必修第二册6.2平面向量的运算 （word版含解析）

必修第二册 6.2 平面向量的运算
一、单选题
1．已知菱形中，，，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知是的边上的中线，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．化简得（ ）
A． B．
C． D．
4．已知正方形的边长为，设，，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
5．设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
6．向量，互为相反向量，已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为实数0 C．与方向相同 D．
7．设为单位向量，且＝1，则|+2|＝（ ）
A． B． C．3 D．7
8．，是半径为1的圆的两条直径，，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
10．已知，，则( )
A．2 B．4 C． D．
11．下列命题中正确的有
（1）；（2）；（3）；（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一点（含端点A，B），若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
13．在中，是三角形的外心，过点作于点，，则=（ ）
A．16 B．8 C．24 D．32
14．已知圆内切的三边，，分别于，，，且，则角（ ）
A． B． C． D．
15．设均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．7
二、填空题
16．在平行四边形中，，相交于点，为线段上的动点，若，则的最小值为___________
17．如图，在三角形中，点在边上，且，点是边的中点，与交于点，若，则________
18．如图，在三角形ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则________.
三、解答题
19．根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状：
（1）＝；
（2）＝且||＝||.
20．一艘船在水中航行，水流速度与船在静水中航行的速度均为.如果此船实际向南偏西方向行驶，然后又向西行驶，你知道此船在整个过程中的位移吗
21．计算：
（1）；
（2）.
22．如图，四边形是以向量，为边的平行四边形，又，，试用、表示、、.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
根据平面向量基本定理，由题中条件，用和表示出与，再由向量数量积的运算法则，根据题中数据，可直接得出结果.
【详解】
由题，，
所以，，
所以，
在菱形中，，，
则，，，
所以.
故选：B.
思路点睛：
求解平面图形中的向量数量积问题时，一般需要利用已知模与夹角的向量表示出所求向量，再由向量数量积的运算法则，即可求解.
2．B
利用平面向量的线性运算可求得结果.
【详解】
因为是的边上的中线，所以为的中点，
所以
.
故选：B
3．A
由向量的加减琺法则计算．
【详解】
．
故选：A．
4．D
利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，
【详解】
因为正方形的边长为，，，，
所以．
故选：D
5．D
根据向量共线定理可得，再由与是不共线向量，可得，解方程组即可求解.
【详解】
由共线向量定理可知存在实数λ，使，
即，
又与是不共线向量，
∴，解得
故选：D
6．D
根据相反向量的定义，即可判断选项.
【详解】
向量，互为相反向量，则，模相等、方向相反，所以，故A错误；
，故B错误；与方向相反，故C错误；，故D正确.
故选：D.
7．B
通过向量的模，求出向量的数量积，然后转化求解即可．
【详解】
为单位向量，且＝1
可得，可得，
.
故选：B．
8．B
作出图象，根据，结合数量积的运算，即可求解.
【详解】
如图所示，，是半径为1的圆的两条直径，且，即为的中点，
则
，
故选：B.
9．B
在，上分别取单位向量，作，则平分，用表示出代入条件式，用表示出，则可证明，，三点共线，即平分．
【详解】
在，上分别取点，，使得，，
则．
以，为邻边作平行四边形，如图，
则四边形是菱形，且．
为的平分线．
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上．
同理可得在其他两角的平分线上，
是的内心．
故选：．
本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.
10．B
由求得，再由即可求得答案.
【详解】
∵，
∴，则.
∴，故.
故选：B.
11．A
根据向量的运算律及数量积的定义逐一验证即可得出结果.
【详解】
由向量加法三角形法则可知，，故（1）正确；
，故（2）错误；
由向量的加法法则可知，故（3）错误；
向量乘法不满足分配律， 不一定成立，故（4）错误.
故选：A
本题考查向量运算律，考查基本分析判断能力，属基础题.
12．D
根据题意可得出，然后根据向量的运算得出，从而可求出答案.
【详解】
因为点C为的中点，，所以，
所以
，
因为点M为线段AB上的一点，所以，所以，
所以的取值范围是,
故选：D.
13．D
根据向量的线性运算及外心的性质，即可求出数量积的值.
【详解】
如图，
,
因为,
所以，
又因为是三角形的外心，
所以,
所以.
故选：D
关键点点睛：利用三角形外心的性质，可知在向量上的投影为，是解题的关键，属于中档题.
14．C
设的内切圆半径为，利用向量数量积的运算性质可得，进而可得，即可求角.
【详解】
因为圆为的内切圆，设其半径为，
由可得，
两边同时平方可得：，
即，
因为，即所以，
所以，所以，所以，
所以，
故选：C.
15．A
由已知，利用向量数量积的运算律求得，又即可求.
【详解】
由题设，，又均为单位向量，
∴，
∴，则.
故选：A
16．
先利用已知条件求得，，再设，根据线性关系利用向量表示向量，利用数量积展开化简得到，，结合二次函数最值的求法即得结果.
【详解】
依题意，由，知，即，
所以，得，则，即.
设，则，得，
，
，由知，当时，二次函数取得最小值，即取 最小值为.
故答案为：.
关键点点睛：
本题的解题关键在于用基底表示向量进行运算，将数量积的最值问题转化成二次函数的最值问题，突破难点.
17．
取中点，连接，点是边的中点，所以，所以是的中点，，根据向量数量积公式可得答案.
【详解】
取中点，连接，点是边的中点，所以，
因为是，所以是的中点，即，
且，，
由于
.
故答案为：.
求解数量积一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，借助向量的拆分将待求向量的数量积转化为题目中能求解的数量积，实现向量代数化. 易错提示：1.注意向量的方向性；2.注意三角形两边对应向量的夹角与三角形内角是相等还是互补.
18．
利用平面向量的几何意义以及平面向量加法运算法则求解
【详解】
因为D是边BC的中点，
所以
所以
故答案为：
19．（1）平行四边形；（2）菱形
（1）根据向量相等的概念可得出，ADBC，AD＝BC，再由平行四边形的判定可得答案；
（2）根据向量相等的概念和菱形的判定可得答案.
【详解】
（1）因为，所以ADBC，AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形．
（2）因为且，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD是菱形．
本题考查向量相等的概念，以及平行四边形，菱形的判定，注意向量相等，需向量的方向相同，向量的大小相等，属于基础题.
20．两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
由向量加法可知，根据长度和角度关系可求得，，由此可确定位移的方向和大小.
【详解】
用表示船的第一次位移，用表示船的第二次位移，
根据向量加法的三角形法则知：，
可表示两次位移的和位移.
由题意知，在中，，则，，
在等腰中，，，
，，
两次位移的和位移的方向是南偏西，位移的大小为.
21．（1）；（2）.
（1）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.
（2）根据向量的运算法则，展开整理，即可得答案.
【详解】
（1）
=.
（2）
=
22．；；
利用向量的线性运算，结合图形，即可得到结论．
【详解】
解：，，，
．
．
，，
．
．
本题考查向量的线性运算，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页