必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示（word版含解析）

必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．若，，三点共线，则实数的值为
A．2 B． C． D．
2．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．向量，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．5
4．已知向量，，若，则（ ）
A． B．10 C． D．12
5．如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（　　）
A． B．
C． D．
6．过的中线的中点作直线分别交 于 两点，若，则（ ）
A．4 B． C．3 D．1
7．设向量，，则与一定不是（ ）
A．平行向量 B．垂直向量 C．相等向量 D．相反向量
8．已知点P是所在平面内一点，若，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
9．若平面向量与向量平行，且，则（ ）
A． B． C．或 D．
10．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知向量＝（1，2），＝（m，1），且向量满足，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C．2或 D．2或
12．已知向量，向量，则与的夹角大小为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
13．在中，点D在CB的延长线上，且，则等于（ ）
A．0 B． C． D．3
14．在平行四边形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，则＋＝（ ）
A．(－2，4) B．(4，6)
C．(－6，－2) D．(－1，9)
15．已知向量，，那么（ ）
A．5 B． C．8 D．
二、填空题
16．梯形中，，，，，，若为线段上的一点，则的最大值为______.
17．已知，，，，则_______
18．设两个向量和＝，其中为实数.若，则的取值范围是________.
三、解答题
19．（1）已知点A B D的坐标分别是 ，且，，求点C的坐标；
（2）已知向量，点，若向量与平行，且，求向量的坐标.
20．解方程.
21．如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
22．在中，，，，，．
（1）若，求实数的值及；
（2）若，求四边形的面积．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
由三点共线可得出向量共线，再根据向量共线的知识即可解题.
【详解】
因为，，三点共线，
所以方向向量与共线，
所以，解得.
故选：C
本题主要考查点共线和向量共线问题，属于常规题型.
2．A
先计算向量的模，再根据向量数量积的定义，将展开，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
又因为，设 与的夹角为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，故 ，
故选：A.
3．D
由，得，解出的值，进而可求得的坐标，根据向量模长公式即可求解.
【详解】
解：因为向量，，，所以，解得，
所以，所以，
故选：D.
4．B
根据即可得出进行数量积的坐标运算即可求出，从而得出的坐标，进而得出的值．
【详解】
∵向量，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
故选：B.
本题考查平面向量的坐标运算，利用向量垂直则数量积为0是解题的关键，也是常考点，属于基础题.
5．B
根据向量的加法减法运算即可求解.
【详解】
依题意，，
故选：B
6．A
由为的中点得到 ，设，结合，得到，再由，得到，然后利用与不共线求得m，n即可.
【详解】
解：由为的中点可知，，
，
设，
则，
，
，
，
，
与不共线，
，解得，
故选：.
7．C
根据已知向量的坐标，结合、、、的坐标表示判断参数是否存在，即可确定正确选项.
【详解】
假设，即，，
假设，即，，
假设，即，无解，
假设，即，，
故选：C．
8．D
过作，根据平面向量基本定理求得，即可求得与的面积之比.
【详解】
点是所在平面上一点，过作，如下图所示：
由，
故，
所以与的面积之比为，
故选：D．
9．C
求得后根据平行向量满足求解即可.
【详解】
由题.又且平面向量与向量平行.
故,即或.
故选：C
本题主要考查了平行向量的运用以及向量模长的运用,属于基础题.
10．D
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设, 得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.
【详解】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
11．D
把已知向量，代入所求数量积，利用投影的概念，求解即可．
【详解】
解：向量，＝（m，1），，
可得：m2+m＝0，解得m＝0，m＝﹣1，
当m＝0时，＝（0，1），
向量在方向上的投影为＝2，
当m＝﹣1时，＝（﹣1，1），
向量在方向上的投影为，
故选：D．
12．D
计算可得，利用数量积公式计算即可得出结果.
【详解】
向量，向量，
，
，且，
的夹角为.
故选：D.
13．C
根据，利用平面向量的基本定理求解.
【详解】
因为点D在CB的延长线上，且，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以，
故选：C
14．A
利用平行四边形法则，结合向量坐标的加减运算，计算结果.
【详解】
在平行四边形ABCD中，因为A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.
故选:A.
15．B
根据平面向量模的坐标运算公式，即可求出结果.
【详解】
因为向量，，所以
.
故选：B.
16．
由于，，且不共线，所以将作为基底，由为线段上的一点，可设，然后把向量分别用基底表示出来，化简可求得其最大值
【详解】
解：由为线段上的一点，设，
因为，，，所以，
所以,
因为，
所以
,
，
因为，所以的最大值为，
故答案为：
此题考平面向量基本定理的应用，正确的选择基底是解此题的关键，属于中档题.
17．
先根据求出，进而可得
【详解】
，
，即，
，又，
故答案为：0.
18．
由可得，且，整理得，结合三角函数和二次函数性质求出范围，即可得范围，同时将代换成关于表达式，即可求解.
【详解】
∵2＝，，
∴，且，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴－2≤4m2－9m＋4≤2，
解得≤m≤2，
∴，又∵λ＝2m－2，
∴，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：.
19．（1）；（2）或.
（1）设，由和，分别利用共线向量定理和数量积运算求解；
（2）设，由向量与平行和，分别利用共线向量定理和向量的模公式求解.
【详解】
（1）解：设，
则，
因为，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以点C的坐标为；
（2）设，
则，
因为向量与平行，
所以 ，
又，
所以，
解得 或，
所以的坐标为或.
20．，
原式变形为，设，，由，利用等号成立的条件列方程求解即可.
【详解】
因为，方程两边同除以，得；
设，，由，得：
，
上式中等号成立的条件是两向量同向，
从而有.
解之得：，，代入原方程检验均适合.
21．（1）；（2）证明见解析．
（1）由向量共线定理即可求出；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．
【详解】
（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，
又，故，
由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，
又，故，
由题意，，不共线，则：
，解得，
故；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），
由，，则：，
由（1）知，，则：，即，
所以，
所以是定值．
关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.
22．（1），；（2）．
（1）利用中位线的性质可得出点为的中点，可得出的值，再利用直角三角形的性质可可求得；
（2）以为坐标原点，、所在的直线为、轴建立平面直角坐标系，根据求出的值，可求得、，由此可求得四边形的面积.
【详解】
（1）由，可知为的中点，若，则为的中点，即，
又，所以；
（2）以为坐标原点，、所在的直线为、轴建立平面直角坐标系，
则、、，
，
，
又，，则，解得，
则，则，，
因此，四边形的面积为.
关键点点睛：本题主要考查利用平面向量的数量积转化两个向量的垂直关系，同时也考查了四边形面积的计算，解题的关键就是利用向量的垂直关系求出实数的值，进而利用四边形的面积公式求解.
答案第1页，共2页
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