的不同形式的参数方程。从中体会参数的意义。3、利用参数方程求最值。要求大家掌握方法和步骤。
（五）、作业：
1、方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（D）
A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线
2、已知，则的最大值是6。
8．曲线的一个参数方程为
五、教学反思：
x
y
O
r
M
M0
x
(3)(共34张PPT)
第2讲 参数方程
如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题
单击此处进入 活页限时训练
01》考基自主导学
必考必记:教学相长
02
KAOXIANGTANJIUDAOXI
》考向探究导析
研析考向案例突破
03:
KAOTIZHUANXIANGTUPO
》考题专项突破
考题展示氵名师解读
)
04
HUOYEXIANSHIXUNLIAN
》活页限时训练
教学备选氵阶梯训练(共15张PPT)
3、 参数方程
和普通方程的互化
y
x
o
(1,1)
x
o
y
步骤：
1、消掉参数(代入消元，三角公式法，配方法)
2、写出定义域（x的范围）
参数方程化为普通方程的步骤
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y前后的取值范围保持一致。
注意：
小节
1、将参数方程化为普通方程的方法
2、将普通方程化为参数方程的方法
注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致。
作业：27页5题(时间：40分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共40分)
1．(2011·深圳模拟)直线(t为参数)上与点A(－2,3)的距离等于的点的坐标是________．
解析 由题意知(－t)2＋(t)2＝()2，所以t2＝，t＝±，代入(t为参数)，得所求点的坐标为(－3,4)或(－1,2)．
答案 (－3,4)或(－1,2)
2．(2011·东莞模拟)若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________.
解析 曲线C化为普通方程为(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径r＝1.由已知l与圆相切，则r＝＝1 k＝±.
答案 ±
3．(2011·广东高考全真模拟卷一)直线3x＋4y－7＝0截曲线(α为参数)的弦长为________．
解析 曲线可化为x2＋(y－1)2＝1，圆心到直线的距离d＝＝，则弦长l＝2＝.
答案
4．(2011·揭阳模拟)已知直线l1：(t为参数)，l2：(s为参数)，若l1∥l2，则k＝________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析 将l1、l2的方程化为直角坐标方程得l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0，由l1∥l2，得＝≠ k＝4，由l1⊥l2，得2k＋2＝0 k＝－1.
答案 4 －1
5．(2011·湛江调研)参数方程(θ为参数)表示的图形上的点到直线y＝x的最短距离为________．
解析 参数方程化为普通方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝9，圆心坐标为(3，－3)，半径r＝3，则圆心到直线y＝x的距离d＝＝3，则圆上点到直线y＝x的最短距离为d－r＝3－3＝3(－1)．
答案 3(－1)
6．(2011·陕西)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析 消掉参数θ，得到关于x、y的一般方程C1：(x－3)2＋y2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C2表示的是以原点为圆心的单位圆，|AB|的最小值为3－1－1＝1.
答案 1
7．已知在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与曲线C：(θ是参数)有两个不同的交点P和Q，则k的取值范围为________．
解析 曲线C的参数方程：(θ是参数)化为普通方程：＋y2＝1，故曲线C是一个椭圆．由题意，利用点斜式可得直线l的方程为y＝kx＋，将其代入椭圆的方程得＋(kx＋)2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0，因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，所以Δ＝8k2－4×＝4k2－2＞0，解得k＜－或k＞.即k的取值范围为 ∪.
答案 ∪
8．如果曲线C：(θ为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是________．
解析 将曲线的参数方程转化为普通方程，即(x－a)2＋(y－a)2＝4，由题意可知，以原点为圆心，以2为半径的圆与圆C总相交，根据两圆相交的充要条件，得0＜＜4，
∴0＜a2＜8，解得0＜a＜2或－2＜a＜0.
答案 (－2，0)∪(0,2)
二、解答题(共20分)
9．(10分)(2010·辽宁)已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
解 (1)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)M点的直角坐标为，A(1,0)．
故直线AM的参数方程为(t为参数)．
10．(10分)(2010·新课标全国)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)．
(1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标；
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解 (1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，
C2的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程组
解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，.
(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0.
A点坐标为(sin2 α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P点轨迹的参数方程为
(α为参数)，
P点轨迹的普通方程为2＋y2＝.
故P点轨迹是圆心为，半径为的圆．(共11张PPT)
在过去的学习中我们已经掌握了一些求曲线方程的方法，在求某些曲线方程时，直接确定曲线上的点的坐标x,y的关系并不容易，但如果利用某个参数作为联系它们的桥梁，那么就可以方便地得出坐标x,y所要适合的条件，即参数可以帮助我们得出曲线的方程f(x,y)＝0。
参数方程
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m的高处以100m/s的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？
x
y
o
A
M(x,y)
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。
三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y）之间有一一对应关系。
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
并且对于t的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程(2)就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
x
y
o
( )
C
A、一个定点 B、一个椭圆
C、一条抛物线 D、一条直线
( )
D第三节 直线的参数方程
一、选择题
1．若直线的参数方程为 (t为参数)，则直线的斜率为 ( )．
A. B．－ C. D．－
解析 k＝＝－＝－.
答案 D
2．直线 (t为参数)被圆(x－3)2＋(y＋1)2＝25所截得的弦长为( )．
A．7 B．40
C. D.
解析 ，
把直线代入(x－3)2＋(y＋1)2＝25，
得(－5＋t)2＋(2－t)2＝25，t2－7t＋2＝0.|t1－t2|＝＝，
弦长为|t1－t2|＝.
答案 C
3．直线 (t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为 ( )．
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
解析 ＋＝16，
得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，＝4，
中点为 .
答案 D
4．过点(0，2)且与直线(t为参数)互相垂直的直线方程为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 直线化为普通方程为y＝x＋1－2，其斜率k1＝，
设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－，故参数方程为
(t为参数)．
答案 B
二、填空题
5．已知直线l1： (t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，又点A(1，2)，则|AB|＝________．
解析 将代入2x－4y＝5，得t＝，则B，而A(1，2)，得
|AB|＝.
答案
6．直线 (t为参数)被圆x2＋y2＝4截得的弦长为________．
解析 直线为x＋y－1＝0，圆心到直线的距离d＝＝，弦长d＝
2＝.
答案
7．经过点P(1，0)，斜率为的直线和抛物线y2＝x交于A、B两点，若线段AB中点为M，则M的坐标为____________．
解析 直线的参数方程为 (t是参数)，代入抛物线方程得
9t2－20t－25＝0.
∴中点M的相应参数为t＝×＝.
∴点M的坐标是.
答案
8．设直线的参数方程为 (t为参数)，
点P在直线上，且与点M0(－4，0)的距离为，若该直线的参数方程改写成
(t为参数)，则在这个方程中点P对应的t值为________．
解析 由|PM0|＝知，t＝±，代入第一个参数方程，得点P的坐标分别为
(－3，1)或(－5，－1)，再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t＝1或t
＝－1.
答案 ±1
三、解答题
9．已知椭圆的参数方程(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线(t为参数)的最短距离．
解 由题意，得P(3cos θ，2sin θ)，直线：2x＋3y－10＝0.
d＝＝，
而6sin－10∈[－6－10，6－10]．
∴∈.
∴dmin＝.
10．已知直线的参数方程为 (t为参数)，它与曲线(y－2)2－x2＝1交于A、B两点．
(1)求|AB|的长；
(2)求点P(－1，2)到线段AB中点C的距离．
解 (1)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得7t2＋6t－2＝0.
设A、B对应的参数分别为t1、t2，
则t1＋t2＝－，t1t2＝－.
所以，线段|AB|的长为
|t1－t2|＝5＝.
(2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为＝－.
所以，由t的几何意义可得点P(－1，2)到线段AB中点C的距离为
·＝.
11．(直线参数方程意义的考查)已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝.
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆C：(θ为参数)相交于点A、B，求点P到A、B两
点的距离之积．
解 (1)直线l的参数方程为
即.
(2)圆C： 的普通方程为x2＋y2＝4.
把直线 代入x2＋y2＝4，
得＋＝4，
t2＋(＋1)t－2＝0，t1t2＝－2.
则点P到A、B两点的距离之积为2.(共35张PPT)
【课标要求】
1．掌握直线的参数方程．
2．能够利用直线的参数方程解决有关问题．
【核心扫描】
1．对直线的参数方程的考查．(重点)
2．直线的参数方程中参数t的几何意义．(难点)
第三节 直线的参数方程
1．直线的参数方程
自学导引
正数
负数
零
名师点睛
【思维导图】
题型一 直线参数方程的标准形式
【例1】
[思维启迪] 解答本题关键是理解直线的参数方程的意义．
【变式1】
已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A、B两点．
(1)求|AB|；(2)求AB的中点M的坐标及|FM|.
[思维启迪] 利用直线参数方程中参数的几何意义解题．
题型二 直线的参数方程与弦长公式
【例2】
(1)写出直线l的参数方程；
(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
【变式2】
[思维启迪] 利用直线的参数方程中参数的几何意义，将最值问题转化为三角函数的值域，利用三角函数的有界性解决．
题型三 直线参数方程的综合应用
【例3】
【反思感悟】 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．
【变式3】
解析 直线l1：kx＋2y＝k＋4，直线l2：2x＋y＝1，
∵l1与l2垂直，∴2k＋2＝0，∴k＝－1.
答案 －1
高考在线——直线参数的应用技巧
【例1】
点击1 直线参数方程与普通方程的互化
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程．
【例2】
点击2 参数方程与极坐标方程的综合问题
【例3】
点击3 直线参数方程的应用
【例4】
单击此处进入 知能提升演练
(1)曲线的弦M1M2的长是多少？
(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？
(3)你还能提出和解决哪些问题？
[P38思考]
在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250 km，并以10 km/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？
[P39思考]
如果把例4中的椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？
答 把椭圆改成双曲线，结论仍然成立．
[课后习题解答]
习题2.3 (第39页)
2．解 设过点P(2，0)的直线AB的倾斜角为α，(共5张PPT)
二、圆锥曲线的参数方程
2、双曲线的参数方程
b
a
o
x
y
)
M
B
A
双曲线的参数方程
双曲线的参数方程
y
b
a
o
x
)
M
B
A
⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式
相比较而得到，所以双曲线的参数方程
的实质是三角代换.
说明：
⑴ 这里参数 叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同.
例2、
O
B
M
A
x
y
解：第四课时 圆锥曲线参数方程的应用
一、教学目标：
知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题
过程与方法：选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。
教学难点：正确使用参数式来求解最值问题
三、教学模式：讲练结合，探析归纳
四、教学过程：
（一）、复习引入：
通过参数简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
（二）、讲解新课：
例1、双曲线 的两焦点坐标是 。
答案：（0，-4），（0，4）。学生练习。
例2、方程（t为参数）的图形是 双曲线右支 。
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：判断曲线形状的方法。
例3、设P是椭圆在第一象限部分的弧AB上的一点，求使四边形OAPB的面积最大的点P的坐标。
分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求的最大值或者求点P到AB的最大距离，或者求四边形OAPB的最大值。
学生练习，教师准对问题讲评。【=时四边形OAPB的最大值=6，此时点P为（3，2）。】
（三）、巩固训练
1、直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（A）
A．或 B．或 C．或 D．或
2、椭圆 （）与轴正向交于点A，若这个椭圆上存在点P，使OP⊥AP，（O为原点），求离心率的范围。
3、抛物线的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。
4、设P为等轴双曲线上的一点，，为两个焦点，证明
5、求直线与圆的交点坐标。
解：把直线的参数方程代入圆的方程，得(1+t)2+(1-t)2=4,得t=±1,分别代入直线方程,得交点为（0，2）和（2，0）。
（三）、小结：本节课我们利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题，选择适当的参数方程正确使用参数式来求解最值问题，要求理解和掌握求解方法。
（四）、作业：
练习：在抛物线的顶点，引两互相垂直的两条弦OA，OB，求顶点O在AB上射影H的轨迹方程。
五、教学反思：第二节 圆锥曲线的参数方程
一、选择题
1．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为 ( )．
A. B．－ C. D．－
解析 参数方程中消去t，得3x＋2y－7＝0.所以k＝－.
答案 D
2．下列在曲线(θ为参数)上的点是 ( )．
A. B.
C．(2，) D．(1，)
解析 转化为普通方程：y2＝1＋x (|y|≤)，把选项A、B、C、D代入验证
得，选B.
答案 B
3．若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线 (t为参数)上，则|PF|等于
( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
解析 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距
离，即为4.
答案 C
4．双曲线C：(φ为参数)的一个焦点为 ( )．
A．(3，0) B．(4，0)
C．(5，0) D．(0，5)
解析 由得于是－＝sec2φ－tan2φ＝1，
即双曲线方程为－＝1，
焦点为F1，2(±5，0)．故选C.
答案 C
二、填空题
5．曲线与x轴交点的坐标是______________．
解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x＋2)2＝9(y＋1)，令y＝0，得x＝1
或x＝－5.
答案 (1，0)，(－5，0)
6．点P(1，0)到曲线(其中参数t∈R)上的点的最短距离为________．
解析 点P(1，0)到曲线上的点的距离设为d，
则d＝＝
＝＝t2＋1≥1.
所以点P到曲线上的点的距离的最小值为1.
答案 1
7．二次曲线 (θ是参数)的左焦点的坐标是________．
解析 题中二次曲线的普通方程为＋＝1左焦点为(－4，0)．
答案 (－4，0)
8．已知曲线 (t为参数，p为正常数)上的两点M，N对应的参数分别为t1和t2，且t1＋t2＝0，那么|MN|＝________．
解析 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴，即x轴，
|MN|＝2p|t1－t2|＝2p|2t1|＝4p|t1|.
答案 4p|t1|
三、解答题
9．在椭圆＋＝1上找一点，使这一点到直线x－2y－12＝0的距离的最小值．
解 设椭圆的参数方程为
d＝＝|cos θ－sin θ－3|
＝
当cos＝1时，dmin＝，此时所求点为(2，－3)．
10．已知点P(x，y)是圆x2＋y2＝2y上的动点，
(1)求2x＋y的取值范围；
(2)若x＋y＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解 (1)设圆的参数方程为
2x＋y＝2cos θ＋sin θ＋1＝sin(θ＋φ)＋1
∴－＋1≤2x＋y≤＋1.
(2)x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0.
∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1＝－sin－1，
∴a≥－1.
11．(椭圆参数方程的应用)设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1 (a>b>0)的左、右焦点．
(1)若椭圆C上的点A到F1、F2距离之和等于4，写出椭圆C的方程和
焦点坐标；
(2)设P是(1)中椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解 (1)由椭圆上点A到F1、F2的距离之和是4，
得2a＝4，即a＝2.
又点A在椭圆上，
因此＋＝1，得b2＝3，
于是c2＝a2－b2＝1，所以椭圆C的方程为＋＝1，
焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)．
(2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ，sin θ)，
线段F1P的中点坐标为(x，y)，
则x＝，y＝，
所以x＋＝cos θ，＝sin θ.
消去θ，得＋＝1，这就是线段F1P的中点的轨迹方程．(共22张PPT)
直线的参数方程
请同学们回忆:
我们学过的直线的普通方程都有哪些
两点式:
点斜式:
一般式:
求这条直线的方程.
解:
要注意:
, 都是常数,t才是参数
求这条直线的方程.
M0(x0,y0)
M(x,y)
x
O
y
解:
在直线上任取一点M(x,y),则
思考
|t|=|M0M|
x
y
O
M0
M
解:
所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.
这就是t的几何意义,要牢记
分析:
3.点M是否在直线上
1.用普通方程去解还是用参数方程去解;
2.分别如何解.
例1
A
B
M(-1,2)
x
y
O
例1
A
B
M(-1,2)
x
y
O
解:
因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上.
易知直线的倾斜角为
把它代入抛物线y=x2的方程,得
A
B
M(-1,2)
x
y
O
探究
练习
小结:
1.直线参数方程
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,简化求直线上两点间的距离.
3.注意向量工具的使用.
探究:直线的参数方程形式是不是唯一的
|t|=|M0M|
5.动点M作匀速直线运动,它在x轴和y轴方向的分速度分别是3m/s和4m/s,直角坐标系的长度单位是1cm,点M的起始位置在点M0(2,1)处,求点M的轨迹的参数方程.
分析:
此时,若t>0,则
的方向向上;
若t<0,则
的点方向向下;
若t=0,则M与点
M0重合.
我们是否可以根据t的值来确定向量
的方向呢
辨析:
例:动点M作等速直线运动,它在x轴和y轴方向分速度分别为9,12,运动开始时,点M位于A(1,1),求点M的轨迹的参数方程.
解:
请思考:此时的t有没有明确的几何意义
没有
重要结论:
直线的参数方程可以写成这样的形式:(共10张PPT)
四 渐开线与摆线
1、渐开线
2、摆线
1、渐开线
1、渐开线的定义
探究：P41
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的
外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
A
B
M
O
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，
相应的定圆叫做渐开线的基圆。
A
B
M
O
x
y
2、渐开线的参数方程
以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面
直角坐标系。
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角 唯一确定。
这就是圆的渐开线的参数方程。
2、渐开线的参数方程
A
B
M
O
x
y
渐开线的应用：
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
因此大多数齿轮采用这种齿形。
设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。
2、摆线
3、摆线的定义
思考：P43
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直
的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
O
A
B
M
摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。
x
y
O
D
A
E
B
M
C
3、摆线的参数方程
O
A
B
M
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定
直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。
设圆的半径为r。
所以，摆线的参数方程为：
x
y
O
D
A
E
B
M
C
3、摆线的参数方程
O
A
B
M
摆线的参数方程为：
思考：P42
在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是多少？第三课时 圆锥曲线的参数方程
一、教学目标：
知识与技能：了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义
过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：圆锥曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
(1)圆参数方程 （为参数）
（2）圆参数方程为： （为参数）
2．写出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程。
3．能模仿圆参数方程的推导，写出圆锥曲线的参数方程吗？
（二）、讲解新课：
1.椭圆的参数方程推导：椭圆参数方程 （为参数）,参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。
2.双曲线的参数方程的推导：双曲线参数方程 （为参数）
参数几何意义为以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与X轴正半轴的夹角。
3.抛物线的参数方程：抛物线参数方程 （t为参数）,t为以抛物线上一点（X,Y）与其顶点连线斜率的倒数。
（1）、关于参数几点说明：
A.参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。
B.同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样
C.在实际问题中要确定参数的取值范围
(2)、参数方程的意义：
参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式，它借助于中间变量把曲线上的动点的两个坐标间接地联系起来，参数方程与变通方程同等地描述，了解曲线，参数方程实际上是一个方程组，其中，分别为曲线上点M的横坐标和纵坐标。
（3）、参数方程求法：（A）建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为；（B）选取适当的参数；（C）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；（D）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程
(4)、关于参数方程中参数的选取：选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。与运动有关的问题选取时间做参数；与旋转的有关问题选取角做参数；或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。
4、椭圆的参数方程常见形式：（1）、椭圆参数方程 （为参数）；椭圆的参数方程是
（2）、以为中心焦点的连线平行于x 轴的椭圆的参数方程是。 （3）在利用研究椭圆问题时，椭圆上的点的坐标可记作（acos,bsin）。
（三）、巩固训练
1、曲线的普通方程为。
2、曲线上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（D）
A． B． C．1 D．
3、已知椭圆 (为参数)求 （1）时对应的点P的坐标
（2）直线OP的倾斜角
（四）、小结：本课要求大家了解圆锥曲线的参数方程及参数的意义，能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程，通过推到椭圆及双曲线的参数方程，体会求曲线的参数方程方法和步骤，对椭圆的参数方程常见形式要理解和掌握。
（五）、作业：
五、教学反思：(共15张PPT)
四 渐开线与摆线
1、渐开线
设开始时绳子外端位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角 的一段弧AB，展开后成为切线BM，所以切线BM的长就是弧AB的长，这就是动点满足的几何条件。我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆。
x
y
o
B
M
A
2、摆线
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么当自行车在笔直的道路上行驶时，白色印记会画出什么样的曲线？
B
D
A
C
M
x
y
o
小节：
1、圆的渐开线，渐开线的参数方程
2、平摆线、摆线的参数方程第七课时 圆的渐开线与摆线
一、教学目标：
知识与技能：了解圆的渐开线的参数方程, 了解摆线的生成过程及它的参数方程.
过程与方法：学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点： 圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
教学难点： 用向量知识推导运动轨迹曲线的方法
三、教学方法：讲练结合，启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：复习：圆的参数方程
（二）、新课探析：
1、以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆渐开线的参数方程为 （为参数）
2、在研究平摆线的参数方程中，取定直线为轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r，可得摆线的参数方程为。
（为参数）
（三）、例题与训练题：
例1 求半径为4的圆的渐开线参数方程
变式训练1 当，时，求圆渐开线 上对应点A、B坐标并求出A、B间的距离。
变式训练2 求圆的渐开线上当对应的点的直角坐标。
例2 求半径为2的圆的摆线的参数方程
变式训练3： 求摆线 与直线的交点的直角坐标
例3、设圆的半径为8，沿轴正向滚动，开始时圆与轴相切于原点O，记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标的最大值，说明该曲线的对称轴。
（四）、小结：本节课学习了以下内容：
1． 观察发现圆的渐开线及圆的摆线的形成过程；
2．探析圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程
3．会运用圆的渐开线的参数方程，摆线的参数方程求解简单问题。
（五）、作业：
五、教学反思：
第 3 页 共 3 页(共13张PPT)
2、圆的参数方程
y
x
o
r
M(x,y)
圆的参数方程的一般形式
由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示 的曲线可以是相同的，另外，在建立曲线的参数参数时，要注明参数及参数的取值范围。
例、已知圆方程x2+y2 +2x-6y+9=0，将它化为参数方程。
解： x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程，
（x+1）2+（y-3）2=1，
∴参数方程为
(θ为参数)
例2 如图，圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。
y
o
x
P
M
Q
y
o
x
P
M
Q
y
o
x
P
M
Q
（2，1）(共12张PPT)
二、圆锥曲线的参数方程
1、椭圆的参数方程
x
y
o
A
M
B
x
y
o
A
M
B第一课时 参数方程的概念
一、教学目标：
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳
四、教学过程
（一）．参数方程的概念
1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为，与地面成角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？
2．分析探究理解：
（1）、斜抛运动：
（2）、抽象概括：参数方程的概念。说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。
（2）参数是联系变量x，y的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。
（3）平抛运动：
（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹
的参数方程消去参数t后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。
（二）、应用举例：
例1、已知曲线C的参数方程是 (t为参数)（1）判断点(0,1), (5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点(6,a)在曲线C上，求a的值。
分析：只要把参数方程中的t消去化成关于x,y的方程问题易于解决。学生练习。
反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y的方程问题求解。
例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为
rad/s,试以时间t为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。
解析：如图，运动开始时质点位于A点处，此时t=0，设动点M（x,y）对应时刻t,由图可知，得参数方程为。
反思归纳：求曲线的参数方程的一般步骤。
（三）、课堂练习：
（四）、小结：1．本节学习的数学知识；2、本节学习的数学方法。学生自我反思、教师引导，抓住重点知识和方法共同小结归纳、进一步深化理解。
（五）、作业：
补充：设飞机以匀速v=150m/s作水平飞行，若在飞行高度h=588m处投弹（设投弹的初速度等于飞机的速度，且不计空气阻力）。（1）求炸弹离开飞机后的轨迹方程；（2）试问飞机在离目标多远（水平距离）处投弹才能命中目标。简解：（1）。（2）1643m。
五、教学反思：
x
y
O
v=v0
x
y
500
O
A
v=100m/s(共19张PPT)
直线的参数方程2
思考
|t|=|M0M|
x
y
O
M0
M
解:
所以,直线参数方程中参数t的绝对值等于直线上动点M到定点M0的距离.
这就是t的几何意义,要牢记
思考：
例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？把“中点”改为“三等分点”，直线l的方程怎样求？
例3.当前台风中心P在某海滨城市O向东300Km处生成,并以40km/h的速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内的地方都属于台风侵袭的范围,那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭
p
M
O
y
x
y
o
M
P
思考：
在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？
如果台风侵袭的半径也发生变化(比如：当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不断增大)，那么问题又该如何解决？
C
B
A
D
p
O
1
2
C
B
A
D
p
O
1
2
探究：
如果把椭圆改为双曲线，是否会有类似的结论？
SONTY 14W(Dujuan
Valid Time: 01/0530Z
roduct of TWC/SATOPS(共24张PPT)
【课标要求】
1．了解参数方程化为普通方程的意义．
2．掌握参数方程化为普通方程的基本方法．
3．能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题．
【核心扫描】
1．对参数方程化为普通方程的考查是热点．
2．本课内容常与方程、三角函数结合起来命题．(难点)
第2课时 参数方程和普通方程的互化
1．参数方程转化为普通方程
曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般
地，可以通过_________而从参数方程得到普通方程．
2．普通方程转化为参数方程
自学导引
消去参数
x＝f(t)
y＝f(t)
取值范围
试一试：将下列参数方程化为普通方程：
1．参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒
等式消参法消去参数方程中的参数即可，通过曲线的
普通方程来判断曲线的类型．
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲
线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问
题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直
线的斜率、截距等作为参数．
名师点睛
2．同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参
数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确
率．求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需
求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然
后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形．
3．参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取
值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因
此我们要注意参数方程与普通方程的等价性．
【思维导图】
题型一 把参数方程化为普通方程
将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线．
【例1】
[思维启迪] 解答本题只要消去参数，建立关于x、y的二元方程即可．
把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．
【变式1】
(2)
x=-4t2 ①
y=t+1 ②
求方程4x2＋y2＝16的参数方程：
(1)设y＝4sin θ，θ为参数；
(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？
[思维启迪] 解答本题(1)可以直接把y＝4sin θ代入已知方程，解方程求出x即可；(2)可以把y＝t，x＝2t代入即可．
解 (1)把y＝4sin θ代入方程，
得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，
∴x＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x＝2cos θ，
因此4x2＋y2＝16的参数方程是
题型二 把普通方程化成参数方程
【例2】
(2)将曲线的普通方程化为参数方程时，选取的参数不同，同一条曲线的参数方程会有不同的形式，有的复杂，有的简单，选取什么参数好，要根据具体的问题而定，参数可以有具体的实际意义，也可没有具体意义．
与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为(t为参数) ( )．
【变式2】
解析 A化为普通方程为
x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1]．
B化为普通方程为
x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1]．
C化为普通方程为
x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1]．
D化为普通方程为
x2＋y－1＝0，x∈R，y∈(－∞，1]．
答案 D
(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
题型三 参数方程的综合性问题
【例3】
[思维启迪] ①将参数方程化为普通方程，解方程组求交点．②由C1的普通方程求出点A的坐标，利用中点坐标公式求出P的坐标可得参数方程，再化为普通方程可知曲线类型．
【反思感悟】 考查参数方程与普通方程的互化能力，考查利用参数表示动点轨迹方程的运算能力．
【变式3】
答案 (－1，1)，(1，1)
答案 x2＋(y－1)2＝1
高考在线——参数方程与普通方程互化的应用
【例1】
点击1 参数方程与普通方程的互化
【例2】
【例3】
点击2 参数方程的应用
答案 B
单击此处进入 知能提升演练(共38张PPT)
【课标要求】
1．了解双曲线、抛物线的参数方程．
2．掌握椭圆的参数方程及其应用．
3．能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题．
【核心扫描】
1．对椭圆的参数方程的应用考查．(重点)
2．本节内容常与函数、方程、三角结合起来命题．
第二节 圆锥曲线的参数方程
1．椭圆的参数方程
自学导引
acos φ
bsin φ
2.双曲线的参数方程
asec φ
btan φ
3．抛物线的参数方程
试一试：将下列曲线的参数方程化为普通方程，并指明曲线的类型．
名师点睛
5．利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲
线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最
小值问题、轨迹问题等．
【思维导图】
题型一 椭圆参数方程的应用
【例1】
[思维启迪] 由已知求出A、B坐标，再设出C
点坐标(6cos θ，3sin θ)，再用A、B、C的坐标表示出G点的参数方程，消参后得普通方程．
【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性．运用参数方程显得很简单，运算更简便．
【变式1】
[思维启迪] 先用双曲线参数方程表示点A、B、P的坐标，再证kPA·kPB＝定值．
题型二 双曲线参数方程的应用
【例2】
【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程．一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果．
解 由sec2φ－tan2φ＝1得双曲线的普通方程为x2－y2＝1，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得双曲线的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝1，即ρ2cos 2θ＝1.
答案 ρ2cos 2θ＝1
【变式2】
设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程．
[思维启迪] 解答本题只要解两条直线方程组成的方程组得到交点的参数方程，然后化为普通方程即可．
题型三 利用参数法求轨迹方程
【例3】
设飞机以匀速v＝150 m/s做水平飞行，若在飞行高度h＝588 m处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度)．
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；
(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标．
【变式3】
解 (1)如图所示，A为投弹点，坐标为(0，588)，B为目标，坐标为(x0，0)．记炸弹飞行的时间为t，在A点t＝0.设M(x，y)为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t，炸弹初速度v0＝150 m/s，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得
高考在线——圆锥曲线参数方程的应用
【例1】
点击1 考查椭圆参数方程的应用
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
【例2】
单击此处进入 知能提升演练
[P28探究]
椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示．在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在
直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周就画出一个椭圆．你能说明它的构造原理吗？(提示：可以用直尺AB和横槽所成的角为参数，求出点M的轨迹的参数方程．)
[P33思考]
怎样根据抛物线的定义选取参数，建立抛物线x2＝2py(p>0)的参数方程？
答 根据抛物线的定义得出抛物线的参数方程的过程如下：
[P34探究]
如右图所示，O是直角坐标原点，A，B是抛物线y2＝2px (p>0)上异于顶点的两动点，且OA⊥OB，点A、B在什么位置时，△AOB的面积最小？最小值是多少？
[课后习题解答]
习题2.2 (第34页)
5．解 直线OA的方程为y＝kx，(共13张PPT)
二、圆锥曲线的参数方程
2、抛物线的参数方程
x
y
o
M(x,y)
x
y
o
B
A
M
小节：
1、抛物线的参数方程的形式
2、抛物线参数的意义(共16张PPT)
知识网络
本 讲 归 纳 整 合
1．直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直
线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)．其中k＝tan α.α为
直线的倾斜角，代入上式得，
要点归纳
2．圆的参数方程
3．椭圆的参数方程
题型一 参数方程化为普通方程
参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x、y的另一种曲线方程的形式，它体现了x、y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数．有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围．
在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线．
【例1】
答案 (1)(x－1)2＋y2＝4 (2)x2－y＝2(y≥2)
题型二 圆的参数方程及其应用
(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
(2)若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．
【例2】
2．直线的参数方程有不同的形式，可以允许参数t没有明显的几何意义，在直线与圆锥曲线的问题中，利用参数方程有时可以简化计算．
题型三 直线的参数方程的应用
(1)P、M两点间的距离|PM|；
(2)线段AB的长|AB|.
【例3】
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．
题型四 圆锥曲线的参数方程及其应用
设P是椭圆4x2＋9y2＝36上的一个动点，求x＋2y的最大值和最小值．
【例4】
单击此处进入 高考真题
高考真题第五课时 直线的参数方程
一、教学目标：
知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义
过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法
教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程
（一）、复习引入：
1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆参数方程 （为参数）
（2）圆参数方程为： （为参数）
2．写出椭圆参数方程.
3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参数方程
（二）、讲解新课：
1、问题的提出：一条直线L的倾斜角是，并且经过点P（2，3），如何描述直线L上任意点的位置呢？
如果已知直线L经过两个
定点Q（1，1），P（4，3），
那么又如何描述直线L上任意点的
位置呢？
2、教师引导学生推导直线的参数方程：
（1）过定点倾斜角为的直线的
参数方程
（为参数）
【辨析直线的参数方程】：设M(x,y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是指从点P到点M的位移，可以用有向线段数量来表示。带符号.
（2）、经过两个定点Q，P(其中)的直线的参数方程为
。其中点M(X,Y)为直线上的任意一点。这里参数的几何意义与参数方程（1）中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段的数量比。当时，M为内分点；当且时，M为外分点；当时，点M与Q重合。
（三）、直线的参数方程应用，强化理解。
1、例题：
学生练习，教师准对问题讲评。反思归纳：1、求直线参数方程的方法；2、利用直线参数方程求交点。
2、巩固导练：
补充：1、直线与圆相切，那么直线的倾斜角为（A）
A．或 B．或 C．或 D．或
2、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则 ．
解：直线化为普通方程是，
该直线的斜率为，
直线（为参数）化为普通方程是，
该直线的斜率为，
则由两直线垂直的充要条件，得， 。
（四）、小结：（1）直线参数方程求法；（2）直线参数方程的特点；（3）根据已知条件和图形的几何性质，注意参数的意义。
（五）、作业：
补充： (2009天津理)设直线的参数方程为（t为参数），直线的方程为y=3x+4则与的距离为_______ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离，基础题。
解析：由题直线的普通方程为，故它与与的距离为。
五、教学反思：
Y L
M
P Q
A
O B C X
Y
L
P
M N
Q A B
O X第2课时 参数方程和普通方程的互化
一、选择题
1．已知曲线的参数方程为(θ为参数)，则曲线的普通方程为
( )．
A．y2＝1＋x B．y2＝1－x
C．y2＝1－x(－≤y≤) D．以上都不对
答案 C
2．曲线(θ为参数)的方程等价于 ( )．
A．x＝ B．y＝
C．y＝± D．x2＋y2＝1
答案 A
3．参数方程(t为参数)化为普通方程为 ( )．
A．x2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1去掉(0，1)点
C．x2＋y2＝1去掉(1，0)点
D．x2＋y2＝1去掉(－1，0)点
解析 x2＋y2＝＋＝1，
又∵x＝＝－1＋≠－1，故选D.
答案 D
4．直线l：(t为参数)与圆(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为 ( )．
A.或 B.或
C.或 D．－或－
答案 A
二、填空题
5．参数方程(α为参数)表示的普通方程是________．
答案 y2－x2＝1(|x|≤，y>0)
6．令x＝，t为参数，则曲线4x2＋y2＝4(0≤x≤1，0≤y≤2)的参数方程为________．
答案 (t为参数)
7．将参数方程(θ为参数)转化为直角坐标方程是________，该曲线上的点与定点A(－1，－1)的距离的最小值为________．
解析 易得直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点
A的距离减去半径，易求得为－1.
答案 (x－1)2＋y2＝1 －1
8．(2009·天津高考)设直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的方程为y＝3x＋4，则l1与l2的距离为________．
解析 由题意得直线l1的普通方程为3x－y－2＝0，故它与l2的距离为＝
.
答案
三、解答题
9．设y＝tx(t为参数)，求圆x2＋y2－4y＝0的参数方程．
解 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0，得
(1＋t2)x2－4tx＝0，
解得x＝，∴y＝tx＝，
∴(t为参数)，这就是圆的参数方程．
10．两曲线的参数方程为 (θ为参数)和(t为参数)，求它们的交点坐标．
解 将两曲线的参数方程化为普通方程，
得＋＝1，y＝x (x≤0)．
联立解得它们的交点坐标为.
11．(普通方程与参数方程的互化、伸缩变换)(2008·海南·宁夏高考)已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：(t为参数)．
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程．C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由．
解 (1)C1是圆，C2是直线．
C1的普通方程为x2＋y2＝1，圆心C1(0，0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0.
因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点．
(2)压缩后的参数方程分别为C′1：
(θ为参数)，C′2：(t为参数)，
化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，
联立消元得2x2＋2x＋1＝0，
其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同．第二讲 参数方程
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·江西高考)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．
[命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化．
解析 由得，cos θ＝，sin θ＝，ρ2＝x2＋y2，代入ρ＝2sin
θ＋4cos θ得，ρ＝＋ ρ2＝2y＋4x x2＋y2－4x－2y＝0.
答案 x2＋y2－4x－2y＝0
2．(2011·广东高考)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．
[命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程
转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围．
解析 由(0≤θ<π)，得＋y2＝1(y≥0，
x≠－)，由(t∈R)，得x＝y2，联立方程可得则5y4
＋16y2－16＝0，解得y2＝或y2＝－4(舍去)，则x＝y2＝1，又y≥0，所以
其交点坐标为.
答案
3．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线
(t为参数)平行的直线的普通方程为________．
[命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问
题的能力．
解析 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝
4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x－2y＋2＝
0.故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
答案 x－2y－4＝0
4．(2011·湖南高考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．
[命题意图]本题考查圆的参数方程、直线的极坐标方程，直线与圆的位置关
系等基础知识，考查运算能力，考查等价转化的思想方法，考查方程思想．
解析 曲线C1的普通方程是x2＋(y－1)2＝1，曲线C2的直角坐标方程是x－y
＋1＝0，由于直线x－y＋1＝0经过圆x2＋(y－1)2＝1的圆心，故两曲线的交
点个数是2.
答案 2
5．(2011·陕西)直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
[命题意图]本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程
互化的相关知识．
解析 消掉参数θ，得到C1的普通方程(x－3)2＋(y－4)2＝1，表示以(3，4)为
圆心，以1为半径的圆；C2的直角坐标方程为x2＋y2＝1表示的是单位圆，|AB|
的最小值为－1－1＝3.
答案 3
6．(2011·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数)．
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极
点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l
的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
[命题意图]本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、椭圆的参数方程等基
础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．
解 (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得P(0，4)．
因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l
上．
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点
Q到直线l的距离为
d＝＝
＝cos＋2.
由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
7．(2011·辽宁)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
[命题意图]本题主要考查了参数方程与普通方程的互化问题，极坐标方程与
极坐标方程的互化．
(1)分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝－时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α＝－时，l与
C1，C2的交点分别为A2B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解 (1)C1是圆，C2是椭圆．当α＝0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分
别为(1，0)，(a，0)，因为这两点间的距离为2，所以a＝3.
当α＝时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为(0，1)，(0，b)，因为这
两点重合，所以b＝1.
(2)C1，C2的普通方程分别为x2＋y2＝1和＋y2＝1.
当α＝时，射线l与C1交点A1的横坐标为x＝，与C2交点B1的横坐标
为x′＝.
当α＝－时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对
称，因此四边形A1A2B2B1为梯形，故四边形A1A2B2B1的面积为
＝.(共33张PPT)
【综合评价】
参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于学生进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力．
【学习目标】
1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写
出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义．
2．分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参
数写出它们的参数方程．
3．举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示
更方便，感受参数方程的优越性．
【学习计划】
内容 学习重点 建议学习时间
曲线的参数方程 参数方程概念，圆的参数方程和普通方程的互化 3课时
圆锥曲线的参数方程 椭圆、双曲线的参数方程及应用 3课时
直线的参数方程 直线参数方程的应用 2课时
【课标要求】
1．理解曲线参数方程的有关概念．
2．掌握圆的参数方程．
3．能够根据圆的参数方程解决最值问题．
第1课时 参数方程的概念与圆的参数方程
第一节 曲线的参数方程
【核心扫描】
1．对圆的参数方程的考查是热点．
2．根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方
程．(难点)
1．参数方程的概念
自学导引
参数方程
参数
普通方程
参变数
2．圆的参数方程
逆时针
(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程
a＋rcos θ
b＋rsin θ
1．曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、
纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标
变量x、y间的间接联系．在具体问题中的参数可能有
相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意
义．曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定
一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，
反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的
相应的允许取值．
名师点睛
2．求曲线参数方程的主要步骤
第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点
的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，
以利于发现变量之间的关系．
第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两
点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较
明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一
确定．
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物
理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明
可以省略．
3．圆的参数方程中参数的理解
【思维导图】
题型一 参数方程的概念
(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程．
[思维启迪] 本题主要应根据曲线与方程之间的关系，可知点M(5，4)在该曲线上，则点M的坐标应适合曲线C的方程，从而可求得其中的待定系数，进而消去参数得到其普通方程．
【例1】
【反思感悟】 将曲线的参数方程化为普通方程主要是消去参数，简称为“消参”．消参的常用方法是代入消元法和利用三角恒等式消参法两种．
【变式1】
圆的直径AB上有两点C、D，且|AB|＝10，|AC|＝|BD|＝4，P为圆上一点，求|PC|＋|PD|的最大值．
[思维启迪] 本题应考虑数形结合的方法，因此需要先建立平面直角坐标系．将P点坐标用圆的参数方程的形式表示出来，θ为参数，那么|PC|＋|PD|就可以用只含有θ的式子来表示，再利用三角函数等相关知识计算出最大值．
题型二 圆的参数方程及其应用
【例2】
解 以AB所在直线为x轴，以线段AB的中点为原点建立平面直角坐标系．
已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值．
【变式2】
某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝
2 000 m，水平飞行速度为v1＝100 m/s，如图所示．
题型三 参数方程的实际应用
【例3】
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度；
(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10 m/s2)
[思维启迪] 解答本题可以建立直角坐标系，设出炸弹对应的点的坐标的参数方程，然后利用运动学知识求解．
令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20(s)，
所以飞机投弹t s后炸弹的水平位移为100t m，离地面的高度为(2 000－5t2)m，其中，0≤t≤20.
(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系．水平方向s相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1 600(m)．
【反思感悟】 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解．由于水平抛出的炸弹作平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间．
如果本例条件不变，求：
(1)炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度各是多少米？
(2)如果飞机迎击一辆速度为v2＝20 m/s相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？
【变式3】
高考在线——圆的参数方程的应用
【例1】
点击1 考查圆的参数方程的应用
答案 (－1，1)，(1，1)
【例2】
【例3】
答案 (－∞，0)∪(10，＋∞)
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[P24思考]
这里定点Q在圆O外，你能判断这个轨迹表示什么曲线吗？如果定点Q在圆O上，轨迹是什么？如果定点Q在圆O内，轨迹又是什么？
[P26思考]
为什么例4(2)中的两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？
答 涉及到了转化的等价性问题，第(1)小题中，由y2＝4sin2 φ得到y＝±2sin φ，但是由于φ的任意性(即φ∈R)，无论2sin φ还是－2sin φ都可以取到区间[－2，2]内的任何值，因此简化形式为y＝2sin φ.
[课后习题解答]
习题2.1 (第26页)
4．解 (1)2x－y－7＝0，它表示直线．
(2)y＝2x2，x∈[－1，1]，它表示以(－1，2)，(1，2)为
端点的一段抛物线弧．
(3)x2－y2＝4，它表示双曲线．