8.3简单几何体的表面积与体积 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点、、、、恰好构成一正四棱锥，若该棱锥的高为8，底面边长为，则该鞠的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为18
B．圆锥的表面积为27π
C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°
D．圆锥的体积为
5．如图所示，正四棱台的下底面与半球的底面重合，上底面四个顶点均在半球的球面上，若正四棱台的高与上底面边长均为1，则半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.其意思是相当于给出了一个已知球的体积，求这个球的直径的近似公式，即.若取，利用我们已经学过的球的体积公式，试判断下列所算球的直径近似公式中，最精确的一个是（ ）
A． B． C． D．
7．蹴鞠，又名蹴球，筑球等，蹴有用脚踢、踏的含义，鞠最早系外包皮革、内实含米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚踢、踏皮球的活动，类似现在的足球运动．2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录．3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠积累的方式来构造物体的技术．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如人体的髋关节、牙齿或飞机零部件等）．已知某蹴鞠的表面上有四个点A．B．C．D，满足任意两点间的直线距离为6cm，现在利用3D打印技术制作模型，该模型是由蹴鞠的内部挖去由ABCD组成的几何体后剩下的部分，打印所用原材料的密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原材料的质量约为（ ）
【参考数据】，，，．
A．101g B．182g C．519g D．731g
8．在边长为6的菱形中，，现将沿折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
10．三棱锥的四个顶点都在球的球面上，已知、、两两垂直，，，当三棱锥的体积最大时，球的体积为( )
A． B． C． D．
11．如图，在边长为的正方形中，线段BC的端点分别在边、上滑动，且，现将，分别沿AB，AC折起使点重合，重合后记为点，得到三被锥.现有以下结论：
①平面；
②当分别为、的中点时，三棱锥的外接球的表面积为；
③的取值范围为；
④三棱锥体积的最大值为.
则正确的结论的个数为
A． B． C． D．
12．六氟化硫，化学式为，在常压下是十种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为2a，则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是（不计氟原子的大小）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知一个圆台的上、下底面半径之比为，母线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为____________．
14．2021年7月，某学校的学生到农村参加劳动实践，一部分学生学习编斗笠，一种用竹篾或苇蒿等材料制作外形为圆锥形的斗笠，称为“灯罩斗笠”（如图），一部分学生学习制作泥塑几何体，现有一个棱长为的正方体形状泥块，其各面的中心分别为点，，，，，，将正方体削成正八面体形状泥块，若用正视图为正三角形的一个“灯罩斗笠”罩住该正八面体形状泥块，使得正八面体形状泥块可以在“灯罩斗笠”中任意转动，则该有底的“灯罩斗笠”的表面积的最小值为___________.
15．若球的大圆的面积为，则该球的体积为________
16．已知母线长为的圆锥的侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的底面半径为________．
17．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
三、解答题
18．如图所示，已知平行六面体，E是中点，过的截面把平行六面体分成两个部分，求左右两部分体积之比.
19．我市论语广场准备设置一些多面体形或球形的石凳供市民休息，如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是.

（Ⅰ）求正方体石块的棱长；
（Ⅱ）若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大体积.
20．如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）求证：．
21．如图，圆锥型容器内盛有水，水深，水面直径，放入一个铁球后，水恰好把铁球淹没，求该铁球的体积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
根据三视图还原几何体，将几何体补成长方体，计算出几何体的外接球直径，结合球体体积公式即可得解.
【详解】
根据三视图还原原几何体，如下图所示：
由图可知，该几何体为三棱锥，且平面，
将三棱锥补成长方体，
所以，三棱锥的外接球直径为，故，
因此，该几何体的外接球的体积为.
故选：D.
方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．
2．B
依题意作图，算出外接球的半径即可.
【详解】
依题意作上图，∵P-ABCD是正四棱锥，∴底面ABCD是正方形，
并且点P在底面的投影为正方形ABCD的中心， 即 平面ABCD，
外接球的球心必定在 上，设球心为O，
由题意 ，则 ,
连接BO，则BO为外接球的半径R， ，并且PO=R，
∴在 中， ， ，
解得R=5，外接球的表面积 ，
故选：B.
3．A
由题意可知该几何体的体积是由半球的表面积加上圆柱的侧面积，再加上圆的面积即可
【详解】
解：由题意得，球的半径，圆柱的底面半径，高，
则该几何体的表面积为
故选：A.
4．D
由题意可知，再利用圆锥的表面积公式，侧面积公式及体积公式，即可判断.
【详解】
设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，
又圆锥的侧面积，
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，
所以，解得，
所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；
圆锥的表面积，故选项B错误；
因为圆锥的底面周长为，
设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，
则，解得，
所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误；
圆锥的高，
所以圆锥的体积为，故选项D正确．
故选：D．
5．B
根据正四棱台的特点，利用数形结合，列式求半径，再求半球的体积.
【详解】
设半球的球心为O，正四棱台的上底面的一个顶点A在下底面的投影为B，
可知为半球的半径，因为，
所以半球的体积为．
故选：B
6．B
利用球的体积公式可得，即有，结合各选项判断根号内的系数与2最接近的一个即可.
【详解】
设球的半径为，由球的体积公式，而，
∴，由，，
∴与最为接近，
故选：B.
7．B
由题意可知所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，求出正四面体体积、外接球体积，然后作差可得所需要材料的体积，再乘以原料密度可得结果.
【详解】
由题意可知，几何体是棱长为的正四面体，
所需要材料的体积即为正四面体外接球体积与正四面体体积之差，
设正四面体的棱长为，则正四面体的高为，
设正四面体外接球半径为，则，解得，
所以打印的体积为：，
又，
所以，
故选：B
关键点点睛：本题考查正四面体与正四面体的外接球，考查几何体的体积公式，解决本题的关键点是求出正四面体外接球体积与正四面体体积，考查学生空间想象能力和计算能力，属于中档题．
8．A
当三棱锥的体积最大值时，平面平面，即可求出外接圆的半径，从而求出面积.
【详解】
当三棱锥的体积最大值时，平面平面，如图，
取的中点为，连接，则.
设分别为，外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，
则在上，在上，且,
且平面，平面.
平面平面，平面平面，平面
平面，，同理
四边形为平行四边形
平面，平面
，即四边形为矩形.
外接球半径
外接球的表面积为
故选：A.
9．A
先求出侧棱长，即可求出表面积.
【详解】
如图，PA，PB，PC两两垂直且PA＝PB＝PC，
△ABC为等边三角形，AB＝a，
∴，
∴表面积为.
故选：A.
10．C
根据基本不等式求出△PBC面积最大值即此时PB和PC的取值，根据已知条件，在长方体内部构造该三棱锥，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，据此即可求解.
【详解】
由题意，，
当且仅当时，三棱锥的体积最大，
如图所示，将视为长方体的一部分，
则长方体的体对角线即为外接球的直径，设外接球半径为R，
则，解得，
故球的体积是：
故选：C.
11．C
根据题意得,折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PAPB、PAPC，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P﹣ABC的外接球的直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP＝2、BP＝CP＝1，得外接球的半径R＝，由此得三棱锥P﹣ABC的外接球的体积，故②正确；由题意得，，，在中，由边长关系得，故③正确；由等体积转化计算即可，故④错误.
【详解】
由题意得，折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PAPB、PAPC，
在①中，由PAPB，PAPC，且PB PC，所以平面成立，故①正确；
在②中，当分别为、的中点时，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三棱锥P﹣ABC的外接球直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP＝2、BP＝CP＝，
得外接球的半径R＝，所以外接球的表面积为，故②正确；
在③中，正方形的边长为2，所以，，，在中，由边长关系得+，解得，故③正确；
在④中，正方形的边长为2，且，则，
所以在上递减，无最大值，故④错误.
故选：C
本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题．
12．B
由已知证得平面，再根据棱锥的体积公式计算可求得答案.
【详解】
解：如图，连接，，，连接．因为，，所以，，所以平面．因为，所以．因为四边形是正方形，所以，则，故该正八面体的体积为．
故选：B.
13．
根据题意得圆台的轴截面是等腰梯形，腰，，，进而根据几何关系得圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，再根据体积公式计算即可.
【详解】
解：根据题意，其圆台的轴截面是等腰梯形，如图，
腰，，，
所以过点作，垂足为，
所以在中，，
因为圆台的上、下底面半径之比为，
所以，即圆台的上底面半径为，下底面半径为，高为，
所以圆台的体积为.
故答案为：
14．
由题意，只需正八面体形状泥块位于圆锥的内切球内即可.
【详解】
如图所示：
设正方体的中心满足，
则几何体的外接球的球心为，半径为.
当“灯罩斗笠”的表面积最小时，
正八面体形状泥块的外接球即为圆锥的内切球，
故圆锥的底面圆的半径，
所以该“灯罩斗笠”的表面积的最小值为.
故答案为：
15．
根据球的大圆的面积，先计算出球的半径，进而可得球的体积．
【详解】
设球的半径为R，
则球的大圆面积为9π=πR2，
解得R=3，
故该球的体积V=πR3=36π，
故答案为36π
本题考查了球的体积公式，面积公式，属于基础题．
16．2
设底面半径为r，由两个面积的关系可得底面半径的值．
【详解】
解：设底面半径为r，则由题意，可得，解得，
故答案为：2．
本题考查圆锥的侧面积及圆的面积公式，属于基础题．
17．
利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】
∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
18．7：17
被截面分割成的左边的几何体是个三棱台，要求其体积，由于E为中点，可补成锥体，也即补上一个全等的平行六面体就能迅速求解.
【详解】
的延长线交延长线于，由E为中点知A为中点，联结，则和的交点必在F.作，，，即补上一个全等的平行六面体.
，
，
.
又
，.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
（Ⅰ）设正方体石块的棱长为（dm），根据题意列出关于a的方程，求出a的值即可；
（Ⅱ）仔细审题知，当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的体积最大，此时正方体的棱长正好是球的直径，然后计算体积即可.
【详解】
（Ⅰ）设正方体石块的棱长为（dm），
则每个截去的四面体的体积为，
由题意可得，解得，
故正方体石块的棱长为；
（Ⅱ）当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的体积最大，
此时正方体的棱长正好是球的直径，球形石凳的最大体积：.
关键点点睛：本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，第二问的解题关键是要明确当球形石凳的面与正方体的各个面都相切时球形石凳的体积最大，进而利用体积公式进行计算．
20．（1）；（2）证明见解析．
(1)求出圆柱下底面圆周的周长，结合圆柱的侧面积公式即可求解；（2）根据平面ABC，可得,结合可得平面,利用线面垂直的性质定理即可得证.
【详解】
（1）由题意可得，又，所以,
所以圆柱的侧面积为.
(2)由题意可知，平面ABC，又平面ABC，所以,因为，,所以平面,又平面,所以.
本题主要考查圆柱的侧面积公式、线面垂直的判定定理与性质定理，属于基础题.
21．．
作出轴截面，截球得大圆为轴截面三角形的内切圆，设球半径为，由求得体积，由水的体积与球的体积和求得半径，得结论．
【详解】
由题意，圆锥轴截面是正三角形，设铁球的半径为，则放入铁球后水深为，上底面半径为，此时铁球与水的体积和为．原来水的体积为，铁球的体积为，
则，解得．
所以铁球的体积．
所以该铁球的体积为．
答案第1页，共2页
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