8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．如图，在长方体中，，E，F，G分别为的中点，点P在平面内，若直线平面，则与满足题意的P构成的平面截正方体的截面面积为（ ）
A． B． C． D．
2．若直线平面，则过作一组平面与相交，记所得的交线分别为，，，…，那么这些交线的位置关系为（ ）
A．都平行 B．都相交且一定交于同一点
C．都相交但不一定交于同一点 D．都平行或交于同一点
3．在以下四个命题中：①直线与平面没有公共点，则直线与平面平行；②直线与平面内的任意一条直线都不相交，则直线与平面平行；③直线与平面内的无数条直线不相交，则直线与平面平行；④平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则直线与平面不相交.正确的命题是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②④
4．设是一条直线，是一个平面，则由下列条件不能得出的是（ ）
A．与内一条直线平行
B．与内所有直线都没有公共点
C．与无公共点
D．不在内，且与内的一条直线平行
5．如图，在直四棱柱中，，，，，点，，分别在棱，，上，若，，，四点共面，则下列结论错误的是（ ）
A．任意点，都有
B．任意点，四边形不可能为平行四边形
C．存在点，使得为等腰直角三角形
D．存在点，使得平面
6．在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
7．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，下列结论正确的个数为（ ）
①平面PBC ②平面PCD ③平面PDA ④平面PBA
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（　　）
A．①③ B．①④ C．①③④ D．②④
10．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中正确为
A．若，，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点 ，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．线段上存在点 使得
B．平面
C．的面积与的面积相等
D．三棱锥的体积不为定值
12．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图，已知边长为4的菱形中，.将菱形沿对角线折起得到三棱锥，二面角的大小为60°，则直线与平面所成角的正弦值为______.
14．如图，在正方体中，直线与平面的位置关系是______；直线与直线的位置关系是______；平面与平面的位置关系是______；平面与平面的位置关系是______.
15．如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，点是棱上一点，，若且满足平面，则______．
16．在棱长为的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面四边形内（不含边界）一点，若平面，则线段长度的取值范围是_______.
三、解答题
17．如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1=AB=2，BC=3.
（1）求证：AB1平面BC1D；
（2）求AB1与BD所成角的余弦值.
18．已知正方体中， 分别为对角线 上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．
19．如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.
（1）求证：；
（2）若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.
20．在如图所示的五面体中，四边形为平行四边形，平面，，为的中点.求证：平面.
21．如图，在四棱柱中，点M和N分别为和的中点、求证：平面.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行求解即可.
【详解】
如图，连接，
因为E，F，G分别为的中点，
所以平面，则平面，
因为，所以同理得平面，
又，得平面平面，
所以点P在直线上，则与满足题意的P构成的平面截正方体的截面为，
在中，有，所以．
故选：D
2．A
根据线面平行的性质，过平行于平面的直线作平面与相交，则交线与平行，即可知正确选项.
【详解】
由直线平面，过作平面且，则，同理有，，…，
∴，即交线均平行.
故选：A
3．D
根据线面平行的定义及判定定理可判断.
【详解】
定义：一条直线与一个平面无公共点（不相交），称为直线与平面平行.
可知①②正确；
线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
可知④正确；
当线在面内时，直线与平面内的无数条直线不相交（平行时），所以③不正确.
故选：D.
4．A
根据线面平行的定义和判定定理依次判断选项即可得到结论.
【详解】
对于A，若，也满足与内一条直线平行，但无法得出；
对于B，与内所有直线都没有公共点，即与面无公共点，可以得出；
对于C，与无公共点，满足线面平行定义，可以得出；
对于D，根据线面平行判定定理可知可以得到.
故选：A.
5．C
根据线线，面面的性质判断A，B是否正确；使用假设法判断C，D是否正确.
【详解】
解：对于A：由直四棱柱，，
所以平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，故A正确；
对于B：若四边形为平行四边形，则，
而与不平行，即平面与平面不平行，
所以平面平面，平面平面，
直线与直线不平行，
与矛盾，
所以四边形不可能是平行四边形，故B正确；
对于C：假设存在点，使得为等腰直角三角形，令，
过点作，则，在线段上取一点使得，连接，则四边形为矩形，所以，
则，
，
显然，
若由，则且四边形为平行四边，
所以，无解，故C错误；
对于D：当时，为时，满足平面，故D正确.
故选：C.
6．C
过作交于，连接，证明平面平面，得，即得结论．
【详解】
如图，过作交于，连接，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，
所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），
故选：C．
7．D
根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解.
【详解】
对于A，由正方体的性质可得，可得直线平面ABC，能满足；
对于B，作出完整的截面ADBCEF，由正方体的性质可得MNAD，可得直线MN平面ABC，能满足；
对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MNBD，可得直线MN平面ABC，能满足；
对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足.
故选：D.
8．B
证明，即可证明②③正确；平面，故①错误，平面，故④错误．
【详解】
对于①，平面，故①错误；
对于②，由于为的中点，为的中点，则， 平面，平面，则平面，故②正确；
对于③，由于，平面，平面，则平面，故③正确；
对于④，由于平面，故④错误．
故选：B
9．B
利用线面平行、线面相交的知识对四个图形逐一分析，由此确定正确选项.
【详解】
解：对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，
由于平面，平面，所以平面；
由于平面，平面，所以平面；
由于，所以平面平面，所以平面，所以①正确.
对于②，如图，设与相交于，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，因为与平面相交，所以与平面不平行，所以②错误.
对于③，如图，设是的中点，因为是的中点，所以，而与平面相交，所以与平面不平行，所以③错误.
对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知，平面，平面，所以平面，所以④正确.
综上所述，正确的序号有①④.
故选：B.
10．D
利用空间线面关系定理分别分析四个选项，得到正确答案.
【详解】
对于A 当，，时，m，n有可能平行，所以不正确；
对于B 当，时，因为直线m，n的位置未知，所以α，β不一定平行，故不正确；
对于C 当，，时，m，n有可能异面，所以不正确；
对于D 满足面面垂直的性质定理，所以正确
故选：D
此题考查了空间线面关系，线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理的运用，属于基础题.
11．B
利用异面直线的定义可判断A；根据线面平行判定定理可判断B；根据三角形的高不相等可判断C；直接计算体积可判断D.
【详解】
线段上不存在点 使得，
因为在平面平面外，在平面内，
所以，是异面直线，所以A不正确；
连接，几何体是正方体，所以，平面，平面，可知平面，所以B正确.
到的距离为，到的距离大于上下底面中心的连线，
则到的距离大于1，
∴的面积大于的面积，故C错误；
到平面的距离为，的面积为定值，
∴三棱锥的体积为定值，故D不正确.
故选：B.
12．C
首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，
因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
13．
由，可算得点C到平面的距离为d，又由直线BC与平面所成角的正弦值为，即可得到本题答案.
【详解】
∵四边形是菱形，，
，
为二面角的平面角，
，
是等边三角形.
取的中点，连接，则.
，
平面，
又平面，平面，
平面，
，
，
的边上的高，
，
设点到平面的距离为，则.
，，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
本题主要考查立体几何与折叠图形的综合问题，其中涉及到直线与平面所成角的求解.
14． 平行 异面 相交 平行
利用线面平行的判定定理判断直线与平面的位置关系；利用线面平行的判定定理判断直线与直线的位置关系；根据平面与平面判断；根据平面即为平面，平面即为平面判断；
【详解】
如图所示：
因为 ，平面， 平面，所以平面；
因为 ，平面， 平面，所以平面，又直线平面，且，所以与直线的位置关系是异面；
因为平面与平面，所以一定有一条过的直线，所以两平面相交；
平面即为平面，平面即为平面，而平面平面，所以两平面平行；
故答案为：平行；异面；相交；平行
15．
如图，连接，交于点，连接，在线段取一点使得，连接，可证平面平面，从而可得.
【详解】
如图，连接，交于点，连接，则，
在线段取一点使得，则.
连接，则，
又因为平面，平面，
所以平面.
因为平面且满足，故平面平面.
因为平面平面，平面平面，则.
所以，即为所求.
故答案为：.
思路点睛：已知线面平行，则可以得到两类平行关系-线线平行和面面平行，前者可找过已知线的平面，该平面和已知平面的交线与已知直线平行，后面可构造过已知的直线的平面，它与已知的平面的平行.
16．
分别取棱的中点，连接，则可证得平面∥平面，由题意可得点必在线段上，由此可判断点在或处时，最长，位于线段的中点时最短，通过解直角三角形即可求得结果
【详解】
如下图所示，分别取棱的中点，连接，，
因为为分别为，，的中点，
所以∥，∥，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
因为∥，，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
因为，所以平面∥平面，
因为是侧面四边形内一点，且平面，
所以点必在线段上，
在中，，
同理在中，求得,
所以为等腰三角形，
当点在的中点时，,此时最短，点在或处时，最长，
因为,
，
因为是侧面四边形内（不含边界）一点，
所以线段长度的取值范围是，
故答案为：
关键点点睛：此题考查面面平行，线面平行的判断，考查立体几何中的动点问题，解题的关键是通过证明面面平行，找出点必在线段上，从而可求出的最大值和最小值，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题
17．（1）证明见解析；（2）.
（1）利用三角形中位线定理证明ODAB1，再用线面平行的判定定理证明AB1平面BC1D；
（2）先判断出∠ODB（或其补角）为AB1与BD所成的角，再解三角形求出余弦值.
【详解】
（1）证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD．
∵四边形BCC1B1是平行四边形．
∴点O为B1C的中点．
∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1．
∵OD 平面BC1D，AB1 平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D．
（2）解：由（1）可知，∠ODB为AB1与BD所成的角或其补角，
∵AA1＝AB＝2，∴AB1＝2，OD，
在Rt△ABC中，D为AC的中点，则BD，
同理可得，OB，
在△OBD中，
cos∠ODB
∴AB1与BD所成角的余弦值为．
立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以用几何法，也可以用向量法计算．
18．（1）证明见解析；（2）的值为，证明见解析．
（1）连结并延长与的延长线交于点，证明，，又平面，平面，证明平面；
（2）是上的点，当的值为时，能使平面平面，通过证明平面，又，平面．然后证明即可．
【详解】
（1）连结并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，
所以，
故，
所以，
又因为，
所以，
所以．
又平面，平面，
故平面．
（2）当的值为时，能使平面平面．
证明：因为，
即有，
故．
所以．
又平面，平面，
所以平面，
又，平面．
所以平面平面．
本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．
19．（1）证明见解析；（2）2．
（1）由线面平行的性质定理可推出，再由平行的传递性可证得
（2）先找出二面角的平面角，表示出，求出，再设，建立方程求出，进而求出.
【详解】
（1）在棱柱中，面，面，
面面，由线面平行的性质定理有，
又，故；
（2）证明：在底面中，，，.
， ，
又因为侧棱底面，则底面
面，
又，面
过点作于，连接，则是二面角的平面角．
，，
则，故，
，．
设，则．
，
故，故．
方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
20．证明见解析
取的中点，连接、，分别证明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可证明平面平面，然后利用面面平行的性质可证明出平面.
【详解】
取的中点，连接、.
因为、分别为、的中点，所以.
又平面，且平面，所以平面，
因为平面，平面，平面平面，所以.
又，，所以，，
所以四边形为平行四边形，所以.
又平面，且平面，以平面.
又，所以平面平面.
又平面，所以平面.
本题考查利用面面平行的性质证明线面平行，同时也涉及了利用线面平行的性质定理证明线线平行，考查推理能力，属于中等题.
21．证明见解析.
设E为棱的中点，连接，易得平面，∥平面，平面平面，可得平面.
【详解】
证明：如图，
设E为棱的中点，连接.
分别为，的中点，
，.
又在平面的外部，
平面，∥平面.又，
∴平面平面.
又平面，
平面.
本题主要考查线面平行的判定定理及面面平行的判定与性质，属于中档题.
答案第1页，共2页
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