实际问题与二次函数
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文档简介
大窝中学《导学案》 九年级 数学 授课教师__刘汉容 刘仲平 张静
课题: 27章 27. 3 实际问题与二次函数
课型： 自学+ 点拨+训练 课时：1课时 授课时间：第 15 周 学生：________
【学习目标】
（重点难点）1.会建立直角坐标系解决实际问题; 2.会解决桥洞水面宽度问题.
【学习过程】
一、知识链接
1.抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，
当x＝ 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.
2. 抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，
当x＝ 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.
二、指导自学（学生在规定的时间内独立完成下面的知识掌握过程，教师巡视做个别指导）
1、认真阅读、理解教材P20-P21，问题1、问题2内容.
2、建立相应直角坐标系，分析抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，并把它记在书上问题1、问题2的左边空白处。
3、根据开口方向、对称轴、顶点坐标，确定最大值（最小值），正确解答问题1、2所提问题。
三、精讲点拨
1、（引导学生）正确判断图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，确定函数的最大值或最小值。
2、（引导学生）分析、得出所提问题中所需要的有效信息，并给予学生正确的书写示范。
3、（引导学生）在问题中正确设出函数解析式并根据题中所给的信息求解。
四、达标训练
1.以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为___________.
2.拱桥呈抛物线形,其函数关系式为y＝－x2,当拱桥下水位线在AB位置时,水面宽为12m,这时水面离桥拱顶端的高度h是____________.
3.有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为4米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时水面宽为4米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
4.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y＝ax2＋c的形式,请根据所给的数据求出a.c的值;
(2)求支柱MN的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
5.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面
CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1h时,忽然接到紧急
通知:前方连降暴雨,造成水位以每小0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥？若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米？
五、反思
大窝中学《导学案》 九年级 数学 授课教师__刘汉容 刘仲平 张静
课题: 27章 27. 3 用函数观点看一元二次方程（一）
课型： 自学+ 点拨+训练 课时：1课时 授课时间：第 15 周 学生：__________
【学习目标】
体会二次函数与方程之间的联系。（重点）
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系（难点）
【学习过程】
一、知识链接：
1.直线与轴交于点 ，与轴交于点 。
2.一元二次方程，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根；
二、指导自学（学生在规定的时间内独立完成下面的知识掌握过程，教师巡视做个别指导）
1.解下列方程
（1） （2） （3）
2.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：
函数
图
象
交
点
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
3.对比第1题各方程的解和第2题二次函数的图像与x轴的交点坐标，你发现什么？ ___
三、精讲点拨（教师根据学生的自学情况给予点评，并对相关知识做点拨归纳）
归纳：⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .（即把代入）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）
二次函数
与
一元二次方程
与轴有 个交点
（ ， ）（ ， ）
0，方程有 的实数根
与轴有 个交点；这个交点是 点（ , ）
0，方程有
实数根
与轴有 个交点
0，方程 实数根.
⑶二次函数与轴交点坐标是 .
四、达标测试
1. 二次函数，当＝1时，＝______；当＝0时，＝______．
2．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；
3.二次函数，当＝________时，＝3．
4.如图，一元二次方程的解为 。
5.如图，一元二次方程的解为 。
6. 已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________．
7．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________．
8、完成教材P30-32页，A组题、B组题。答案写在书上相应位置等候检查。
五、反思
大窝中学《导学案》 九年级 数学 授课教师__刘汉容 刘仲平 张静
课题: 27章 27. 3 用函数观点看一元二次方程（二）
课型： 自学+ 点拨+训练 课时：1课时 授课时间：第 15 周 学生：________
【学习目标】
1. 能根据图象判断二次函数的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
【学习过程】
一、知识链接：
根据的图象和性质填表：（的实数根记为）
（1）抛物线与轴有两个交点 0；
（2）抛物线与轴有一个交点 0；
（3）抛物线与轴没有交点 0.
二、指导自学（学生在规定的时间内独立完成下面的知识掌握过程，教师巡视做个别指导）
1.抛物线与轴的交点坐标是 。
抛物线与轴的交点坐标是 。
抛物线与轴的交点坐标是 .
2.抛物线
开口向上，所以可以判断 。
对称轴是直线= ，
由图象可知对称轴在轴的右侧，则>0，即 >0，
已知 0，所以可以判定 0.
因为抛物线与轴交于正半轴，所以 0.
抛物线与轴有两个交点，所以 0；
三、精讲点拨（教师根据学生的自学情况给予点评，并对相关知识做点拨归纳）
⑴的符号由 决定：
①开口向 0；②开口向 0.
⑵的符号由 决定：
① 在轴的左侧 ；
② 在轴的右侧 ；
③ 是轴 0.
⑶的符号由 决定：
①点（0，）在轴正半轴 0；
②点（0，）在原点 0；
③点（0，）在轴负半轴 0.
⑷的符号由 决定：
①抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
②抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
③抛物线与轴有 交点 0 方程 实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.
四、典型例题（学生认真识图并根据开口方向，对称轴，顶点坐标正确判断a,b,c符号）
抛物线如图所示,看图填空：
（1）_____0；（2） 0；（3） 0;
（4） 0 ;(5)______0；
（6）；（7）；
（8）；（9）
五、达标训练
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程的根为___________；
（2）方程的根为__________；
（3）方程的根为__________；
（4）不等式的解集为________；
（5）不等式的解集为_____ ___；
2.根据图象填空：
（1）_____0；（2） 0；（3） 0;
（4） 0 ;(5)______0；
（6）；（7）；
3.复习题P30页第5题
六、反思
??大窝中学《导学案》 九年级 数学 授课教师__刘汉容 刘仲平 张静
课题: 27章 二次函数复习
课型： 自学+ 典例+训练 课时：1课时 授课时间：第 15 周 学生：________
【学习目标】：
1、了解二次函数解析式的三种表示方法；
2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;（重点）
3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。
4、利用二次函数解决实际问题（难点）
【学习过程】
?一、知识链接（学生自学复习相关知识并完成下面内容,达到复习巩固的目的）
1.二次函数，二次项系数是???，一次项系数是??，常数项是???。
2. 函数y=x2的图象叫???线，它开口向?_，对称轴是__??，顶点坐标为?????.
3. 把二次函数配方成的形式为????????，它的图象是?????? ，开口向??? ，对称轴是????，顶点坐标是???????。
?
4. 将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新抛物线的解析式为（??? ）.
A. B.?C.??D. ??????
5.二次函数，当????? ?时，????? ?。此抛物线与x轴有??? 个交点。
?
二、典例精讲（学生思考并完成在学案上，教师做点题、示范）
例1.已知二次函数的图象如图所示，求其解析式。
例2.已知二次函数。
（1）填写下表，画出函数的图象；
x
?
?
?
?
?
?
y
?
?
?
?
?
?
（2）根据图象说明：
1.求方程的解； 2.当x取何值时，y>0 ？ 3.当x取何值时，y<0 ？
4.当x取何值时，y随x的增大而减少？
例3.如图是抛物线形拱桥，当水面在AB时，
拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降1米，
水面宽度增加多少？
?
三、达标检测
?1. 抛物线 的顶点坐标是 （??? ）
A. （0，1）B.（0，-1）? C.（1,0）?D.（-1,0）?
2．二次函数与x轴的交点个数是（?? ）
A．0??? B．1 ????C．2?????? D．3
3.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（?? ）
5.如图所示的抛物线是二次函数的图象，
那么的值是????????? ．?
6.已知二次函数的部分图象如图所示，
则关于的一元二次方程的解为???????? ．
7. 二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），
点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC
（1）求C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。
8.某旅行社团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元，
旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，
每人的收费就降低10元。请计算当旅行团的人
数是多少时，旅行社可以获得最大的营业额？
四、反思
课题: 27章 27. 3 实际问题与二次函数
课型： 自学+ 点拨+训练 课时：1课时 授课时间：第 15 周 学生：________
【学习目标】
（重点难点）1.会建立直角坐标系解决实际问题; 2.会解决桥洞水面宽度问题.
【学习过程】
一、知识链接
1.抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，
当x＝ 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.
2. 抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，
当x＝ 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.
二、指导自学（学生在规定的时间内独立完成下面的知识掌握过程，教师巡视做个别指导）
1、认真阅读、理解教材P20-P21，问题1、问题2内容.
2、建立相应直角坐标系，分析抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，并把它记在书上问题1、问题2的左边空白处。
3、根据开口方向、对称轴、顶点坐标，确定最大值（最小值），正确解答问题1、2所提问题。
三、精讲点拨
1、（引导学生）正确判断图象的开口方向，对称轴，顶点坐标，确定函数的最大值或最小值。
2、（引导学生）分析、得出所提问题中所需要的有效信息，并给予学生正确的书写示范。
3、（引导学生）在问题中正确设出函数解析式并根据题中所给的信息求解。
四、达标训练
1.以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系时,可设这条抛物线的关系式为___________.
2.拱桥呈抛物线形,其函数关系式为y＝－x2,当拱桥下水位线在AB位置时,水面宽为12m,这时水面离桥拱顶端的高度h是____________.
3.有一抛物线拱桥,已知水位线在AB位置时,水面的宽为4米,水位上升4米,就达到警戒线CD,这时水面宽为4米.若洪水到来时,水位以每小时0.5米的速度上升,则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
4.一座拱桥的轮廓是抛物线(如图①所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图②所示),其关系式y＝ax2＋c的形式,请根据所给的数据求出a.c的值;
(2)求支柱MN的长度;
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m,高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
5.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m时,水面
CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式.
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1h时,忽然接到紧急
通知:前方连降暴雨,造成水位以每小0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥？若能,请说明理由.若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米？
五、反思
大窝中学《导学案》 九年级 数学 授课教师__刘汉容 刘仲平 张静
课题: 27章 27. 3 用函数观点看一元二次方程（一）
课型： 自学+ 点拨+训练 课时：1课时 授课时间：第 15 周 学生：__________
【学习目标】
体会二次函数与方程之间的联系。（重点）
理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系（难点）
【学习过程】
一、知识链接：
1.直线与轴交于点 ，与轴交于点 。
2.一元二次方程，当Δ 时，方程有两个不相等的实数根；
当Δ 时，方程有两个相等的实数根；当Δ 时，方程没有实数根；
二、指导自学（学生在规定的时间内独立完成下面的知识掌握过程，教师巡视做个别指导）
1.解下列方程
（1） （2） （3）
2.观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：
函数
图
象
交
点
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
与轴交点坐标是
3.对比第1题各方程的解和第2题二次函数的图像与x轴的交点坐标，你发现什么？ ___
三、精讲点拨（教师根据学生的自学情况给予点评，并对相关知识做点拨归纳）
归纳：⑴一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .（即把代入）
⑵二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）
二次函数
与
一元二次方程
与轴有 个交点
（ ， ）（ ， ）
0，方程有 的实数根
与轴有 个交点；这个交点是 点（ , ）
0，方程有
实数根
与轴有 个交点
0，方程 实数根.
⑶二次函数与轴交点坐标是 .
四、达标测试
1. 二次函数，当＝1时，＝______；当＝0时，＝______．
2．抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；
3.二次函数，当＝________时，＝3．
4.如图，一元二次方程的解为 。
5.如图，一元二次方程的解为 。
6. 已知抛物线的顶点在x轴上，则＝____________．
7．已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_________．
8、完成教材P30-32页，A组题、B组题。答案写在书上相应位置等候检查。
五、反思
大窝中学《导学案》 九年级 数学 授课教师__刘汉容 刘仲平 张静
课题: 27章 27. 3 用函数观点看一元二次方程（二）
课型： 自学+ 点拨+训练 课时：1课时 授课时间：第 15 周 学生：________
【学习目标】
1. 能根据图象判断二次函数的符号；
2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。
【学习过程】
一、知识链接：
根据的图象和性质填表：（的实数根记为）
（1）抛物线与轴有两个交点 0；
（2）抛物线与轴有一个交点 0；
（3）抛物线与轴没有交点 0.
二、指导自学（学生在规定的时间内独立完成下面的知识掌握过程，教师巡视做个别指导）
1.抛物线与轴的交点坐标是 。
抛物线与轴的交点坐标是 。
抛物线与轴的交点坐标是 .
2.抛物线
开口向上，所以可以判断 。
对称轴是直线= ，
由图象可知对称轴在轴的右侧，则>0，即 >0，
已知 0，所以可以判定 0.
因为抛物线与轴交于正半轴，所以 0.
抛物线与轴有两个交点，所以 0；
三、精讲点拨（教师根据学生的自学情况给予点评，并对相关知识做点拨归纳）
⑴的符号由 决定：
①开口向 0；②开口向 0.
⑵的符号由 决定：
① 在轴的左侧 ；
② 在轴的右侧 ；
③ 是轴 0.
⑶的符号由 决定：
①点（0，）在轴正半轴 0；
②点（0，）在原点 0；
③点（0，）在轴负半轴 0.
⑷的符号由 决定：
①抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
②抛物线与轴有 交点 0 方程有 实数根；
③抛物线与轴有 交点 0 方程 实数根；
④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的 点.
四、典型例题（学生认真识图并根据开口方向，对称轴，顶点坐标正确判断a,b,c符号）
抛物线如图所示,看图填空：
（1）_____0；（2） 0；（3） 0;
（4） 0 ;(5)______0；
（6）；（7）；
（8）；（9）
五、达标训练
1.利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程的根为___________；
（2）方程的根为__________；
（3）方程的根为__________；
（4）不等式的解集为________；
（5）不等式的解集为_____ ___；
2.根据图象填空：
（1）_____0；（2） 0；（3） 0;
（4） 0 ;(5)______0；
（6）；（7）；
3.复习题P30页第5题
六、反思
??大窝中学《导学案》 九年级 数学 授课教师__刘汉容 刘仲平 张静
课题: 27章 二次函数复习
课型： 自学+ 典例+训练 课时：1课时 授课时间：第 15 周 学生：________
【学习目标】：
1、了解二次函数解析式的三种表示方法；
2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;（重点）
3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。
4、利用二次函数解决实际问题（难点）
【学习过程】
?一、知识链接（学生自学复习相关知识并完成下面内容,达到复习巩固的目的）
1.二次函数，二次项系数是???，一次项系数是??，常数项是???。
2. 函数y=x2的图象叫???线，它开口向?_，对称轴是__??，顶点坐标为?????.
3. 把二次函数配方成的形式为????????，它的图象是?????? ，开口向??? ，对称轴是????，顶点坐标是???????。
?
4. 将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则新抛物线的解析式为（??? ）.
A. B.?C.??D. ??????
5.二次函数，当????? ?时，????? ?。此抛物线与x轴有??? 个交点。
?
二、典例精讲（学生思考并完成在学案上，教师做点题、示范）
例1.已知二次函数的图象如图所示，求其解析式。
例2.已知二次函数。
（1）填写下表，画出函数的图象；
x
?
?
?
?
?
?
y
?
?
?
?
?
?
（2）根据图象说明：
1.求方程的解； 2.当x取何值时，y>0 ？ 3.当x取何值时，y<0 ？
4.当x取何值时，y随x的增大而减少？
例3.如图是抛物线形拱桥，当水面在AB时，
拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降1米，
水面宽度增加多少？
?
三、达标检测
?1. 抛物线 的顶点坐标是 （??? ）
A. （0，1）B.（0，-1）? C.（1,0）?D.（-1,0）?
2．二次函数与x轴的交点个数是（?? ）
A．0??? B．1 ????C．2?????? D．3
3.在同一坐标系中一次函数和二次函数的图象可能为（?? ）
5.如图所示的抛物线是二次函数的图象，
那么的值是????????? ．?
6.已知二次函数的部分图象如图所示，
则关于的一元二次方程的解为???????? ．
7. 二次函数图象过A、C、B三点，点A的坐标为（－1，0），
点B的坐标为（4，0），点C在y轴正半轴上，且AB=OC
（1）求C的坐标；
（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值。
8.某旅行社团去外地旅游，30人起组团，每人收费800元，
旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，
每人的收费就降低10元。请计算当旅行团的人
数是多少时，旅行社可以获得最大的营业额？
四、反思