2021-2022学年河南省漯河市实验中学九年级上学期期中数学试题（word版 含解析）

【题型】
【题干】下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
【选项】A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形.故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误.
故选：B.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合.
【题干】如图，点A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOB＝82°，则∠C的度数为(　　)
【选项】A.82°
B.38°
C.24°
D.41°
【答案】D
【解析】解：，，
，
故选：D.
【点评】本题考查的是圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
【题干】在平面直角坐标系中，把点绕着原点顺时针旋转后得到点，则点的坐标是(　　)
【选项】A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：由题意P，Q关于O中心对称，
∵P(4，3)，
∴Q( 4， 3)，
故选C.
【点评】本题考查中心对称，坐标与图形的变化等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.
【题干】如图，、、是的切线，切点分别为、、，若，，则的长是(　　)
【选项】A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：∵、、是的切线，
∴AP=AC，BP=BD，
∵，，
∴AP=3，
∴BD=BP=AB AP=2.
故选：B
【点评】本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角是解题的关键.
【题干】如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转n度(0＜n＜180)得到△EDC，若CE∥AB，则n的值为(　　)
【选项】A.65
B.90
C.95
D.125
【答案】C
【解析】解：∵在△ABC中，∠B＝55°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝180° ∠B ∠ACB═180° 55° 30°＝95°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转n角度(0＜n＜180°)得到△CDE，
∴∠BCD＝∠ACE＝n°，
∵CE∥AB，
∴∠BAC=∠ACE=95°，
∴n=95
故选：C.
【点评】本题主要考查平行线的性质及旋转的性质，三角形内角和，关键是根据旋转得到角的关系，然后由平行线的性质即可求解.
【题干】如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应，则的度数为(　　)
【选项】A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】解：连接OC、OD，如图，
∵一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，
∵，，是等边三角形，
∴，
∴是等腰三角形；
∵是等边三角形的外角，，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，圆的性质，等腰三角形性质，根据直角三角形斜边中线求角度是解题关键.
【题干】如图，在Rt中，，点在斜边上，如果绕点旋转后与重合，连接，那么的度数是(　　)
【选项】A.80°
B.70°
C.60°
D.50°
【答案】B
【解析】解：中，，
.
经过旋转后与重合，
，，
，
故选：B.
【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的两个锐角互余以及等腰三角形的性质，准确识图是解题的关键.
【题干】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米.若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是(　　)
【选项】A.1米
B.米
C.2米
D.米
【答案】B
【解析】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点，
连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3，
在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，
∴OD===，
∴CD=OC OD=4 ，
即点到弦所在直线的距离是(4 )米，
故选：B.
【点评】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键.
【题干】如图，在中，顶点，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，是的中线，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(　　)
【选项】A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：∵AC=CB，C(2，3)，
∴A(0，6)，B(4，0)，
∴OA=6，
第1次点A的坐标为( 3，3)，
第2次点A的坐标为( 6，0)，
第3次点A的坐标为( 3， 3)，
第4次点A的坐标为(0， 6)，
第5次点A的坐标为(3， 3)，
第6次点A的坐标为(6，0)，
第7次点A的坐标为(3，3)，
第8次点A的坐标为(0，6)，
8次应该循环，
∵2021÷8=252 5，
∴第2021次旋转结束时，点A的坐标为(3， 3)，
故选：C.
【点评】本题考查坐标与图形变化 旋转，解直角三角形，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法.
【题干】在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为　　
【选项】A.3
B.2
C.
D.
【答案】D
【解析】
如图，令直线y=x+与x轴交于点C，与y轴交于点D，作OH⊥CD于H，
当x=0时，y=，则D(0，)，
当y=0时，x+=0，解得x= 2，则C( 2，0)，
∴，
∵OH CD=OC OD，
∴OH=.
连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
∴，
当OP的值最小时，PA的值最小，
而OP的最小值为OH的长，
∴PA的最小值为.
故选D.
【点评】本题考查了切线的性质，解题关键是熟记切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.
二、填空题
【题干】若点与点关于原点中心对称，则_______.
【答案】##
【解析】解：由题意得a+1+2a+1=0，2b 3 b 1=0，
解得，
∴=，
故答案为：.
【点评】此题考查中心对称的性质：关于原点成中心对称的两个点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，熟记性质是解题的关键.
【题干】如图所示，三角形ABC中，AC＝6cm，BC＝8cm，AB＝10cm，则它的内切圆半径为___cm.
【答案】2
【解析】解：如图所示：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，
∵62+82=102，即AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，
∵CD=CE，BE=BF，AF=AD，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，
∴四边形ODCE是正方形，即CD=CE=R，
∴AC CD=AB BF，即6 R=10 BF①
BC CE=AB AF，即8 R=BF②，
①②联立得，R=2.
故答案为：2.
【点评】此题考查了直角三角形内切圆半径，切线长定理的运用，解题的关键是作出半径构造出正方形找到半径和三角形边长的关系.
【题干】如图，是的弦，是上的点，且，于点，交于点.若的半径为，则弦的长为________.
【答案】
【解析】解：如图，连接，
则，
，
，
，
，
，
故答案为：.
【点评】本题主要考查圆周角定理、垂径定理，解题的关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
【题干】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为________.
【答案】16
【解析】解：∵在△ABC中，AB=8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B=AB=8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA=30°，
过点A1作于点D
∴
∴×8×4=16，
又∵，
，
∴=16.
故答案为：16.
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等.运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键.
【题干】如图，中，，，，是上一个动点，以为直径的交于，则线段的最小值是________.
【答案】8
【解析】解：如图，连接AE，
∵为的直径
则∠AED=∠BEA=90°，
以AB为直径作⊙Q，则点E在以AB为直径的⊙Q上，
当点Q、E、C三点共线时，QE+CE=CQ(最短)，
而QE长度不变，故此时CE最小，
∵AB=10，
∴QA=QB=QE=5，
∵AC=12，
∴，
∴CE=QC QE=13 5=8，
故答案为：8.
【点评】本题考查了圆周角定理和勾股定理的综合应用，解决本题的关键是确定E点运动的轨迹，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题.
三、解答题
【题干】如图，矩形中，.作于点.若以点为圆心作圆，、、、四点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，求DE的长以及的半径的取值范围.
【答案】；
【解析】解：矩形中，，，
∴，
，
.
在Rt△ADE中，AE＝；
，
若以点为圆心作圆，、、、四点中至少有个点在圆内，且至少有个点在圆外，即点在圆内，点在圆外，
的半径的取值范围为.
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系等内容，解题关键是掌握点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
【题干】如图，是等腰三角形，其中，将绕顶点逆时针旋转到的位置，与相交于点，与，分别相交于点，.
(1)求证：；
(2)当时，判断四边形的形状并说明理由.
【答案】(1)见解析；(2)菱形，见解析
【解析】解：(1)证明：，
，
是由绕顶点逆时针旋转而得，
，，，
在和中，，
；
(2)四边形是菱形，理由如下：
是等腰三角形，，
，
又∵绕顶点逆时针旋转到的位置，
，
，，
，.
即四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形.
【点评】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形、平行线、菱形的判定是解题关键.
【题干】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，.
(1)请画出关于原点O对称的，并写出点的坐标；
(2)若经过平移变换后得到，且点的坐标为，请画出，并写出点的坐标；
(3)若与关于点P成中心对称，请你在图中画出点P.
【答案】(1)图见解析，点；(2)图见解析，点；(3)见解析
【解析】(1)所作的如图所示；点.
(2)所作的如图所示；点.
(3)点P的位置如图所示.
【点评】本题考查了图形的旋转、平移、中心对称、和、解题的关键是：掌握平面中图形的几种变化方式.
【题干】如图，以的直角边为直径的半圆，与斜边交于点，，是边的中点，连接.求证：是圆的切线
【答案】见解析
【解析】证明：连接、，
是半圆的直径，
，
是边的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是圆的切线.
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质及圆切线的判定是解题关键.
【题干】如图，为⊙O的直径，，垂足为点，，垂足为点，.
(1)求的长；
(2)求⊙O的半径.
【答案】(1)；(2).
【解析】为⊙O的直径，，
，
在与中，
；
(2)由(1)得，
⊙O的半径为.
【点评】本题考查垂径定理、全等三角形的判定与性质、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
【题干】如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃边为米，面积为平方米.
(1)求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(2)如果要围成面积为的花圃，求的长度.
(3)如果要使围成的花圃面积最大，求最大面积是多少.
【答案】(1)；(2)米；(3)当花圃的长为10米，宽为米，这时有最大面积平方米.
【解析】解：(1)由题可知，花圃的边为米，则为米
这时面积.
又
解得：
(2)把代入函数解析式得：
，即
解得，
不合题意，舍去
即花圃的宽为5米.
(3)
，图象的开口向下，且，
当时，有最大值
此时，
所以当花圃的长为10米，宽为米，这时有最大面积平方米.
【点评】本题考查了一元二次方程，二次函数的应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键.注意题中自变量的取值范围是解本题的难点.
【题干】如图，内接于.是直径，过点作直线，且是的切线.
(1)求证：；
(2)设是弧的中点，连接交于点，过点作于点，交于点.
①求证：.
②若，，试求的长.
【答案】(1)见解析；(2)①见解析；②1
【解析】解：(1)证明：是直径，
，
；
是的切线；
∴，，
；
(2)①证明：是弧的中点，
，
是直径，
，
∵，
，
，
，
.
②连接、，作，交的延长线于点.
，，，
，
在与中，
，
，
，
是弧的中点，
，
在与中，
，
.
.
，即，
.
【点评】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键.
【题干】如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.
(1)观察猜想：图1中，线段与的数量关系是______，位置关系是_______.
(2)探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由.
【答案】(1)，；(2)等腰直角三角形，见解析
【解析】解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
(2)△PMN是等腰直角三角形.
理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同(1)的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同(1)的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形.
【点评】本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键.