必修第二册6.4平面向量的应用（word版含解析）

必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
2．在中，，，且点为的中点，，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
3．设锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．的内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则
A． B．5 C． D．
5．在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且b2=ac，则B的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（ ）
A． B．
C． D．
7．希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学，特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示，阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以AB为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的周长为（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，，则此三角形必是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
9．如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为分钟
10．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定
11．在中，、、分别为的内角、、的对边，，则角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosA＝c﹣a，点D在AC上，2AD＝DC，BD＝2，则△ABC的面积的最大值为（ ）
A． B． C．4 D．6
二、填空题
13．在中，，则__________.
14．已知正方形ABCD中，E是CD的中点，则向量与的夹角的余弦值为___________.
15．在中，，则该三角形的形状是___________.
16．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．角B为钝角．设△ABC的面积为S，若，则sinA+sinC的最大值是____________．
三、解答题
17．在中，，，，点，在边上且，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
18．某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路和两条索道，，如图所示.山顶处有一个宾馆，宾馆需要将储存在处的一批蔬菜一次性运送到宾馆处，有三种运输的方案：方案一，先将这批蔬菜运送到处，然后由挑夫（专门负责将山下物品以肩挑的形式将物品运送到山上的工作人员）从处挑到处；方案二，先通过索道将处的蔬菜运送到处，然后由挑夫从处挑到处；方案三，通过索道直接将处的蔬菜运送到处.已知，，，，挑夫挑这批蔬菜每走的山路，宾馆需支付元的费用，将这批蔬菜从处运送到处，宾馆需要付出元的费用，两条索道运送这批蔬菜每需要付给景区相关部门元的费用，问选择哪一种方案，可使宾馆付出的费用最少？（参考数据：，）
19．已知函数
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角的对边分别为，满足且，求的值.
20．在①：②；③这三个条件中任选两个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求b的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.
问题：是否存在，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，___________，___________？
注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.
21．已知函数.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）若对，恒有成立，且______，求面积的最大值.
在①的外接圆直径为4，②是直线截圆所得的弦长，③这三个条件中，任选两个补充到上面问题中，并完成求解，其中，，分别为的内角A，，所对的边.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
根据给定条件可得，由此判断三角形形状得解.
【详解】
因，则有，即，可得，此时，有，
所以是等边三角形.
故选：C
2．A
利用余弦定理可求的长.
【详解】
∵点为的中点，且，∴，
在中，，，∴，
在中，，，，
由余弦定理得：，
∴，
故选：A．
3．C
根据锐角三角形以及可得，可得，根据正弦定理得，进一步可得b的取值范围.
【详解】
在锐角三角形中， ，即，且，则，
即，综上，则，
因为，，
所以由正弦定理得，得，
因为，
所以，
所以，
所以b的取值范围为.
故选：C.
本题了锐角三角形的概念，考查了正弦定理，考查了余弦函数的单调性，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
4．A
求出，利用余弦定理，解方程即可求出结果.
【详解】
因为，
所以，
又因为，，
所以，
即，
即，
解得.
故选：A.
本题主要考查三角函数的诱导公式，余弦定理，属于较易题.
5．A
利用余弦定理解答即可.
【详解】
由b2=ac，
得，
因为0所以B∈.
故选：A.
6．A
首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求的近似值.
【详解】
圆的周角为，，所以当等腰三角形的顶角为时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为，则由题意可知，解得：，
所以的近似值是.
故选：A
7．A
根据题意，利用余弦定理，可求得长，即可求得AB为直径的圆的周长，利用正弦定理，可求得 的外接圆半径R，根据圆的几何性质，可求得劣弧AB对应的圆心角，代入公式即可求得弧长，即可得答案.
【详解】
因为，，
所以，所以，
故以AB为直径的圆的周长为，所以月牙的长弧对应圆周长的一半为，
设的外接圆的圆心为O，半径为R，如图所示，
由正弦定理得，所以，
所以四边形OABC为菱形，且，
所以劣弧AB的长为，
所以该月牙形的周长为.
故选：A
8．B
利用余弦定理的变形化角为边即可求解.
【详解】
由，
则，
即，
整理可得，
所以为直角三角形.
故选：B
9．B
分析可知，当船的航程最短时，，利用平面向量数量积可判断ABC选项的正误，利用路程除以速度可得航行时间，可判断D选项的正误.
【详解】
由题意可知，，当船的航程最短时，，而船头的方向与同向，
由，可得，，A选项错误，B选项正确；
，C选项错误；
该船到达对岸所需时间为（分钟），D选项错误.
故选：B.
10．C
根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.
【详解】
在中，原等式化为：，由正弦定理得，，
即，由余弦定理得：，整理得，
则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
11．A
由正弦定理将角化边，即可得到，再由余弦定理，即可得到，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到，即可得解；
【详解】
解：因为
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理可知，
则，
则，即：，
，又，当且仅当时取等号，
∴，，，
故选：A.
解三角形的基本策：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
12．A
由正弦定理,三角函数恒等变换可得sinAcosB＝sinA，可求cosB，设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，根据cos∠ADB＝﹣cos∠CDB利用余弦定理可得4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得ac≤6，进而可求解．
【详解】
在△ABC中，bcosA＝c﹣a，
由正弦定理可得sinBcosA＝sinC﹣sinA，
可得sinBcosA＝sin（A+B）﹣sinA＝sinAcosB+cosAsinB﹣sinA，
即sinAcosB＝sinA，
由于sinA≠0，
所以，由B∈（0，π），可得B＝，
设AD＝x，则CD＝2x，AC＝3x，
在△ADB，△BDC，△ABC中分别利用余弦定理，可得cos∠ADB＝，cos∠CDB＝，cos∠ABC＝，
由于cos∠ADB＝﹣cos∠CDB，可得6x2＝a2+2c2﹣12，
再根据cos∠ABC＝，可得a2+c2﹣9x2＝ac，
所以4c2+a2+2ac＝36，根据基本不等式可得4c2+a2≥4ac，
所以ac≤6，当且仅当a＝2，c＝时等号成立，
所以△ABC的面积S＝acsin∠ABC＝ac≤．
故选：A．
本题考查解三角形，关键点是熟练掌握正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，考查了运算求解能力和逻辑思维能力.
13．
根据，利用余弦定理求解.
【详解】
在中，因为，
由余弦定理得：
，
，
所以，
故答案为：
14．
向量坐标化，以A为原点，分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算处理.
【详解】
如图示，以A为原点，分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系.
不妨设正方形ABCD的边长为2，则，，，，.
则所以向量与的夹角的余弦值为：
.
故答案为：
15．直角三角形
首先结合正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理角化边，进而整理以后因式分解即可得出结果.
【详解】
因为，结合正弦定理得：，
由余弦定理得，
所以，
即，
所以，
，
，
，
因为，所以，即，所以是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
16．
根据已知，利用三角形面积公式、余弦定理可得，B为钝角知，由三角形内角和的性质得，即可求最大值.
【详解】
由题设，，则，
∴，又 B为钝角即为锐角，
∴，即，又，
∴且，
而，
∴当时，的最大值为.
故答案为：
关键点点睛：根据已知条件，利用三角形面积公式、余弦定理可得到，再应用三角形内角性质及三角恒等变换写出关于的二次函数式，求最值.
17．（1）；（2）.
（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.
【详解】
（1）设，，
则，，因此，
所以，
，
（2）因为，所以，
同理可得，，
所以
，
∴，即，
同除以可得，.
本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
18．选择方案三运送这批蔬菜宾馆付出的费用最少
利用正余弦定理分别计算的长度，再计算运费，即可得到答案；
【详解】
解：因为，
所以，即.
因为，故
所以（舍去），所以.所以.
在中，由题意知，，所以.
因为，由正弦定理，解得.
在中，由余弦定理
得
即，解得（负值舍去），.
利用方案一运送这批蔬菜宾馆付出的费用为：（元）
利用方案二运送这批蔬菜宾馆付出的费用为：（元）；
利用方案三运送这批蔬菜宾馆付出的费用为：（元）
因为，
所以选择方案三运送这批蔬菜宾馆付出的费用最少.
19．（1）；（2）
（1）利用三角恒等变换的公式，化简，利用三角函数的图象与性质，即可得到函数的最小值和最小正周期；
（2）由（1），令，求得的值，再由正弦定理和余弦定理，即可得到的值.
【详解】
⑴
⑵
又
本题主要考查了三角函数的图象与性质以及利用正弦、余弦定理解三角形问题，其中熟记三角函数的图象与性质，以及合理利用正弦、余弦定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
20．答案见解析
若选①和②：①化简由余弦定理可求得，则②利用和差角公式化简可得，进而由正弦定理可求得b的值；
若选①和③：①化简由余弦定理可求得，③利用三角形内角和及切化弦可化简为，进而求得，在在中，即可求得结果.
若选②和③：②利用和差角公式化简可得或.③利用三角形内角和及切化弦可化简为，进而求得，则为等腰直角三角形，所以.
【详解】
选择条件①和②.
因为，所以，
由余弦定理，得.
因为，所以.
因为，所以，
所以，
所以.
因为，所以.
在中，由正弦定理，得.
所以.
选择条件①和③.
因为，所以.
由余弦定理，得.
因为，所以.
因为，且，
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以，可得.
所以在中，.
选择条件②和③.
因为，
所以，
所以.
所以或.
因为，，
所以或.
又因为，且，
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，所以，可得.
在中，，所以，，.
所以为等腰直角三角形，所以.
思路点晴：
（1）先选择哪个条件，
（2）再根据正余弦定理化简求值.
21．（1），；（2）答案见解析.
（1）化简，令，，即可求得的单调递增区间；
（2）由，得，即可得，，，即为锐角三角形；
②利用弦心距、半径、弦长的关系求解；
③由求得．选择①②，选择①③，选择②③，分别结合基本不等式求解最大值．．
【详解】
解：（1），
令，，
解得，，，
所以的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，由得，
所以，所以，所以，同理，，即为锐角三角形.
②中圆心到直线的距离，
故.
③中由得，又A为锐角，所以.
选择①②，，，，得，；
选择①③，，，得；
选择②③，即，.
由余弦定理得，
所以，
所以最大值为，当且仅当时取等号，
所以的面积为，最大值为.
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