必修第二册7.1复数的概念同步练习（word版含解析）

必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．已知复数z满足，则在复平面内复数z对应的点在（ ）.
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设复数（其中为虚数单位），则下列说法中正确的是
A．它的实部为﹣3 B．共轭复数
C．它的模 D．在复平面对应的点的坐标为
3．若i为虚数单位，复数z满足，则的最大值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．设，则
A． B． C． D．
5．已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
6．已知复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点分别为，若四边形为平行四边形(为复平面的坐标原点)，则复数的模为（ ）
A． B． C． D．
7．设是虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．复数，若复数，则在复平面内，复数对应的点与复数对应的点（ ）
A．关于实轴对称 B．关于虚轴对称
C．关于原点对称 D．关于点对称
9．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数，，当且仅当“”或“且”时，.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①若，则；
②若，，则；
③若，则对于任意，；
④对于复数，若，则.
其中所有真命题的个数为（ ）
A． B． C． D．
10．欧拉公式(是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有，根据上述背景知识，试判断表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
11．若复数()是正实数，则实数的值为（ ）
A． B．3 C． D．
12．设复数满足，（是虚数单位），则复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．已知在复平面内对应的点在第四象限，则复数z的模的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．复数z＝3+4i对应的点Z关于原点的对称点为Z1，则对应的向量为（ ）
A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i
15．设为实数，若复数，则
A． B．
C． D．
二、填空题
16．若复数与它的共轭复数所对应的向量互相垂直，则_______．
17．若，则的最大值是________．
18．已知复数z的模为10，虚部为6，则复数z为______．
三、解答题
19．已知复数（）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数a的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数a的取值范围．
20．已知复数，且，.求实数x的取值范围.
21．已知复数，其中i是虚数单位，m为实数．
(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；
(2)当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围．
22．当实数为何值时，复数是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
设出复数z的代数形式，再利用复数相等求出复数z即可作答.
【详解】
设，，则，由得：，
即，于是得，解得，则有对应的点为，
所以在复平面内复数z对应的点在第一象限.
故选：A
2．C
利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】
解：∵，
∴的实部为3，，，
在复平面对应的点的坐标为（3，4）.
故选: C.
本题考查复数代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念、共轭复数、复数的模和复数的几何意义，是基础题．
3．D
先根据分析出复数对应的点在复平面内的轨迹，然后将的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.
【详解】
因为表示以点为圆心，半径的圆及其内部，
又表示复平面内的点到的距离，据此作出如下示意图：
所以，
故选：D.
结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1）：表示以为圆心，半径为的圆；
（2）且：表示以为端点的线段；
（3）且：表示以为焦点的椭圆；
（4）且：表示以为焦点的双曲线.
4．C
【详解】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
5．B
依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，， ，所以，即，解得或
故选：B
6．A
利用复数的几何意义，向量坐标运算性质及其向量相等即可得出
【详解】
解：因为复数 为虚数单位) 在复平面上对应的点分别为，
所以，
设，因为为平行四边形(为复平面的坐标原点)，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
故选：A
7．B
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案.
【详解】
解：设,
可得：，
则，
，
可得：，
可得：，
故选：B.
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题.
8．B
由条件求得，化简，根据复平面内坐标，判断两复数对称性即可.
【详解】
由题知，，由复数在复平面内对应的点的坐标知，其对应的点关于虚轴对称.
故选：B
9．B
取特殊值可判断①、④的正误；利用“序”的定义可判断②、③的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于复数，，显然满足，但，，不满足，故①为假命题；
设，，，
由，得“”或“且”，
由，得“”或“且”，
所以， “”或“且”，即，故②为真命题；
设，，，
由可得“”或“且”，
显然有“”或“且”，从而，
故③为真命题；
对于复数，，显然满足，
令，则，，
显然不满足，故④为假命题.
故选：B.
本题考查复数的基本概念，理解复数集上的定义“序”及其应用是关键，也是难点，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
10．B
根据欧拉公式，化简复数得的，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
所以复数表示的复数在复平面内对应的点为位于第二象限．
故选：B.
11．B
根据复数的分类标准列式求解即可.
【详解】
因为复数()是正实数，
所以，解得.
故选：B
12．C
根据复数表达式,先表示出.由复数的运算求解,再根据复数的几何意义求得点所在象限.
【详解】
复数满足
即
由复数的运算化简可得
在复平面内对应的点坐标为,所以位于第三象限
故选:C
本题考查了复数的除法运算,复数的几何意义,属于基础题.
13．A
根据在复平面内对应的点在第四象限，求出m的范围，再根据复数的模结合二次函数的性质即可得出答案.
【详解】
解：因为在复平面内对应的点在第四象限，
所以，解得，
，
因为，所以，则，
所以复数z的模的取值范围是.
故选：A.
14．A
根据复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，写出这个点关于原点对应的点的坐标，把点的坐标形式写成复数的代数形式，得到结果．
【详解】
解：∵复数z＝3+4i对应的点Z（3，4）
∴Z关于原点的对称点为Z1（﹣3，﹣4）
对应的向量＝﹣3﹣4i
故选：A．
15．A
根据复数相等的概念得到相应的参数值.
【详解】
由得，解得.
故答案为A.
复数与相等的充要条件是且．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
16．
利用数量积为列方程，解方程求得.
【详解】
对应坐标为，
对应坐标为，
依题意，
解得.
故答案为：
17．
先设，，根据题意，得到复数对应的点，在以为圆心，以为半径的圆及圆内的部分运动，再根据点与圆位置关系，即可得出结果.
【详解】
设，，
因为，则，
即，
所以复数对应的点，在以为圆心，以为半径的圆及圆内的部分运动；
又，表示复数对应的点到原点的距离，
又圆的圆心到直线的距离为，
所以的最大值为：.
故答案为：.
本题主要考查求复数模的最值，熟记复数的几何意即可，涉及点与圆位置关系，属于常考题型.
18．
若复数，则复数的模为．
【详解】
设，则﹒
故答案为：
19．（1）；（2）．
（1）由实部为0且虚部不为0列式求解的值；
（2）由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
【详解】
解：（1）由题意，解得．
（2）∵复数z在复平面内对应的点在第二象限，
∴，
解得：．∴实效a的取值范围是．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．
20．.
根据题意可得，解不等式即可求解.
【详解】
解：因为，，所以.
所以或，即实数x的取值范围是.
21．(1)4
(2)
（1）根据纯虚数，实部为零，虚部不为零列式即可；
（2）根据第三象限，实部小于零，虚部小于零，列式即可 .
(1)
因为为纯虚数,
所以
解得或，且且
综上可得,当为纯虚数时;
(2)
因为在复平面内对应的点位于第三象限,
解得或，且
即,故的取值范围为.
22．（1）；（2）且；（3）或.
（1）根据是实数，可得出复数的虚部为零，分母不为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的值；
（2）根据是虚数，可得出复数的虚部不为零，实部为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的取值范围；
（3）根据是纯虚数，可得出复数的实部为零，虚部不为零可得出关于的等式与不等式，由此可求得实数的值.
【详解】
（1）因为是实数，则，解得；
（2）因为是虚数，则，解得且；
（3）因为是纯虚数，则，解得或.
答案第1页，共2页
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