第二章 分解因式小结与复习
考点呈现
一、分解因式的概念
例1 下列各式从左边到右边的变形中，是分解因式的为( )
A.a(x+y)=ax+ay B.x2-4x+4=x(x-4)+4
C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-16+6x=（x+4）（x-4）
分析：要充分理解分解因式的概念和具体要求.选项A属于整式乘法；B只是分解了局部，没有整体化成整式的积的形式；而D左右两边不相等，不属于恒等变形，因而也不属于分解因式.
解：选C.
二、分解因式的方法
例2 分解因式：2(a-3)2-a+3= .
分析：注意到-a+3提出负号后可变成（a-3），所以考虑将负号提出，添括号后提取公因式（a-3）.
解：2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)= (a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).
注意：注意本题在提取公因式(a-3)后要将剩余部分合并.
例3 分解因式：4m2+9(m+n)2+12m(m+n).
分析：可将(m+n)看做一个整体，利用完全平方公式分解.
解：4m2+9(m+n)2+12m(m+n)= (2m)2+2×2m×3(m+n)+ [3(m+n)]2=[2m+3(m+n)]2=
(5m+3n)2.
注意：当所要分解的多项式符合公式的“项数”时，注意灵活进行整体运用.
例4 分解因式：a2(2x-3)+9(3-2x).
分析：先提取(2x-3)，然后用平方差公式分解，注意后一项的符号变化.
解：a2(2x-3)+9(3-2x)=(2x-3)(a2-9)=(2x-3)(a+3)(a-3).
三、分解因式相关的计算
例5 已知x=a+b，y=a-b，用简便方法计算代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2的值.
分析：将代数式(x2+y2)2-(x2-y2)2用平方差公式分解后，每个括号内合并，然后观察与x，y的关系，再将x=a+b，y=a-b代入求解.
解：(x2+y2)2-(x2-y2)2=(x2+y2+x2-y2)(x2+y2-x2+y2)=2x2·2y2= 4x2y2=4(xy)2=4[(a+b)(a-b)]2=
4a4-8a2b2+4b4.
例6 计算.
分析：若直接计算，则分母中的计算量很大，考虑括号内的部分能否用完全平方公式分解.
解：==.
四、分解因式相关的说明
例7 已知a2+b2=1，x2+y2=1.
试说明： (ax+by)2+(bx-ay)2=1.
分析：将所证式子的左边整理成用a2+b2和x2+y2表示，故考虑将左边分解因式.
说明：因为(ax+by)2+(bx-ay)2=a2x2+2abxy+b2y2+b2x2-2abxy+a2y2=a2x2+b2y2+b2x2+a2y2
=(a2+b2)x2+(a2+b2)y2=(a2+b2)(x2+y2).
因为a2+b2=1，x2+y2=1，所以(ax+by)2+(bx-ay)2=1.
注意：此题采用“欲进先退”的策略，即要进行分解因式，先进行整式的乘法，待到式子化简后，再分解因式进行说明.
五、分解因式的实际应用
例8 已知大正方形的周长和小正方形的周长相差88 cm，它们的面积相差836 cm2，求这两个正方形的边长.
分析：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，则根据它们的周长相差88 cm，可得4(x-y)=88.又因为它们的面积相差836 cm2，所以x2-y2=836，根据这两个方程可求出x，y的值，但是两个方程的数值较大，计算复杂，因此可以考虑将x2-y2=836用分解因式法变形，求解.
解：设大正方形的边长为x cm，小正方形的边长为y cm，根据题意得
方程组等价于
将③代入④，得x+y=38⑤.
③和⑤组成方程组得
解得x=30，y=8.
所以大正方形的边长是30 cm，小正方形的边长是8 cm.
误区点拨
误区一 对分解因式的概念理解不透彻
例1 下列从左到右的变形是分解因式的是( )
A. B.
C. D.=
错解：选B、C、D.
错因分析：B中只是将部分写成积的形式，不符合分解因式的概念，C中是整式的乘法，和分解因式正好互为逆运算；D中的a-1实质上是，不是整式，而分解因式是要求把多项式写成整式的积的形式，所以不正确.
正解：选A.
误区二 多项式分解不彻底
例2 分解因式a4-2a2+1.
错解： a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2.
错因分析：括号内的a2-1还可以利用平方差分解，然后利用积的平方写成(a+1)2 (a-1)2.
正解 ：a4-2a2+1=(a2) 2-2a2+1=(a2-1)2=(a+1)2 (a-1)2.
误区三 利用公式出现偏差
例3 分解因式(x+y)2-4xy.
错解 ：(x+y)2-4xy=（x+y+2xy）(x+y-2xy).
错因分析： 4xy不是一个整式的平方的形式，不能直接利用平方差公式分解.
正解： (x+y)2-4xy=x2+y2+2xy-4xy=x2+y2-2xy=(x-y)2.
误区四 提公因式漏项
例4 分解因式 3a2bc3-12abc2+3abc.
错解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c).
错因分析：最后一项提取公因式3abc后，还剩余1单独成一项.
正解：3a2bc3-12abc2+3abc=3abc(ac2-4c+1).
第二章 分解因式
第一课时
●课 题
§2.1 分解因式
●教学目标
（一）教学知识点
使学生了解因式分解的意义，知道它与整式乘法在整式变形过程中的相反关系.
（二）能力训练要求
通过观察，发现分解因式与整式乘法的关系，培养学生的观察能力和语言概括能力.
（三）情感与价值观要求
通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生了解事物间的因果联系.
●教学重点
1.理解因式分解的意义.
2.识别分解因式与整式乘法的关系.
●教学难点
通过观察，归纳分解因式与整式乘法的关系.
●教学方法
观察讨论法
●教具准备
投影片一张
记作（§2.1 A）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］大家会计算（a+b）（a－b）吗？
［生］会.（a+b）（a－b）=a2－b2.
［师］对，这是大家学过的平方差公式，我们是在整式乘法中学习的.从式子（a+b）（a－b）=a2－b2中看，由等号左边可以推出等号右边，那么从等号右边能否推出等号左边呢？即a2－b2=（a+b）（a－b）是否成立呢？
［生］能从等号右边推出等号左边，因为多项式a2－b2与（a+b）（a－b）既然相等，那么两个式子交换一下位置还成立.
［师］很好，a2－b2=（a+b）（a－b）是成立的，那么如何去推导呢？这就是我们即将学习的内容：因式分解的问题.
Ⅱ.讲授新课
1.讨论993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
［生］993－99能被100整除.
因为993－99
=99×992－99
=99×（992－1）
=99×9800
=99×98×100
其中有一个因数为100，所以993－99能被100整除.
［师］993－99还能被哪些正整数整除？
［生］还能被99，98,980,990,9702等整除.
［师］从上面的推导过程看，等号左边是一个数，而等号右边是变成了几个数的积的
形式.
2.议一议
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
［师］大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式.
［生］a3－a=a（a2－1）=a（a－1）（a+1）
3.做一做
（1）计算下列各式：
①（m+4）（m－4）=__________;
②（y－3）2=__________;
③3x（x－1）=__________;
④m（a+b+c）=__________;
⑤a（a+1）（a－1）=__________.
［生］解：①（m+4）（m－4）=m2－16;
②（y－3）2=y2－6y+9;
③3x（x－1）=3x2－3x;
④m（a+b+c）=ma+mb+mc;
⑤a（a+1）（a－1）=a（a2－1）=a3－a.
（2）根据上面的算式填空：
①3x2－3x=（ ）（ ）;
②m2－16=（ ）（ ）;
③ma+mb+mc=（ ）（ ）;
④y2－6y+9=（ ）2.
⑤a3－a=（ ）（ ）.
［生］把等号左右两边的式子调换一下即可.即：
①3x2－3x=3x（x－1）;
②m2－16=（m+4）（m－4）;
③ma+mb+mc=m（a+b+c）;
④y2－6y+9=（y－3）2;
⑤a3－a=a（a2－1）=a（a+1）（a－1）.
［师］能分析一下两个题中的形式变换吗？
［生］在（1）中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在（2）中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是整式乘积的形式.
［师］在（1）中我们知道从左边推右边是整式乘法；在（2）中由多项式推出整式乘积的形式是因式分解.
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式（factorization）.
4.想一想
由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
［生］由a（a+1）（a－1）得到a3－a的变形是整式乘法，由a3－a得到a（a+1）（a－1）的变形是分解因式，这两种过程正好相反.
［生］由（a+b）（a－b）=a2－b2可知，左边是整式乘法，右边是一个多项式；由a2－b2=（a+b）（a－b）来看，左边是一个多项式，右边是整式的乘积形式，所以这两个过程正好相反.
［师］非常棒.下面我们一起来总结一下.
如：m（a+b+c）=ma+mb+mc （1）
ma+mb+mc=m（a+b+c） （2）
联系：等式（1）和（2）是同一个多项式的两种不同表现形式.
区别：等式（1）是把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
等式（2）是把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
即ma+mb+mc m（a+b+c）.
所以，因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
5.例题
投影片（§2.1 A）
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
（1）4a（a+2b）=4a2+8ab;
（2）6ax－3ax2=3ax（2－x）;
（3）a2－4=（a+2）（a－2）;
（4）x2－3x+2=x（x－3）+2.
［生］（1）左边是整式乘积的形式，右边是一个多项式，因此从左到右是整式乘法，而不是因式分解；
（2）左边是一个多项式，右边是几个整式的积的形式，因此从左到右的变形是因式分解；
（3）和（2）相同，是因式分解；
（4）是因式分解.
［师］大家认可吗？
［生］第（4）题不对，因为虽然x2－3x=x（x－3），但是等号右边x（x－3）+2整体来说它还是一个多项式的形式，而不是乘积的形式，所以（4）的变形不是因式分解.
Ⅲ.课堂练习
连一连
解：
Ⅳ.课时小结
本节课学习了因式分解的意义，即把一个多项式化成几个整式的积的形式；还学习了整式乘法与分解因式的关系是相反方向的变形.
Ⅴ.课后作业
习题2.1
1.连一连
解：
2.解：（2）、（3）是分解因式.
3.因19992+1999=1999（1999+1）=1999×2000，所以19992+1999能被1999整除，也能被2000整除.
（2）因为16.9×+15.1×
=×（16.9+15.1）
=×32=4
所以16.9× +15.1×能被4整除.
4.解：当R1=19.2,R2=32.4,R3=35.4,I=2.5时，
IR1+IR2+IR3
=I（R1+R2+R3）
=2.5×（19.2+32.4+35.4）
=2.5×87
=217.5
Ⅵ.活动与探究
已知a=2,b=3,c=5.
求代数式a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）的值.
解：当a=2,b=3,c=5时，
a（a+b－c）+b（a+b－c）+c（c－a－b）
=a（a+b－c）+b（a+b－c）－c（a+b－c）
=（a+b－c）（a+b－c）
=（2+3－5）2=0
●板书设计
§2.1 分解因式
一、1.讨论993－99能被100整除吗？
2.议一议
3.做一做
4.想一想（讨论整式乘法与分解因式的联系与区别）
5.例题讲解
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
课件13张PPT。2.1 分解因式1.整式乘法有几种形式?
(1)单项式乘以单项式
(2)单项式乘以多项式: a(m+n)=am+an
(3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
2.乘法公式有哪些?
(1)平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2
(2)完全平方公式: (a±b)2=a2±2ab+b2复习与回顾复习与回顾 3.试计算:
(1) 3a(a-2b+c)
(2) (a+3)(a-3)
(3) (a+2b)2
(4) (a-3b)2解: (1) 3a(a-2b+c)
=3a2-6ab+3ac
(2) (a+3)(a-3)=a2-9
(3) (a+2b)2=a2+4ab+4b2
(4) (a-3b)2= a2-6ab+9b2做一做计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= _____
(2) m(a+b+c) = _____
(3) (m+4)(m-4)= ____
(4) (x-3)2= _______
(5) a(a+1)(a-1)= ____根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______
(2) ma+mb+mc=______
(3) m2-16=_________
(4) x2-6x+9=________
(5) a3-a=______议一议 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是什么运算?
由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与它有什么不同?答:由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法,由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与上面的变形互为逆过程.993-99能被100整除吗? 你是怎样想的?与同伴交流.小明是这样想的:
993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.你知道每一步的根据吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除?分解因式定义把一个多项式化成几个整式积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式. ● 想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?分解因式与整式乘法是互逆过程练习一判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1).x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2).2x(x-3y)=2x2-6xy
(3).(5a-1)2=25a2-10a+1
(4).x2+4x+4=(x+2)2
(5).(a-3)(a+3)=a2-9
(6).m2-42=(m+4)(m-4)
(7).2 πR+ 2 πr= 2 π(R+r)因式分解整式乘法整式乘法因式分解整式乘法因式分解因式分解练习二把下列各式写成乘积的形式:
(1). 1-x2
(2). 4a2+4a+1
(3). 4x2-8x
(4). 2x2y-6xy2
(5). 1-4x2
(6). x2-14x+49=(1+x)(1-x)=(2a+1)2=4x(x-2)=2xy(x-3y)=(1-2x)(1+2x)=(x-7)2练习三 1. 计算: 7652×17－2352 ×17
解: 7652×17－2352 ×17
=17(7652 －2352)=17(765+235)(765 －235)
=17 ×1000 ×530=90100002. 20042+2004能被2005整除吗? 解: ∵20042+2004=2004(2004+1)
=2004 ×2005
∴ 20042+2004能被2005整除复习小结分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.若a=101,b=99,求a2-b2的值.
若x=-3,求20x2-60x的值.
1993-199能被200整除吗?还能被哪些整数整除?课后练习课后练习若n是整数,证明(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
某工厂需加工一批零件,由甲、乙、丙三位工人共同完成，已知甲工人每天加工23个零件，乙工人每天加工19个零件，丙工人每天加工18个零件，三人需共同做12天才能做完，要加工的零件共有多少？
分式小结与复习
考点呈现
考点1 分式有、无意义及值为0的条件
例1 若分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x＞1 B．x＜1 C． x≠1 D． x≠0
解析：分式有意义，则分母不为0．因此x－1≠0，解得x≠1．故选C．
例2 当x= 时，分式无意义．
解析：当分母为0时，分式无意义．因此x－3=0，解得x=3．故填3．
例3 若分式的值为0，则( )
A．x＝－2 B．x＝ C．x＝ D．x＝2
解析：分式值为0的条件是：分子为0，分母不为0． 因此解得所以x＝2．故选D．
点评：解答分式有意义、无意义、值为0的问题，关键是明确它们各自的条件，能根据条件中的相等、不等关系列方程或不等式，从而求得有关字母的取值或取值范围．
考点2 分式的基本性质
例4 化简：= ．
解析：化简分式的根据是分式的基本性质．观察此题中分式的特点，分子、分母都是多项式，应先分解因式，再约分．原式==，故填．
点评：利用分式的基本性质进行约分、通分，要注意做到分子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式．分式约分的前提条件是分子、分母是积的形式，若是多项式的形式，应先分解因式再约分．
考点3 分式的运算与化简求值
例5 先化简：，并任选一个你喜欢的数a代入求值．
解析：此题应按要求先化简，再求值．注意代入求值时，所选取的a值应使原式及运算过程中的所有分母不为0，以保证所有分式有意义．
原式=．
a的取值不唯一，注意a≠0、a≠1．如当a=2时，原式=．
点评：分式的混合运算，要牢记运算法则和运算顺序，并能灵活应用，分式的运算结果应是最简分式或整式．化简求值题应注意字母取值范围的限制条件．本题中a的取值表面开放，实则蕴含着所有分式的分母不为0的条件，这一点应引起注意．
考点4 分式方程
例6 解方程：．
解析：按照解分式方程的步骤求解即可．
方程两边都乘以，得．
化简，得x＋2＝3．解得x＝1．
检验：当x=1时，=0．所以x＝1是增根，原方程无解．
点评：解分式方程的思路是转化为整式方程，注意求得的整式方程的解不一定是分式方程的解，有可能是增根，因此一定要检验．
考点5 分式方程的增根与无解
例7 关于x的方程，解答下列问题：
（1）当m为何值时会产生增根？
（2）当m为何值时，此方程无解？
分析：（1）由最简公分母为0，得，解得增根为，． 若将增根代入原分式方程，则方程无意义，因此需将分式方程转化为整式方程，再代入增根，这样便得到以m为未知数的方程，解这个方程便求得m的取值．
（2）分式方程无解，包括两种情况，一是解分式方程产生增根而无解；二是将分式方程转化为整式方程，此整式方程无解，则原分式方程也无解．
解：（1）由最简公分母为0，得，解得增根为，．将原方程去分母，得 ，化简，得．
将x=2代入，得 ；将代入，得 m=6．
所以当或m=6时原方程会产生增根．
（2）当或m=6时原方程会产生增根，此时方程无解．
对于方程，当m=1时，此方程无解，则原分式方程也无解．
因此当或m=6或m=1时，原分式方程无解．
点评：已知分式方程有增根，需先将分式方程化为整式方程，再将增根代入求出所求字母的取值．注意增根与无解的区别．
考点6 分式方程的应用
例8 铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11 000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0．5元，购进苹果数量是试销时的2倍．
（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?
（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折（“七折”即定价的70﹪）售完，那么超市在这两次苹果销售中共赢利多少元？
分析：（1）此题中等量关系是：第二次购进苹果的数量=试销时的2倍，又根据“”可列方程求解．（2）根据“赢利=售价－进价”可求解．
解：（1）设试销时这种苹果的进货价是每千克元，依题意，得
．解得 x=5．经检验，x=5是原方程的解．
所以试销时该品种苹果的进货价是每千克5元．
课件16张PPT。2.2 提公因式法（1）? ac+ bc
?3x2 +x
?30mb2 + 5nb
?3x+6
? a2 b – 2ab2 + ab
? 7 ( a– 3 ) – b ( a– 3)下列各多项式有没有共同的因式？c x5b3aba-3复习回顾 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 公因式与多项式的各项有什么关系？怎样确定多项式的公因式？议一议正确找出多项式各项公因式的关键是什么？ 系数：1、公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
字母：2、字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
指数：3、相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.
公因式：4、多项式各项的公因式可以是单项式，也可以是多项式.想一想例: 找 3 x 2 – 6 x 的公因式.系数：最大
公约数.3字母：相同字母
x 所以，公因式是3 x .指数：最低次幂1练一练? 7x2 -21x
?8 a 3 b2 –12ab 3 + ab
? m b2 + n b
?7x 3y2 –42x2y 3
? a2 b – 2a b2 + abc下列各式的公因式分别是什么？ ? 7 ( x – 3 ) – x ( 3 – x )课内练习提公因式法分解因式如果一个多项式的各项含有公因式，
那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例1 把 9x2 –6 xy+3xz分解因式.=3x?3x-3x ? 2y+3xz 解：=3x(3x-2y+z)9x2 –6xy+3xz 分两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式 ，即用多项式除以公因式.例题解析小颖解的有误吗？
把 8a 3b2 –12ab3c +ab分解因式.解：8a3b2 –12ab3c +ab
=ab?8a2 b-ab?12b2c+ab?1
=ab(8a2b- 12b2c)当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误考一考把 -24x3 –12x2 +28x 分解因式.=当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.提公因式法分解因式正确的找出多项式各项的公因式.1、多项式是几项，提公因式后也剩几项.
2、当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1.
3、当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.注意：? 25x-5
? 3 x3 -3x2 –9x
? 8a 2c+ 2b c
? -4a 3b3 +6 a2 b-2ab
? -2x2 –12xy2 +8xy3 把下列各式分解因式：补充练习
想一想：提公因式法分解因式与单项
式乘多项式有什么关系？综合练习：1 分解因式 计算（-2）101+（-2）100
2 利用简便方法计算：
4.3×199.8+0.76×1998-1.9×199.8
3 已知a+b=3,ab=2,求代数式a2b + 2a2b2 +ab2的值.
4 把 9am+1 –21am+7am-1分解因式.1、确定公因式的方法：
公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
相同字母的指数取各项中最小的一个，即最低次幂.课堂小结2、提公因式法分解因式：
两步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式 ，即用多项式除以公因式.49页习题2.2第1题、第2题.课后作业第三课时
●课 题
§2.2.2 提公因式法（二）
●教学目标
（一）教学知识点
进一步让学生掌握用提公因式法分解因式的方法.
（二）能力训练要求
进一步培养学生的观察能力和类比推理能力.
（三）情感与价值观要求
通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点.
●教学重点
能观察出公因式是多项式的情况，并能合理地进行分解因式.
●教学难点
准确找出公因式，并能正确进行分解因式.
●教学方法
类比学习法
●教具准备
无
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］上节课我们学习了用提公因式法分解因式，知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式，那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢？本节课我们就来揭开这个谜.
Ⅱ.新课讲解
一、例题讲解
［例2］把a（x－3）+2b（x－3）分解因式.
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即a（x－3）与2b（x－3），每项中都含有（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来.
解：a（x－3）+2b（x－3）=（x－3）（a+2b）
［师］从分解因式的结果来看，是不是一个单项式与一个多项式的乘积呢？
［生］不是，是两个多项式的乘积.
［例3］把下列各式分解因式:
（1）a（x－y）+b（y－x）;
（2）6（m－n）3－12（n－m）2.
分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x）是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－”号，则可以出现公因式，如y－x=－（x－y）.（m－n）3与（n－m）2也是如此.
解：（1）a（x－y）+b（y－x）
=a（x－y）－b（x－y）
=（x－y）（a－b）
（2）6（m－n）3－12（n－m）2
=6（m－n）3－12［－（m－n）］2
=6（m－n）3－12（m－n）2
=6（m－n）2（m－n－2）.
二、做一做
请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:
（1）2－a=__________（a－2）;
（2）y－x=__________（x－y）;
（3）b+a=__________（a+b）;
（4）（b－a）2=__________（a－b）2;
（5）－m－n=__________－（m+n）;
（6）－s2+t2=__________（s2－t2）.
解：（1）2－a=－（a－2）;
（2）y－x=－（x－y）;
（3）b+a=+（a+b）;
（4）（b－a）2=+（a－b）2;
（5）－m－n=－（m+n）;
（6）－s2+t2=－（s2－t2）.
Ⅲ.课堂练习
把下列各式分解因式：
解：（1）x（a+b）+y（a+b）
=（a+b）（x+y）;
（2）3a（x－y）－（x－y）
=（x－y）（3a－1）;
（3）6（p+q）2－12（q+p）
=6（p+q）2－12（p+q）
=6（p+q）（p+q－2）;
（4）a（m－2）+b（2－m）
=a（m－2）－b（m－2）
=（m－2）（a－b）;
（5）2（y－x）2+3（x－y）
=2［－（x－y）］2+3（x－y）
=2（x－y）2+3（x－y）
=（x－y）（2x－2y+3）;
（6）mn（m－n）－m（n－m）2
=mn（m－n）－m（m－n）2
=m（m－n）［n－（m－n）］
=m（m－n）（2n－m）.
补充练习
把下列各式分解因式
解：1.5（x－y）3+10（y－x）2
=5（x－y）3+10（x－y）2
=5（x－y）2［（x－y）+2］
=5（x－y）2（x－y+2）;
2. m（a－b）－n（b－a）
=m（a－b）+n（a－b）
=（a－b）（m+n）;
3. m（m－n）+n（n－m）
=m（m－n）－n（m－n）
=（m－n）（m－n）=（m－n）2;
4. m（m－n）（p－q）－n（n－m）（p－q）
= m（m－n）（p－q）+n（m－n）（p－q）
=（m－n）（p－q）（m +n）;
5.（b－a）2+a（a－b）+b（b－a）
=（b－a）2－a（b－a）+b（b－a）
=（b－a）［（b－a）－a+b］
=（b－a）（b－a－a+b）
=（b－a）（2b－2a）
=2（b－a）（b－a）
=2（b－a）2
Ⅳ.课时小结
本节课进一步学习了用提公因式法分解因式，公因式可以是单项式，也可以是多项式，要认真观察多项式的结构特点，从而能准确熟练地进行多项式的分解因式.
Ⅴ.课后作业
习题2.3
Ⅵ.活动与探究
把（a+b－c）（a－b+c）+（b－a+c）·（b－a－c）分解因式.
解：原式=（a+b－c）（a－b+c）－（b－a+c）（a－b+c）
=（a－b+c）［（a+b－c）－（b－a+c）］
=（a－b+c）（a+b－c－b+a－c）
=（a－b+c）（2a－2c）
=2（a－b+c）（a－c）
●板书设计
§2.2.2 提公因式法（二）
一、1.例题讲解
2.做一做
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
把下列各式分解因式：
1.a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）;
2.x2y－3xy2+y3;
3.2（x－y）2+3（y－x）;
4.5（m－n）2+2（n－m）3.
参考答案：
解：1.a（x－y）－b（y－x）+c（x－y）
=a（x－y）+b（x－y）+c（x－y）
=（x－y）（a+b+c）;
2.x2y－3xy2+y3
=y（x2－3xy+y2）;
3.2（x－y）2+3（y－x）
=2（x－y）2－3（x－y）
=（x－y）［2（x－y）－3］
=（x－y）（2x－2y－3）;
4.5（m－n）2+2（n－m）3
=5（m－n）2+2［－（m－n）］3
=5（m－n）2－2（m－n）3
=（m－n）2［5－2（m－n）］
=（m－n）2（5－2m+2n）.
课件12张PPT。2.2 提公因式法（2）复习回顾一、确定公因式的方法：1、 公因式的系数是多项式各项__________________; 2、 字母取多项式各项中都含有的____________; 3、 相同字母的指数取各项中最小的一个,即_________.
系数的最大公约数相同的字母最低次幂复习回顾二、提公因式法分解因式步骤(两步):第一步，找出公因式；
第二步，提公因式,(即用多项式除以公因式).
分解因式：思考：提公因式时，公因式可以是多项式吗？回忆搭桥找一找：下列各式中的公因式是什么？初用结论探索结论判断：下列各式哪些成立？你能得到什么结论？成立的有：（2）、（4）、（5）试分解下列因式深入探究开阔视野分解下列因式开启智慧展示自我复习小结两个只有符号不同的多项式是否有关系,有如下判断方法:
(1)当相同字母前的符号相同时,
则两个多项式相等.
如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a
(2)当相同字母前的符号均相反时,
则两个多项式互为相反数.
如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（a-b） 作业：书上第52页习题2.3补充作业：课后作业第四课时
●课 题
§2.3.1 运用公式法（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
（二）能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
2.训练学生对平方差公式的运用能力.
（三）情感与价值观要求
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.
●教学重点
让学生掌握运用平方差公式分解因式.
●教学难点
将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.
●教学方法
引导自学法
●教具准备
投影片两张
第一张（记作§2.3.1 A）
第二张（记作§2.3.1 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
Ⅱ.新课讲解
［师］1.请看乘法公式
（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a2－b2=（a+b）（a－b） （2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.
［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.
9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2
=（3 m +2n）（3 m －2n）
3.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（b）2
=（3a+b）（3a－b）.
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2;
（2）2x3－8x.
解：（1）9（m +n）2－（m－n）2
=［3（m +n）］2－（m－n）2
=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］
=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）
=（4 m +2n）（2 m +4n）
=4（2 m +n）（m +2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）
=2x（x+2）（x－2）
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.
补充例题
投影片（§2.3.1 A）
判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.
［生］解：（1）不正确.
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.
（2）不正确.
错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.
应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√）
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （×）
（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （×）
2.把下列各式分解因式
解：（1）a2b2－m2
=（ab）2－m 2
=（ab+ m）（ab－m）;
（2）（m－a）2－（n+b）2
=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］
=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;
（3）x2－（a+b－c）2
=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］
=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;
（4）－16x4+81y4
=（9y2）2－（4x2）2
=（9y2+4x2）（9y2－4x2）
=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）
3.解：S剩余=a2－4b2.
当a=3.6,b=0.8时，
S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）
答：剩余部分的面积为10.4 cm2.
（二）补充练习
投影片（§2.3.1 B）
把下列各式分解因式
（1）36（x+y）2－49（x－y）2;
（2）（x－1）+b2（1－x）;
（3）（x2+x+1）2－1.
解：（1）36（x+y）2－49（x－y）2
=［6（x+y）］2－［7（x－y）］2
=［6（x+y）+7（x－y）］［6（x+y）－7（x－y）］
=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）
=（13x－y）（13y－x）;
（2）（x－1）+b2（1－x）
=（x－1）－b2（x－1）
=（x－1）（1－b2）
=（x－1）（1+b）（1－b）;
（3）（x2+x+1）2－1
=（x2+x+1+1）（x2+x+1－1）
=（x2+x+2）（x2+x）
=x（x+1）（x2+x+2）
Ⅳ.课时小结
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.
Ⅴ.课后作业
习题2.4
1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;
（2）36－x2=（6+x）（6－x）;
（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;
（4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）;
（5）0.25q2－121p2
=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;
（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;
（7）9a2p2－b2q2
=（3ap+bq）（3ap－bq）;
（8）a2－x2y2=（a+xy）（ a－xy）;
2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;
（2）49（a－b）2－16（a+b）2
=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2
=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］
=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）
=（11a－3b）（3a－11b）;
（3）（2x+y）2－（x+2y）2
=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］
=（3x+3y）（x－y）
=3（x+y）（x－y）;
（4）（x2+y2）－x2y2
=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;
（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）
=3a（x+y2）（x－y2）
（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）
=（p2+1）（p+1）（p－1）.
3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）
=π（R+r）（R－r）
当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，
S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）
答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.
Ⅵ.活动与探究
把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式
解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc
=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc
=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc
=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2
=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］
=（b+c）［a2+bc+ab+ac］
=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］
=（b+c）（a+b）（a+c）
●板书设计
§2.3.1 运用公式法（一）
一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
3.例题讲解
补充例题
二、课堂练习
1.随堂练习
2.补充练习
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
把下列各式分解因式：
（1）49x2－121y2;
（2）－25a2+16b2;
（3）144a2b2－0.81c2;
（4）－36x2+y2;
（5）（a－b）2－1;
（6）9x2－（2y+z）2;
（7）（2m－n）2－（m－2n）2;
（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.
解：（1）49x2－121y2
=（7x+11y）（7x－11y）;
（2）－25a2+16b2=（4b）2－（5a）2
=（4b+5a）（4b－5a）;
（3）144a2b2－0.81c2
=（12ab+0.9c）（12ab－0.9c）;
（4）－36x2+y2=（y）2－（6x）2
=（y+6x）（y－6x）;
（5）（a－b）2－1=（a－b+1）（a－b－1）;
（6）9x2－（2y+z）2
=［3x+（2y+z）］［3x－（2y+z）］
=（3x+2y+z）（3x－2y－z）;
（7）（2m－n）2－（m－2n）2
=［（2 m－n）+（m－2n）］［（2 m－n）－（m－2n）］
=（3 m－3n）（m +n）
=3（m－n）（m +n）
（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2
=［7（2a－3b）］2－［3（a+b）］2
=［7（2a－3b）+3（a+b）］［7（2a－3b）－3（a+b）］
=（14a－21b+3a+3b）（14a－21b－3a－3b）
=（17a－18b）（11a－24b）
课件16张PPT。2.3 运用公式法（1）（1）3a3b2－12ab3（4）a(x － y)2 － b(y－ x)2一看系数 二看字母 三看指数关键确定公因式例1、把下列各式分解因式：①25 x2 ＝ (_____)2
②36a4 ＝ (_____)2
③0.49 b2 ＝ (_____)2
④64x2y2 ＝ (_____)2
⑤ ＝ (_____)25 x6a20.7 b8xy填空（整式乘法）（分解因式）1 － 9a2口算(1) 下列多项式中，他们有什么共同特征? (2)尝试将它们分别写成两个因式的乘积,并与同伴交流.① x2－25
② 9x2－ y 2 探索 & 交流a2?b2= (a+b)(a?b)说说平方差公式的特点两数的和与差相积两个数的平方差；只有两项 形象地表示为例1、把下列各式分解因式：（1） 25 － 16x2（3） － 16x2 ＋81y2解(1)原式= 52－(4x)2=(5+4x)(5-4x)例2、把下列各式分解因式① 9(m＋n)2 － (m － n)2② 2x3 － 8x首先提取公因式
然后考虑用公式
最终必是连乘式解：原式＝2x(x2-4)＝2x(x2-22)＝2x(x+2)(x-2)有公因式哦＝[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]＝(3m+3n+m-n) (3m+3n-m+n)＝(4m+2n) (2m+4n)＝4 (2m+n) (m+2n)解：原式＝[3(m+n)]2－(m-n)2① 9(m＋ n)2 － (m － n)2在多项式x2+y2, x2-y2 ,-x2+y2, -x2-y2中,能利用平方差公式分解的有( )
A 1个 B 2个
C 3个 D 4个B(1)x2+y2=(x+y)(x+y) ( )
(2)x2-y2=(x+y)(x-y) ( )
(3)-x2+y2=(-x+y)(-x-y)( )
(4)-x2 -y2 =-(x+y)(x-y) ( ) 1、判断正误2、把下列各式分解因式：(1)a2b2－m2
(2)(m－a)2－(n＋b)2
(3)x2－(a＋b－c)23、如图，在一块边长为 acm 的正方形的四角，各剪去一个边长为bcm的正方形，求剩余部分的面积。如果a=3.6，b=0.8呢?a2?4b2 下列分解因式是否正确？为什么？如果不正确，请给出正确的结果.分解到不能再分解为止①运用a2?b2= (a+b)(a?b)分解因式首先提取公因式
然后考虑用公式
最终必是连乘式②分解因式顺序已知, x+ y =7, x-y =5,求 x 2- y2-2y+2x的值.思维拓展化简下列代数式第五课时
●课 题
§2.3.2 运用公式法（二）
●教学目标
（一）教学知识点
1.使学生会用完全平方公式分解因式.
2.使学生学习多步骤，多方法的分解因式.
（二）能力训练要求
在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力.
（三）情感与价值观要求
通过综合运用提公因式法、完全平方公式，分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力.
●教学重点
让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法.
●教学难点
让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式.
●教学方法
观察—发现—运用法
●教具准备
投影片两张
第一张（记作§2.3.2 A）
第二张（记作§2.3.2 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境，引入新课
［师］我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，倒用乘法公式，我们找到了因式分解的两种方法：提取公因式法、运用平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？
在前面我们不仅学习了平方差公式
（a+b）（a－b）=a2－b2
而且还学习了完全平方公式
（a±b）2=a2±2ab+b2
本节课，我们就要学习用完全平方公式分解因式.
Ⅱ.新课
1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点.
［师］由因式分解和整式乘法的关系，大家能否猜想出用完全平方公式分解因式的公式呢？
［生］可以.
将完全平方公式倒写：
a2+2ab+b2=（a+b）2;
a2－2ab+b2=（a－b）2.
便得到用完全平方公式分解因式的公式.
［师］很好.那么什么样的多项式才可以用这个公式分解因式呢？请大家互相交流，找出这个多项式的特点.
［生］从上面的式子来看，两个等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方，将它写成平方形式，便实现了因式分解.
［师］左边的特点有（1）多项式是三项式；
（2）其中有两项同号，且此两项能写成两数或两式的平方和的形式；
（3）另一项是这两数或两式乘积的2倍.
右边的特点：这两数或两式和（差）的平方.
用语言叙述为：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
形如a2+2ab+b2或a2－2ab+b2的式子称为完全平方式.
由分解因式与整式乘法的关系可以看出，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
投影（§2.3.2 A）
练一练
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4;
（2）x2+4x+4y2;
（3）4a2+2ab+b2;
（4）a2－ab+b2;
（5）x2－6x－9;
（6）a2+a+0.25.
［师］判断一个多项式是否为完全平方式，要考虑三个条件，项数是三项；其中有两项同号且能写成两个数或式的平方；另一项是这两数或式乘积的2倍.
［生］（1）是.
（2）不是；因为4x不是x与2y乘积的2倍；
（3）是；
（4）不是.ab不是a与b乘积的2倍.
（5）不是，x2与－9的符号不统一.
（6）是.
2.例题讲解
［例1］把下列完全平方式分解因式：
（1）x2+14x+49;
（2）（m+n）2－6（m +n）+9.
［师］分析：大家先把多项式化成符合完全平方公式特点的形式，然后再根据公式分解因式.公式中的a,b可以是单项式，也可以是多项式.
解：（1）x2+14x+49=x2+2×7x+72=（x+7）2
（2）（m +n）2－6（m +n）+9=（m +n）2－2·（m +n）×3+32=［（m +n）－3］2=（m +n－3）2.
［例2］把下列各式分解因式：
（1）3ax2+6axy+3ay2;
（2）－x2－4y2+4xy.
［师］分析：对一个三项式，如果发现它不能直接用完全平方公式分解时，要仔细观察它是否有公因式，若有公因式应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解因式.
如果三项中有两项能写成两数或式的平方，但符号不是“+”号时，可以先提取“－”号，然后再用完全平方公式分解因式.
解：（1）3ax2+6axy+3ay2
=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2
（2）－x2－4y2+4xy
=－（x2－4xy+4y2）
=－［x2－2·x·2y+（2y）2］
=－（x－2y）2
Ⅲ.课堂练习
a.随堂练习
1.解：（1）是完全平方式
x2－x+=x2－2·x·+（）2=（x－）2
（2）不是完全平方式，因为3ab不符合要求.
（3）是完全平方式
m2+3 m n+9n2
=（ m）2＋2× m×3n+（3n）2
=（ m +3n）2
（4）不是完全平方式
2.解：（1）x2－12xy+36y2
=x2－2·x·6y+（6y）2
=（x－6y）2;
（2）16a4+24a2b2+9b4
=（4a2）2+2·4a2·3b2+（3b2）2
=（4a2+3b2）2
（3）－2xy－x2－y2
=－（x2+2xy+y2）
=－（x+y）2;
（4）4－12（x－y）+9（x－y）2
=22－2×2×3（x－y）+［3（x－y）］2
=［2－3（x－y）］2
=（2－3x+3y）2
b.补充练习
投影片（§2.3.2 B）
把下列各式分解因式：
（1）4a2－4ab+b2;
（2）a2b2+8abc+16c2;
（3）（x+y）2+6（x+y）+9;
（4）－+n2;
（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9;
（6）x2y－x4－
解：（1）4a2－4ab+b2=（2a）2－2·2a·b+b2=（2a－b）2;
（2）a2b2+8abc+16c2=（ab）2+2·ab·4c+（4c）2=（ab+4c）2;
（3）（x+y）2+6（x+y）+9
=（x+y+3）2;
（4）－+n2=（）2－2××n+n2=（－n）2;
（5）4（2a+b）2－12（2a+b）+9
=［2（2a+b）］2－2×2（2a+b）×3+32
=［2（2a+b）－3］2
=（4a+2b－3）2;
（6）x2y－x4－
=－（x4－x2y+）
=－［（x2）2－2·x2·+（）2］
=－（x2－）2
Ⅳ.课时小结
这节课我们学习了用完全平方公式分解因式.它与平方差公式不同之处是：
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
同时，我们还学习了若一个多项式有公因式时，应先提取公因式，再用公式分解因式.
Ⅴ.课后作业
习题2.5
1.解：（1）x2y2－2xy+1=（xy－1）2;
（2）9－12t+4t2=（3－2t）2;
（3）y2+y+=（y+）2;
（4）25m2－80 m +64=（5 m－8）2;
（5）+xy+y2=（+y）2;
（6）a2b2－4ab+4=（ab－2）2
2.解：（1）（x+y）2+6（x+y）+9
=［（x+y）+3］2
=（x+y+3）2;
（2）a2－2a（b+c）+（b+c）2
=［a－（b+c）］2
=（a－b－c）2;
（3）4xy2－4x2y－y3
=y（4xy－4x2－y2）
=－y（4x2－4xy+y2）
=－y（2x－y）2;
（4）－a+2a2－a3
=－（a－2a2+a3）
=－a（1－2a+a2）
=－a（1－a）2.
3.解：设两个奇数分别为x、x－2,得
x2－（x－2）2
=［x+（x－2）］［x－（x－2）］
=（x+x－2）（x－x+2）
=2（2x－2）
=4（x－1）
因为x为奇数，所以x－1为偶数，因此4（x－1）能被8整除.
Ⅵ.活动与探究
写出一个三项式，再把它分解因式（要求三项式含有字母a和b，分数、次数不限，并能先用提公因式法，再用公式法分解因式.
分析：本题属于答案不固定的开放性试题，所构造的多项式同时具备条件：①含字母a和b；②三项式；③可提公因式后，再用公式法分解.
参考答案：
4a3b－4a2b2+ab3
=ab（4a2－4ab+b2）
=ab（2a－b）2
●板书设计
§2．3．2 运用公式法（二）
一、1.推导用完全平方公式分解因式的公式以及公式的特点
投影片（§2.3.2 A）
2.例题讲解
例1、例2
二、课堂练习
a.随堂练习
b.补充练习（投影片§2.3.2 B）
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
把下列各式分解因式
1.－4xy－4x2－y2;
2.3ab2+6a2b+3a3;
3.（s+t）2－10（s+t）+25;
4.0.25a2b2－abc+c2;
5.x2y－6xy+9y;
6.2x3y2－16x2y+32x;
7.16x5+8x3y2+xy4
参考答案：
解：1.－4xy－4x2－y2
=－（4x2+4xy+y2）=－（2x+y）2;
2.3ab2+6a2b+3a3=3a（b2+2ab+a2）=3a（a+b）2;
3.（s+t）2－10（s+t）+25=［（s+t）－5］2=（s+t－5）2;
4.0.25a2b2－abc+c2=（0.5ab－c）2;
5.x2y－6xy+9y=y（x2－6x+9）=y（x－3）2;
6.2x3y2－16x2y+32x=2x（x2y2－8xy+16）=2x（xy－4）2;
7.16x5+8x3y2+xy4=x（16x4+8x2y2+y4）=x（4x2+y2）2.
课件25张PPT。2.3 运用公式法（2）练习:复习回顾1、分解因式的结果是－（2x－y）（2x＋y）的是（ ）
A、4x2－y2 B、4x2＋y2 C、－4x2－y2 D、－4x2＋y2复习回顾复习回顾4、把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式等于（ ）
(A)(a-2)(m2+m) (B)(a-2)(m2-m)
(C)m(a-2)(m-1) (D)m(a-2)(m+1)
5、下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
(A)-a2+b2 (B)-x2-y2
(C)49x2y2-z2 (D)16m4-25n2p2
复习回顾看一看现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这个公式来分解因式了，我们把它称为“完全平方公式”.想一想 我们把以上两个式子叫做完全平方式. 即： 两个“项”的平方和加上（或减去）这两“项”的积的两倍.想一想判别下列各式是不是完全平方式是是是是课内练习完全平方式的特点：1、必须是三项式2、有两个“项”的平方 3、有这两“项”的2倍或-2倍议一议下列各式是不是完全平方式是是是否是否请补上一项，使下列多项式成为完全平方式我们可以通过以上公式把“完全平方式”分解因式
我们称之为：运用完全平方公式分解因式例题：把下列式子分解因式4x2+12xy+9y2请运用完全平方公式把下列各式分解因式：课内练习1、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、a2+b2+ab B、a2+2ab-b2
C、a2-ab+2b2 D、-2ab+a2+b2
2、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+y2-2xy B、x2+4xy+4y2
C、a2-ab+b2 D、-2ab+a2+b2DC3、下列各式中，能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x2+2xy-y2 B、x2-xy+y2
C、 D、
4、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A、x4+6x2y2+9y4 B、x2n-2xnyn+y2n
C、x6-4x3y3+4y6 D、x4+x2y2+y4DD课内练习5、把 分解因式得 （ ）
A、 B、
6、把 分解因式得（ ）
A、 B、BA课内练习7、如果100x2+kxy+y2可以分解为（10x-y)2,那么k的值是（ ）
A、20 B、-20
C、10 D、-10
8、如果x2+mxy+9y2是一个完全平方式，那么m的值为（ ）
A、6 B、±6
C、3 D、±3 BB课内练习9、把 分解因式得（ ）
A、 B、
C、 D、
10、计算 的结果是（ ）
A、 1 B、-1
C、 2 D、-2CA课内练习思考题:
1、多项式:
(x+y)2-2(x2-y2)+(x-y)2能用完全平方公式分解吗?
2、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：
x4+4x2+( )小结：1、是一个二次三项式;2、有两个“项”平方,而且有这两“项”的积的两倍或负两倍;3、我们可以利用完全平方公式来进行因式分解.完全平方式具有以下特点： 1. 25x4＋10x2＋1 2 .－x2－4y2＋4xy 3. 3ax2＋6axy＋3ay2 练习：分解因式4.-2a3b3+4a2b3-2ab35. 9 - 12(a-b) + 4 (a-b)26. (y2 + x2 )2 - 4x2y22、(a+b)2＋2(a+b)(a-b) ＋(a-b)2 思考：分 解 因 式3、(a+1)2-2(a2-1) ＋(a-1)21、16x4-8x2＋1补充练习阅读下列计算过程：
99×99+199=992+2×99+1=（99+1）2=100 2=10 4
（1）．计算：
999×999+1999=_____=_____=________=________；
9999×9999+19999=_______=______=______=______.
（2）．猜想9999999999×9999999999+19999999999等于
多少？写出计算过程.
