2021—2022学年华东师大版九年级数学上册23.4中位线 课件 (共33张PPT)

(共33张PPT)
23.4中位线
知识回顾
D
A
B
C
E
1.如图，在 ABC中，DE∥BC，由图可得的相似三角形_____________.
ADE∽ ABC
AE
2.在上题中，如果D为AB的中点，则
即AE=____AC
E也为AC的中点
E
A
B
C
D
过三角形一边中点作另一边的平行线一定平分第三边
获取新知
在23.3节中，我们曾得到如下结论:
A
DE//BC
△ADE∽△ABC
D是AB的中点
E也是AC的中点
D是AB的中点
E也是AC的中点
DE//BC

猜想
C
如图，在△ABC中，点D、E分别是
AB与AC 的中点.根据画出的图形，
可以猜想：
DE // BC,且DE = BC.
对此，我们可以用演绎推理给出证明.
证明
证明：在△ABC中，
∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC,
∵∠ADE = ∠ABC,
∴
C
知识点总结
知识点
三角形的中位线
1
1. 三角形的中位线的定义
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
数学表达式：如图23.4-1，∵ AD=BD，AE=EC，
∴ DE 是△ ABC 的中位线.
知识点总结
知识点
三角形的中位线
1
特别提醒：
1. 一个三角形有三条中位线；
2. 三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形，三个面积相等的平行四边形；
3. 三角形的中位线与三角形的中线的区别：三角形的中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形的中位线则是连结两边中点的线段；
4. 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
知识点总结
知识点
三角形的中位线
1
2. 三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
数学表达式：如图23.4-1，
∵ AD=BD，AE=EC，
∴ DE ∥ BC，且DE= BC.
知识点总结
知识点
三角形的中位线
1
3. 三角形的中位线的应用
(1)三角形的中位线定理反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系，可以用来证两直线平行；二是数量关系，可以用来证线段的倍分关系.
知识点总结
知识点
三角形的中位线
1
(2)中位线具有平移角、倍分转化线段的功能，因此当遇到中点或中线时，应考虑构造中位线，即我们常说的“遇到中点想中位线”；相应地，若知道了三角形的中位线，则三角形两边的中点即可找到.
知识应用——例题解析
例1 求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知：如图, 在 △ABC 中，AD =DB，BE=EC, AF = FC. 求证：AE、DF互相平分.
证明：连结DE、EF.
∵AD = DB,BE = EC,
∴DE//AC(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半).
同理可得EF//BA.
∴四边形ADEF是平行四边形.
∴ AE、DF互相平分.
D
A
B
C
F
E
知识应用——例题解析
例2 如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G. 求证：
证明：连结ED.
∵D、E分别是边BC、AB的中点，
∴DE//AC ， (三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半).
∴△ACG∽△DEG,
∴
E
A
B
C
D
G
知识应用——真题演练
如图23.4-2，已知E 为平行四边形ABCD 中DC 边延长线上一点，且CE=DC，连结AE，分别交BC，BD 于点F，G，连结AC 交BD 于点O，连结OF.求证：AB=2OF.
1
知识应用——真题演练
证明：如图23.4-2，连结BE.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD.
∵E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，
且CE=DC，
∴AB∥CE，AB=CE，∴四边形ABEC是平行四边形，
∴点F是BC的中点.
又∵点O是AC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴AB=2OF.
知识应用——真题演练
如图，M 是△ ABC的边BC 的中点，AN 平分∠ BAC，BN ⊥ AN 于点N， 延长BN 交AC 于点D， 连结MN. 已知AB=10，BC=15，MN=3.
(1)求证：BN=DN；
(2)求△ ABC 的周长.
2
知识应用——真题演练
(1)证明：∵AN平分∠BAD，
∴∠1＝∠2.
∵BN⊥AN，∴∠ANB＝∠AND＝90°.
又∵AN＝AN，∴△ABN≌△ADN(ASA)．
∴BN＝DN.
(2)解：∵△ABN≌△ADN，
∴AD＝AB＝10.
∵DN＝BN，点M是BC的中点，
∴MN是△BDC的中位线．
∴CD＝2MN＝6.
∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＋AD＝10＋15＋6＋10＝41.
获取新知
B
C
D
F
G`
A
G`
三角形的重心的定义：三角形的重心是三角形三
条中线的交点．
三角形重心的性质：三角形的重心与一边中点的
连线的长是对应中线长的
如果在上图中，取AC的中点F，假设BF与AD交于G'，如下图，那么我们同理有， 所以有 ，即两图中的点G与G'是重合的.
于是我们有以下结论：
知识点总结
知识点
三角形的重心
2
1. 三角形的重心：
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心.
特别提醒：
●三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2 倍.
●三角形的重心是三角形中每条中线的一个三等分点.
知识点总结
知识点
三角形的重心
2
2. 三角形重心的性质定理：
三角形的重心与一边中点的连线的长是对应中线长的
注意：连结三角形顶点和重心的直线必然平分这个顶点的对边.
综合应用
1.如图是一块等腰三角形空地ABC,已知D,E分别是边AB,AC的中点,量得AC=10米,AB=BC=6米.若用篱笆围成四边形BCED来放养小鸡,则需要篱笆的长是(　　)
A.22米 B.17米 C.14米 D.11米
B
综合应用
2.如图所示，已知点E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，BE、CF相交于点G，FG＝1，则CF的长为(　　)
A．2 B．1.5 C．3 D．4
C
3.如图所示，在△ABC中，G为重心，连结AG并延长，交边BC于点D，若△ABC的面积为6 cm2，则△BGD的面积为_______．
1cm2
综合应用
4.在△ABC中，中线CE、BF相交点O、M、N分别是OB、OC的中点，
则EF和MN的关系是_______________.
平行且相等
达标训练
C
达标训练
B
达标训练
100
达标训练
8
达标训练
5．如图，点G是△ABC的重心，过点G作EF∥BC，分别交AB、AC于点E、F，且EF＋BC＝7.2 cm，求BC的长．
达标训练
达标训练
拓展研究（A1必做，A2选做）
课程总结——思维导图
中位线
三角形的中位线
两边的
中点
分中线长为1∶2
重心
平行于第三边
等于第三边的一半
关键
拓展
数量关系
数量关系
位置关系
你学会了吗？