2022届高考数学三轮复习冲刺：函数与导数强化训练 （word版含答案）

2022届高考数学三轮复习冲刺：函数与导数强化训练
一、单选题
1．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了个小球，其中个是白球，个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在个箱中各任意摸出一个小球；方法二：在个箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则（ ）．
A． B． C． D．以上三种情况都有可能
6．函数的一个单调增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数；以下几个结论：
①是的一个周期；
②在上有3个零点；
③的最大值为；
④在上是增函数.
则正确的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
8．某大型家电商场，在一周内，计划销售、两种电器，已知这两种电器每台的进价都是万元，若厂家规定，一家商场进货的台数不高于的台数的倍，且进货至少台，而销售、的售价分别为元/台和元/台，若该家电商场每周可以用来进货、的总资金为万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售、电器的总利润（利润售价进价）的最大值为（ ）
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
9．著名数学家 物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：℃）满足：.若常数，空气温度为 ，某物体的温度从 下降到 ，大约需要的时间为（ ）（参考数据：）
A．25分钟 B．24分钟 C．23分钟 D．22分钟
10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：.已知，当时，x的取值集合为A，则下列选项为的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
11．阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：的焦点为F，过A，B两点的直线的方程为，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．点P的坐标为
12．已知函数有两个极值点 ，则下列说法错误的是（　　）
A．
B．曲线 在点 处的切线可能与直线垂直
C．
D．
二、填空题
13．函数有极大值又有极小值，则实数的范围是______．
14．函数点处的切线方程为___________.
15．已知抛物线：的焦点为，直线与轴交于点，为抛物线上的一个动点，则的最大值为___________.
16．已知一条直线与平行四边形中的两边、分别交于点、，且满足，，点在直线上，，则的值为______．
17．某地在20年间经济高质量增长，GDP的值（单位，亿元）与时间（单位：年）之间的关系为，其中为时的值.假定，那么在时，GDP增长的速度大约是___________.（单位：亿元/年，精确到0.01亿元/年）注：，当取很小的正数时，
三、解答题
18．设，，．
(1)求的最大值；
(2)是否存在实数m，使不等式在上有解．
19．已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，证明：方程有且仅有一个正根.
20．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为等腰梯形， ，二面角为直二面角．
(1)求证：；
(2)若为等边三角形，当点M在棱BC上运动时，记直线SM与平面SAD所成角为，当最小时，求的值．
21．已知函数，.
(1)证明：为偶函数；
(2)若函数，，是否存在，使最小值为0.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22．如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设．
(1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；
(2)当为多少时，包装盒的容积最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
23．已知函数（，是自然对数的底数，）．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
(3)若函数有两个极值点，且，求的最大值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案
1．B
2．C
3．C
4．A
5．A
6．C
7．B
8．D
9．D
10．B
11．D
12．B
13．
14．
15．
16．
17．0.52
18．
(1)
解：，
令，则，
又，
∴
∴，
，
①当时，即时，g（t）在上单调递减，
∴；
由，，
∴当时，；
②当时，即时．
g（t）在上单调递增，
∴，
由即，
∴当时，；
③当时，，
，
∴；
(2)
设，
∵，，
∴，
即：，
∴．
而
∴，
令，
由且单调递减．
∴在单调递增．
则，在上递增，
所以，
则，解得，
19．
(1)
因为，所以，则，
当时，所以函数在上单调递增，
即函数的增区间为，无减区间；
(2)
因为，所以，
设，，所以，
当时，，则在为减函数；
当时，，则在为增函数；
令，则，
所以，，
设，则，则，
所以，，所以，
因为，当时，，
所以存在，使得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
因为，所以当时，；
令，
则，
所以，
所以，
且当时，，，
所以在区间有且仅有一个零点，
即方程有且仅有一个正根.
20
(1)
证明：设，因为四边形ABCD为等腰梯形，，
故，为等腰三角形，则，
而，，
所以，．
又二面角为直二面角，故平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以CD⊥SB．
(2)
以D为原点，分别以DB，DC所在的直线为x轴，y轴，
以过点D垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系D－xyz，如图．
设AB＝1，则，，，．
过点S作直线，交BD于点．
因为平面平面，平面平面，
所以平面．
又由，得，所以点在棱BC的垂直平分线上．
由对称性可知，A，，C三点共线．
由，得，即，则．
又由，得．
所以点S的坐标为，，且．
设平面的法向量，
则 即取，则．
设，，
则 ，
由题知，直线SM与平面SAD所成角为，则，
当时取等号，此时最大，最小，故．
21．
(1)
证明：定义域为，
，
即为，
则为偶函数；
(2)
解：
，
当时，，
令，则，，
当时，即，在上单调递增，
所以时，，解得，
当时即，时，，
解得：不成立；
当时，即，在上单调递减，所以时，，
解得不成立．
故存在满足条件的．
22．
(1)
设包装盒的高为, 底面边长为,
则
所以
其定义域为
(2)
由,可得,
当时,;当时,;
当时,取得极大值也是最大值:.
答:当时, 包装盒的容积最大是
23．
(1)
解：当时，
令，解得，，
所以，与的关系如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以当时，函数取得极大值，即，
当时，函数取得极小值，即；
(2)
解：因为，
所以
令，
则
依题意在上恒成立，
令，则，解得
(3)
解：因为，即，
则，
因为在上有两个极值点，
即在上有两个不等实根，
即在上有两个不等实根、，
因为，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
则，所以，解得，
所以，
所以在和上各有一个实根，
所以函数在上有两个极值点时，并且，
因为，
所以，
令，则，
当时，，单调递减，
因为，所以，即
则
因为且，所以满足题意的整数的最大值为；
答案第1页，共2页
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