第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动
《蚂蚁怎么走最近》
（义务教育课程标准北师大版八年级上册第一章第3节第一课时）
四川省成都市石室联合中学 易梅
一、教学内容解析
教材内容
本节内容是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第一章《勾股定理》第3节，学习勾股定理及其逆定理的应用，着重研究圆柱体侧面上的最短路径问题．
教学重点
运用勾股定理解决圆柱体、长方体等常见几何体上的最短路径问题．
地位作用
本节课的内容是勾股定理的应用，既可以让学生加深对勾股定理的理解，又可以让学生体会到勾股定理的应用价值．同时把立体图形问题转化为平面图形问题进行研究的方法，为高中进一步学习立体几何奠定了一定的基础．因此，本节内容具有承前启后的重要地位．
其次，把蚂蚁在圆柱侧面上怎么走最近的实际问题，抽象、转化为平面内两点间的最短路径问题，比较充分地体现了数学的转化思想，并有助于发展学生的数学建模能力．同时，通过立体图形展开与折叠的过程，进一步发展了学生的空间观念．
二、教学目标设置
1．学会运用勾股定理计算解决圆柱、长方体等常见几何体上的最短路径问题；
2．通过对圆柱体侧面、长方体表面的展开与折叠，发展学生的空间观念，体会数学的转化思想；
3．在运用勾股定理解决实际问题的过程中，体会勾股定理的应用价值，培养数学建模能力．
三、学生学情分析
知识基础
在本节课前，学生已了解勾股定理，熟悉线段公理，对图形的展开与折叠有一定的认识，也具备一定的把实际问题抽象为数学问题的经验．
认知水平
我校八年级学生普遍数学基础较好，但个体之间有一定的的差异．在此阶段，他们正处于由直观形象思维为主向以抽象逻辑思维为主过渡的思维发展关键期．
我班学生爱问好动，求知欲强，对动手操作、小组合作、集体讨论等形式多样的学习方式很感兴趣，有较强的参与欲望，希望能在课堂上得到充分的展示．
教学难点
如何将立体图形上的最短路径问题转化为平面上两点之间的距离问题，从而实现把空间关系转化为线性计算．
突破难点的策略
通过情景创设，激发兴趣．设置层层深入的问题，用巧妙的语言调动把学生的思考逐步引向深入．鼓励学生动手操作，合作交流，经历探索过程，得出结论．通过归纳小结和方法提炼环节，让学生内化本节课的知识和方法，从而突破难点．
四、教学策略分析
教材处理
1．将本节内容细分为两课时
教材把勾股定理及其逆定理的应用合为一课时，探究内容和问题设计稍显单薄．为了丰富教学内容，体现勾股定理应用的广泛性，在教学设计时将其分为两个课时，本节课是第一课时，只研究勾股定理的应用．
2．保留课本探究，改编课后练习
教学设计中保留了教材中“蚂蚁在圆柱体侧面怎么走最近”的探究内容，而这一内容仅针对一种旋转体，为了实现对另一种重要几何体——多面体的探究，我对教材课后练习进行了挖掘，将习题1.5的第3题进行了改编，作为课堂探究2．
3．补充拓展应用
由于我班学生普遍数学基础较扎实，接受新知的能力较强，因此补充了拓展应用以满足学生的学习需求，并实现与前期知识的综合运用．
教学方法
本节课采用“探究——发现”的教学模式进行教学，以有趣的情景引出问题，用问题串引导学生自主探究，发现解决问题的方法，并为学生搭建参与和交流的平台．
学习方法
学生在教师的引导下，通过动手操作，自主探究，交流展示等活动，获得本节课的知识与方法．
教具准备
教材、多媒体课件、实物投影仪、圆柱体、长方体、直尺、剪刀等．
五、教学过程
教学内容与教师活动
学生活动
设计意图与说明
（一）情景引入
科学家证实，在生物界中蚂蚁有一种神奇的天性——总能选择最短路线去获取食物，似乎很擅长于数学中的几何学．
以蚂蚁在觅食过程中发现路径的行为作为灵感，科学家创造出了一种新的全局优化仿生算法——蚁群算法．拥有蚁群算法的机器人，已经开始在交通、电信、路桥等方面进行应用．
（二）温故知新
如图所示，在一个长为40cm，宽为30cm的长方体蛋糕盒顶部，顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到相对顶点B处的蛋糕，如何爬行路径最短，最短路径是多少？
（三）合作探究
探究1——圆柱体侧面最短路径问题
如图，有一个圆柱形蛋糕盒，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的蛋糕，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（π的值取3）
1．提出问题，独立思考，引发探究
问题1：当A、B两点在一条母线上时，怎么走最近？
问题2：当B点移动到上底面上与A点相对的B点处时，蚂蚁怎么走最近？
2．小组合作，交流展示，形成方法
教师深入小组，参与学生交流，关注学生的参与程度，动手能力和合作意识，以及在探究过程中表现出的思维水平．
在各组展示后，教师引导性提问：
（1）我们要找的仍然是两点间的最短路线，已有经验是两点之间线段最短，你能在侧面上找到连接这两点的一条线段吗？（不能）
（2）此时不能在侧面连成线段的原因是什么？（因为路径不在同一平面内）
（3）你能不能想个办法把连接AB两点的路径“放到”一个平面上？（借助七年级学过的立体图形表面展开的知识）
3．深入探究，解决问题，总结方法
（1）教师深入小组指导．
a．对学生不同的展开方式只要正确都予以肯定评价，同时引导学生发现更优的展开方式．
b．预设部分学生会找错展开图中B点的位置，教师引导他们发现并自我修正．
（2）教师动画演示侧面展开过程．
（3）将展开图还原为圆柱．
（4）师生总结：利用展开图，把立体图形转化为平面图形是解决这一类立体图形上最短距离问题的主要方法．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
．
∴厘米．
因此，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15厘米．
探究2——长方体表面最短路径问题
如图所示，有一个长方体，它的长、宽、高分别为5cm，3cm，4cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到与顶点A相对的顶点B的食物．已知蚂蚁沿长方体表面爬行的速度是0.8cm/s，问蚂蚁能否在11秒内获取到食物？
1．探究所有可能路径
（1）解读问题，统一探究方向
教师提问：决定蚂蚁能否在11秒内获取到食物的关键是什么？
（2）小组探究，明确六种可能
a．怎样才能找到最短路径?
b．进一步提出有几种不同的展开方式可以得到可能的最短路径AB，引发学生小组合作交流．
c．全班汇总方案，教师点评，优化列举法．
（3）优化方案，确定三条路线
提出问题：要知道哪条路径最短，是否需要把这6条AB的长度都算出来进行比较呢？还有没有优化的空间？
教师利用多媒体动画演示展开过程：
2．确定最短路径
（1）板演计算，得出最短路径
教师板书如下：
；
；
．
因此，最短路径为．
∵，，
∴蚂蚁能在11秒内获取到食物．
（2）还原立体，感受最短路径
（3）观察计算过程，发现规律
（教师在书写格式上刻意留下了让学生发现规律的空间．）
3．推广延伸
若探究2中的长方体长、宽、高分别为a，b，c，且a＞b＞c，找出沿正方体表面从点A到点B的最短路径，并说明理由．
（1）独立思考，猜想验证规律
（2）应用规律，解决特殊问题
a．当a=b=c时，有几种情况？
b．当a，b，c中任两个量相等时，情况又如何？
（3）教师小结，深化思想方法
回顾探究2的过程，总结如下：
数学思想：转化、分类与整合
研究方式：大胆猜测，严密论证
研究方法：从特殊到一般再到特殊、
类比方法
（四）方法提炼
解决实际问题的关键是根据实际问题建立相应的数学模型，解决这一类几何型问题的具体步骤大致可以归纳如下：
1．审题——分析实际问题；
2．建模——建立相应的数学模型；
3．求解——运用勾股定理计算；
4．检验——是否符合实际问题的真实性．
（五）拓展应用
成都动物园大鸟笼（百鸟苑），苑内一条参观道围绕中间直径为20米，高10米的立柱形成架空参观廊桥，视野开阔，可与鸟类近距离接触，同时也节约了占地面积．
已修成的这条参观道绕立柱一周，最高离地面10米，总长70米，每米造价约为1万元．
教师提问：
若请你来当参观道的设计师，依然绕圆柱一周，最高离地面10米，每米的造价不变，你能设计出一个最省钱的方案吗？
独立思考，交流方案
（课前预设：学生容易想到借助展开图解决此问题，但可能在确定并解释最高点的位置上出现困难．）
2．联想旧知，分析解决
（1）利用轴对称思想解决问题
作点A关于BB'的对称点P，连接PA'，与BB'交于点M．
则最短路径．
在Rt△PA'A中，
∴米．
因此，最省钱的参观道长约为66米，造价约为66万元．
（2）评价学生的设计方案
从数学和生活实际等角度出发对设计方案进行评价．
（六）归纳小结
（1）教师引导学生总结：
a．知识价值——勾股定理的应用；
b．模型化思想及其基本步骤；
c．数学思想方法：化归、从特殊到一般再到特殊、分类与整合等．
（2）教师寄语
希望将来有致力于数学研究的同学，能研究出像蚁群算法这样的应用技术，让数学更广泛地应用于实际，服务于社会．
（七）作业布置
1．（必作题）习题1.5第1，2，3题；
2．（选作题）如图所示，有一个无盖长方体，它的长、宽、高分别为10cm，5cm，3cm．在顶点A处有一只蚂蚁，它想吃到棱上距顶点2cm的P点处的食物，蚂蚁怎样走最近？
请估计最短路程
约为多少？
学生观看动画，了解情景．
学生利用线段公理，通过勾股定理解决．
学生直接应用线段公理解决问题．
学生在思考中产生认知冲突．
学生动手操作，小组合作探究．
任选3组学生展示方案，交流方法．
学生在问题串引导下深入思考，逐步形成方法．
学生动手操作，交流方法，代表小组在讲台上交流，板书过程，并介绍方案．
学生欣赏动画，并体会方法．
学生动手把展开图还原为圆柱．
学生独立思考，得出关键就是要算出最短路程和11秒内蚂蚁爬行的距离8.8cm进行比较．
学生交流感知多种方案，并在组内交流，互相补充完善方案．
生生互动找全方案，优化列举法．
学生从对称角度考虑，留下三种本质不同的方案．
学生观看动画，进一步梳理思路．
学生观看动画演示并动手折叠，还原立体，在空间中感受蚂蚁爬行的最短路径．
学生结合图形通过计算不难发现：三条AB的长度，分别是以长方体的长、宽、高之一作为一条直角边，其余两者之和作为另一条直角边的直角三角形的斜边长．
学生独立思考，发现规律，并验证．
学生应用规律，口头作答．
学生回味探究中学到的方法和体验到的数学思想．
学生在教师引导下总结．
学生欣赏图片并了解“百鸟苑”内参观道的信息．
学生独立思考，设计并交流方案．
学生联想到这一问题与所学过的一个最短路径模型相吻合，利用轴对称来找最短距离．
学生从数学知识、思想方法等方面进行全面总结．
学生课后完成必作题，选择完成选作题．
激发学生对课题的好奇心，让学生充满探究的欲望．
让学生体会知识点间的联系与发展，同时也为在立体图形上探究最短路径做好铺垫．
探究1是教材内容，探究旋转体（圆柱）侧面最短路径问题．
使学生意识到对问题2，已有的经验已无法解决，需要寻找新的方法，自然引发学生的探究欲望．
培养学生动手操作能力，让学生经历探究过程．
预设多数学生能凭感觉画出路径，但说不出依据.此时，教师以问题串的形式引导学生思考形成方法．
让学生通过动手操作，明确方法．通过师生互动，生生交流，完善方案，解决问题．
通过动画演示强化思路，加深对方法的认识和理解．
“还原”的过程验证了最短路径在空间的存在性，同时有助于发展学生的空间观念．
探究2将教材课后练习中长方体表面上最短路径探究作为教学内容进行了深入研究，从而实现对另一种重要几何体——多面体的探究．
一方面考虑到部分学生没有明确思考方向，另一方面也是为了让学生可以把探究的重心集中到对最短路径的寻找和判断上．
从初步感知多种可能，到互相补充找全方案，最后再到优化列举方法，逐步培养学生思维的严密性．
利用动画演示展开过程，让学生明确本质不同的三种方案，使思路更清晰．
在空间验证最短路径的存在，发展学生的空间观念．
为推广到一般情况作铺垫．
从特殊到一般，并用类比方法论证一般规律．
再从一般到特殊，将规律应用于特殊情况，从而形成对长方体（含正方体）表面展开图的全面认识．
把实践上升到理论高度，逐步渗透数学思想方法．
及时总结解决问题的一般方法，让学生有体验，有总结，有提升．
我校在上学期5月份组织学生参观了成都市动物园，以此为背景，结合我班学生实际，设计了该拓展应用，旨在增强学生解决实际问题能力的同时，进一步发展学生的数学思维品质，体会数学的应用价值．
学生在交流过程中相互借鉴，促使学生深入思考．
拓展应用环节让学生综合运用展开图、轴对称、全等、勾股定理等知识解决问题，发展学生数学建模能力和空间想象能力．
围绕本节课的重难点进行总结，使学生内化本节课的知识和方法．
积极的教育期待可以增强学生的学习动力．
分层布置作业可以满足不同层次学生的需要．必作题供全体学生基础过手．选作题将探究2中的长方体进行了两方面的变式：变有盖为无盖；变一个顶点为非顶点．此题也可作为备用题，用于调控课堂．
附：板书设计
六、设计说明
设计理念
在课堂教学中学生是学习的主体，教师是组织者、引导者、合作者，因此在教学设计中，我通过设置动手操作、合作探究、交流展示等活动，突出了学生的主体地位．
教学反思
1．目标达成
2．课堂评价
在教师评价时，关注学生的参与程度和思维水平，关注学生对基本知识的掌握情况和解决实际问题的意识和能力；其次在教学过程中尊重学生的个体差异，对于学生的不同思思维方式，只要合理都给予鼓励和肯定，帮助学生树立学习数学的自信，充分发挥教学评价的价值．同时为学生提供生生评价的平台，让学生间学会质疑，学会互相欣赏、学习和借鉴．
3．课后反思
整堂课中，同学们对我创设的问题很感兴趣，探究非常主动，回答问题非常踊跃，分组讨论、展示活动表现积极．师生交流、生生交流使思维碰撞出火花，生成了一些新的思路，学生的表现超出了我的预期．
在拓展应用环节，我留给学生思考的时间可能不够充分，使得独立解决“百鸟苑参观道”问题的学生较少．若能再留给学生一些交流时间，可能情况会更好．
指导教师评价
易梅老师这堂课以问题为载体，以学生探索活动为主线，让学生通过自主学习发现问题，合作交流解决问题，教学效果好．
从教学设计上看，首先以“蚁群算法”引入，激发学生探究欲望．探究1、探究2和拓展应用三个环节环环相扣，设置层层深入的问题把学生的思考逐步引向深入．
在课堂实施中，教师巧妙的语言调动和问题设计，有效地调动了学生的参与热情．特别是在探究2的交流中，学生的思维展现得淋漓尽致，充分体验到了学习的成功喜悦．学生巧妙的解答甚至超出了教师的预期，而教师临场的睿智点评又将学生的思维水平引向新的高度．与此同时，通过归纳小结和方法提炼环节，让学生进一步内化了本节课的知识和方法．
在教学设计和课堂实施中，我们可以清晰地看到教师在教材处理和培养学生能力方面的精心考虑和独具匠心．教师在引导学生解决实际问题的过程中，渗透了模型化思想．通过让学生动手折叠和利用多媒体直观演示立体图形的展开与还原过程，发展了学生的空间观念，渗透了数学的转化思想．
总之，这堂课很好地达成了预期目标，是一堂非常成功的课．
指导教师：杨泽海
心、情、好
——关于王远彬老师的公开课的几点体会
王远彬老师是我校成长最快的青年数学教师之一。我观摩了这堂课从设计到实施的全过程，对这堂课的体会可以概括为三个字“心、情、好”。
1、?设计用心
教学的核心就是“教学设计”。王远彬老师在以下几个方面表现了他对这堂课的设计的独具匠心。
（1）目标设计定位准确：本节课三维目标设计全面，标高适度，符合学生的学情，对本堂课的实施起到了很好的定位和定向作用。
（2）情景设计推波助澜：这堂课用“比萨视频”引入，在课堂“第一时间”抓住了学生的注意力、极大地激发了学生的学习热情！同时引发学生思考、感知概念的发生；第二是创设问题情景，层层深入的“问题串”，可激发学生的探索欲望，培养创新精神，拓展思维能力；第三是在操作中猜想，意在养成数学思维习惯，自主获得数学结论，感悟数学魅力。
（3）过程设计缜密科学：本课教学过程包括创设情景、形成概念——合作探究、发现性质——挑战自我、应用拓展——回顾反思、总结提升——课后反馈、布置作业。每一个环节都很注意细节，比如时间、方式、板书、达成 的目标等等都有具体的操作性设想。其中对余角定义的辨析、余角性质的探索、对顶角概念的“再发现”以“学生活动”为主线贯穿起来．每个活动的展开是通过一个个问题链的设置实现的，整堂课创造一个适合学生探索的环境，通过不同的途径引导其自主探索，形成了较好的数学学习经验．设计特别强调数学知识和技能的训练，渗透“类比”、“从特殊到一般”、“建模”和“化归”的数学思想与方法，体现了王远彬老师站位很高．本课在“应用拓展”中设计了两个例题和一个变式训练，每个问题在这堂课中都扮演好了自己的角色，为实现教学目标做出了贡献。
2、教学动情
教学应该是一门艺术，而教学的艺术在于教师个性化的教学功力、在于细节的处理、在于应变的机智、在于美的升华。当然，王远彬老师的课还不能说达到了多高的艺术境界，但是作为年轻教师，在标高的把握、节奏的控制、以及表达、演示、计算、推理、应变等方面，王远彬老师已经表现出扎实基本功。特别值得赞扬的是他面向全体学生，尊重学生个性风格，重视学生个性思维亮点及兴趣特长的发现、珍视和鼓励，及时中肯评价学生；特别值得称道的是他的激情、迸发的青春活力，不仅感染了学生，也感染了听他课的每一位老师！
3、效果真好
从教学实际情况看，这节课不仅完成了教学任务、实现了既定的教学目标（理解/掌握/思维训练/语言表达/学习方法等），而且王远彬老师特别重视在概念的辨析及应用中展示数学思维过程，渗透数学思想和方法，使学生通过做数学、思数学、玩数学去感悟数学的严谨、趣味、美丽和深邃。教学中，通过度量、旋转等操作活动，精心设计了一个又一个带有操作性、启发性和思考性的问题，引导学生动手操作，思考问题，同时教师适时地引导，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，整个课堂呈现一幅生动活泼的、主动和谐和富有个性的学习活动画面．王远彬老师还不失时机地对学生进行了科学的数学学习方法的指导。
?王远彬老师的这堂课，每次试讲老师们发表意见如同百花齐放。比如提问方式的设计，提问的准确性、有效性的考虑。在语言表达上要注意控制语速、节奏和清晰程度，使老师的表达更具有感染力。环节之间的过渡应更自然一些。但是，瑕不掩瑜。这无疑是一堂优秀的课。
成都石室中学初中学校 冉云
2012-9-13
《余角与补角》教学设计
(七年级下册·第二章第一节)
成都石室中学初中学校 王远彬
一、【教材分析】
1．教学内容
本节内容是北师大版教材《数学七年级（下）》第二章《平行线与相交线》的第一节，主要内容是理解余角、补角、对顶角的定义及性质．
2．地位与作用
本节课是学生在学习了“角、直角、平角的定义”、“角的大小比较”等内容的基础上，对角与角之间关系的进一步深入和拓展，它为以后证明角相等提供了一种重要依据．因此本节课起着承上启下的作用．同时本节课中从“数量”关系定义余角、补角，从“位置”关系定义对顶角，使学生对定义认识的深度、广度得以拓展．
二、【学情分析】
1．知识基础：学生已经学习了直角、平角，比较角的大小等有关基础知识，并能用这些知识解决简单问题．
2．认知水平和能力：七年级学生具有初步的观察、分析、概括能力，有着一定的学习经验及活动经验，形成了较好的参与意识和合作意识．并能在教师引导下低起点、小步距进行探究．
3．任教学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能较好地应用所学知识解决问题，但逻辑推理能力和用数学语言进行正确表达的能力还有待进一步提高．
三、【目标分析】
1.教学目标
依据教材的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：
①通过在生活情境中从数学角度发现问题、提出问题，让学生理解余角、补角、对顶角的概念．
②通过学生经历探究活动中的动手操作，合作交流，使学生掌握同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等，对顶角相等的性质．
③通过对余角、补角性质的探究，渗透从“特殊”到“一般”、类比的数学思想方法；会对文字、图形、符号三种语言进行相互转化．
④通过关于比萨斜塔的新闻轶事引入，让学生感受数学来源于生活，生活中处处有数学，体会学习数学的价值．
2.教学重点及难点
重点：余角、补角、对顶角的定义及性质
难点：余角、补角性质的合情推理和数学语言的规范表达
重、难点解决的方法策略
根据七年级学生的认知特点，乐于动手操作探究，易于在实践中明确事理，故而本节课采用以实验发现法为主的教学方法.教学中，通过剪裁、度量、旋转等操作活动，精心设计了一个又一个带有操作性、启发性和思考性的问题，引导学生动手操作，思考问题，同时教师适时地引导，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于自主探索、合作交流的积极状态，形成生动活泼的、主动的和富有个性的学习活动，从而掌握余角、补角、对顶角的定义及性质，并能运用性质解决简单的问题．
四、【教学模式与教法、学法】
本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法突出活动的安排与问题的引导．
学生的学法突出动手操作、探究发现与归纳建构．
教具：教材，多媒体课件，剪子，纸质直角三角板
学具：三角板，量角器，教材，练习本
五、【过程设计】
结合教材知识内容和教学目标，本课的教学环节及时间分配如下：
教学过程：
活 动
说 明
一、引入概念
首先播放一段有关著名的比萨斜塔近况的新闻视频，提出问题：
从视频得知，“塔身的倾斜度由原来的5.5变成现在的3.99”， 你知道其中的
①看视频；
②体会生活中的数学知识；
③思考、交流
用比萨斜塔“正身”吸引学生，激发兴趣．
5.5和3.99是怎么测量的吗？注意这里的测角仪不能直接伸入塔身．
（学生相互讨论，提出初步测量方案）
（根据学生回答，进一步追问.）
问题一：如果我们使用测角仪测量出了的大小，能否得出塔身的倾斜度呢？为什么？
问题二：如果想得到塔身与地面所成角中最大的角的度数，能行吗？为什么？
二、形成概念
师：在刚才的问题解决过程中，我们用到了两个角的和分别是90，180，于是定义：
如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角．如果两个角的和等于 180°（平角），就说这两个角互为补角．
三、辨析概念
师：请一名同学为大家朗读定义，并重读关键词．
（辨析概念中的两个关键词“两个角”、“互为”）
动手操作：请同学们用手中的剪刀和纸质的三角板，通过“剪——移——拼”的过程，探究直角三角形两锐角之间的关系．
（通过学生动手操作，内化余角的定义，感知余角定义的实质，为学生类比理解补角定义打下基础．）
对余角定义的辨析：①“两个角”，“互为”；②是从“数量”关系进行定义；③．
(学生类比完成对补角定义的辨析)
四、应用概念
小试身手：下列各角哪些互为余角，哪些互为补角？
② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
从实际生活情境中感知概念，形成概念的初步印象．
感知概念
朗读概念，重读关键词．
动手操作，合作交流．
学生独立完成，老师投影展示一名学生的作业．
引导学生初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题．
体会数学来源于现实生活，生活中处处有数学，从而体会数学的价值．
通过比萨斜塔视频引入，学生经过抽象概括后，自然形成概念．
注重从文字、图形、符号三种语言对定义进行刻画．
动手操作是概念变式的一个环节．目的是让学生体会概念从“数量”定义，与两角的 “位置”无关．
渗透类比的数学思想方法
完成学生对概念的自我建构——辨析之后，进入概念的简单应用环节．
五、探究活动一
以同桌为一组，将手中的三角板△AOB，△COD的直角顶点O重合在一起.
①观察猜想：如图放置，度量与，你发现了什么？
②操作验证：请甲同学旋转△COD，乙同学观察与的大小变化，①中的结论还成立吗？
③推理论证：请用所学知识论证你的发现．
证明：
（等量代换）
（请一名学生板书证明过程，教师批注．）
师：你能用一句话归纳刚才的发现吗？
余角的性质
同角（或等角）的余角相等．
小试身手：
1．已知△ABC中， ，，试找出下图中相等的锐角，并说明依据．
合情推理：
与为
同一个角的
余角，据余角的
性质得；
与为同一个角的余角，据余角的性质得；
（教师协助、点评“小老师”的讲解）
2． 已知点O是线段AB上一点，，试找出图中相等的锐角，并说明依据．
合情推理：
与互余，
又与
(同角的余角相等)
同理与
(同角的余角相等)
问：刚才的寻找等角过程中，我们用到了哪些知识？
通过类比，我们得到补角的性质：
同角（或等角）的补角相等．
六、探究活动二
使用剪刀时，哪对角的变化大小相同？请描述这组角的位置特征．
（学生用文字语言描述对顶角定义具有一定难度，教师要不断地引导、修正，从而提高学生表述的准确性、规范性．）
对顶角的定义
两边互为反向延长线的两个角互为对顶角．
对顶角的概念辨析： 对顶角是从“位置”关系进行定义．
对顶角的性质
对顶角相等．
问：为什么对顶角相等？你能用今天所学知识进行论证吗？
小试身手：
下列图形中，与是对顶角的是图 （3）
（1） （2） （3） （4）
七、应用拓展
例1 若一个角的补角等于它的余角的4
倍，求这个角的度数．
解： 设这个角是x°，则它的补角是（ 180-x）°,余角是(90-x)°
根据题意得：
（180-x）= 4 (90-x)
解得： x =60
答：这个角的度数是60°.
例2 如图，直线AB与CD相交于点O， E是内一点，
已知,
，
则．
思路一：
是的补角，是的余角．
思路二：
，是的对顶角．
变式 如图，已知直线AB、CD相交与点O，OA平分，，点F是内一点，
且，
则.
（“小老师”讲解，教师点评，并归纳）
【习得】 求一个角可以通过转化为求其余角、补角、对顶角来完成 ．
八、总结提升
1．我学到了哪些知识？
余角、补角的定义及性质；
对顶角的定义及性质；
它们定义的方式分别从“数量”与“位置”关系进行；
求解一个角常常转化成它的余角、补角、对顶角来达成．
2．今后我可以采取怎样的方法学习几何概念？
形成概念——辨析概念——应用概念
3.本节课渗透了哪些数学思想方法？
从“特殊”到“一般”、类比、化归
4. 作业布置：
《石室初中能效作业》相应部分（分层：A，B组）
（A层全班同学完成，B层是部分同学完成）
5．挑战自我：
请任意作出一个三角形，在其中添加一条线段构造出互余、互补的角，并写出它们．
合作、交流，经历“观察猜想—操作验证—推理论证”的探究过程．
学生用文字语言表述结论．
先独立思考，学生在“小老师”登台讲解、老师点拨的情况下熟悉、巩固余角的性质．
学生运用余角性质合情推理．
学生在教师的引导下，分析图形的特征，并尝试对图形进行分解与组合、抽象．
类比余角性质完成补角性质．
小组讨论，运用文字语言表述与的位置特征．
请一名学生用自己的文字语言描述对顶角定义．
体会几何概念定义方式的多样性．
完成“小试身手”，并说出依据．
独立思考，集体订正．注意解题格式的规范．
学生独立思考，请代表上讲台讲解自己的思路．
熟悉、内化概念，渗透“化归”的数学思想
学生独立完成，“小老师”上讲台讲解，集体订正．
教师引导下回顾解决例题及变式用到的知识和数学方法，书写自己的习得．
本环节由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容．
在探究活动一中，学生动手操作（度量、旋转）验证了结论，又通过说理的方法证明了结论，充分体现了实验几何与论证几何的有机结合.
渗透“特殊”到“一般”的数学思想，学生亲历数学建构过程
小试身手的设计为了及时巩固学生对余角性质的掌握，并为后面证明两角相等打下基础．
学生通过探究获得余角性质后，设计2个实例应用性质．而“寻找等角”为后面学习探索直线平行的条件、三角形全等、相似奠定基础．
教师注意了引导学生对文字语言、图形语言和符号语言进行转换，培养学生运用数学语言准确表达的能力．
通过小组合作交流，培养学生用文字语言表述数学问题的能力．
理解概念的本质．对顶角从“位置”关系进行定义．
用补角的性质推导出对顶角相等，感悟数学逻辑的严密．
区别对顶角的定义与对顶角的性质．
熟练应用任意角的余角、补角．
例2及变式的设计体现了几何入门阶段，对识图能力、书写格式等基本功的重视，教师在例题的处理过程中，注重了培养学生用分析法来解决几何问题．
注重余角、补角、对顶角的概念在问题解决中的灵活应用．
重视学生的解题反思．
有利于学生对知识掌握更加系统化，并从感性认识上升到理性认识．
设置开放性的问题，有利于学生创造性思维的培养．
板书设计：
六、【课后反思】
根据教学经历和学生反馈，本堂课教学设计操作性强，效果良好.课堂中学生通过概念辨析教学，对余角、补角、对顶角的概念理解较深入，能辨别三个角和为180°与补角概念之间的区别，能很好识别对顶角．通过探究活动得出性质让学生对性质的掌握更为牢固，如本堂课中应用补角性质对对顶角相等加以证明以及课后作业都说明了这一点．而范例及变式的训练使学生对化归的数学思想方法理解更为深入，逐步形成多种方法解决问题的习惯，并能规范解题．综合以上情况，我对本课的教学设计有如下反思：
（1）突出学生动手操作，合作探究
根据新课程课堂教学活动的基本理念:“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”，因此，我在本课教学设计中突出了学生的动手操作，自主探索，鼓励学生积极参与互动交流，教学设计中对余角定义的辨析、余角性质的探索、对顶角概念的“再发现”用学生动手操作这条线贯穿起来．每个活动的展开是通过一个个问题串的设置实现的，整堂课创造了一个适合学生探索的环境，通过不同的途径引导其自主探索，形成了较好的数学学习经验．
（2）注重数学思想的渗透
本课的设计注重渗透了从“特殊”到“一般”、类比和化归的数学思想与方法．课堂中，余角性质与补角性质之间的关系，探究余角性质由有限的度量过渡到任意时刻结论是否成立，拓展应用中角之间的转化都充分体现了这些数学思想方法的渗透．
（3）遵循概念学习规律
本课的设计特别强调学生对概念的学习规律，遵循“引入概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的认知过程，利用视频中蕴藏的数学知识引入概念，形成初步感知，通过学生朗读概念、动手操作内化概念，小试身手应用概念等环节达成对概念的深入理解．
（4）注重学生体验，培养良好习惯
本课注重学生知识的自我建构，在探究过程中使学生经历“观察猜想——操作验证——推理论证”的数学体验过程，形成良好的学习习惯．
（5）目标达成
在本节课的教学中，为了达成教学目标，我注意了教学环节的设计与教学目标的达成相呼应，做到目标确定环节，在环节中实现目标，具体如下：
敬请各位专家批评指正！
附1：教案说明
《余角与补角》
教案说明
概述
本教学设计分为六个部分，包括：教材分析，学情分析，目标分析，教学模式与教法、学法，过程分析和教学反思.设计从实际生活情境引入余角、补角概念，学生经历“观察猜想——操作验证——推理论证”的数学体验过程得到余角、补角性质；设计中结合本班学生的学习实际情况，从而确定了教学活动的关键点.以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从六个环节进行具体的设计.下面从如下几个方面进行详细说明.
一、本节教学内容的数学本质与目标定位
本节课教学内容为“三个定义”、“三个性质”，即余角、补角、对顶角的定义及性质.
1．揭示了概念学习遵循的规律
本节内容中三个概念是学生学习的重点，概念学习须遵循学生对概念的认知规律，即“感知概念——内化概念——巩固概念——应用概念”，为此本教学设计通过“引入概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的教学环节设计达成学生对概念的理解、掌握.
2．展示了几何概念的两种定义方式
本节内容中从“数量”关系定义余角、补角，从“位置”关系定义对顶角，展示了几何概念的两种定义方式与角度，使学生对几何概念的认识在深度和广度上得以拓展，为后续学习概念积累了经验.
3、渗透了数学思想方法
在整个教学过程中渗透了从“特殊”到“一般”、类比、化归的数学思想方法，使学生进一步体会数学几何学习的精髓和本质.
4、体验了数学理性精神
通过让学生经历动手操作、合作交流的探究活动达成对余角、补角性质的获得，学生经历“观察猜想——操作验证——推理论证”数学体验过程，发展性质探究中需要的观察、分析、归纳、概括、能力，经历数学理性精神的体验.
二、教材地位及作用
本节内容是学生在学习了“角、直角、平角”，“比较角的大小”等知识的基础上，对角与角之间的关系作进一步深入和拓展.它为今后证明两角相等提供了一种重要依据和方法，对今后学习探索两直线平行的条件，三角形全等、相似都起着铺垫性作用.此外，余角、补角、对顶角的概念在物理学上对求解入射角、反射角、折射角有着一定的帮助.
教材中只给出了余角、补角及对顶角的性质，并没有要求对他们进行说理、论证，由于我校的学生在七年级（上）的学习时，已经接触了简单的说理，因此在这里，我引导学生使用符号语言结合图形，对性质进行了说理，同时在对三个性质进行说理的过程中，教师都给出了规范的说理过程，这样既符合学生的实际学习情况，又为后面学习证明（一）（二）（三）打下基础.
三、教学过程诊断分析
七年级学生初步具备了一定的观察、分析、归纳概括的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化仍有一定困难，尤其是规范使用三种语言的能力还相当欠缺.
1．学生在明确了余角、补角定义以后，通过探究获得“同角（等角）的余角相等”这一性质，但有不少同学在解题中，愿意用“等量代换”，而不习惯使用余角、补角性质.因此，教师通过“小试身手”不断引导学生尝试使用新学的性质.
2．学生在观察剪刀使用过程中始终相等的两角时，很难用准确的语言概括其位置特征.这时，教师引导学生用角的要素去描述，即从角的两边和顶点进行刻画，不断修正、调整他们的表述最终获得对顶角的准确定义.
3．通过鼓励学生证明对顶角相等，及时检验了他们对余角、补角性质的掌握情况.
四、教学实施预期分析
本课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．运用问题逐步引导，给学生创造一种具体问题情境、思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中发现问题，解决问题，获取新知识，提高能力，促进思维发展．因此，采用“动手操作”、“问题驱动”的教学方式．
1．实现了预期教学目标
为突出重点，充分展现“三个概念，三个性质”的探索、发现、推理的思维过程和知识形成过程：从“比萨斜塔”引入概念，用其人文美与艺术美抓住学生的注意力，再适时抛出数学问题，学生自然而然地参与其中.为了突出概念的学习，教学中设计了“引入概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的概念学习环节，让知识真正内化为学生自己的知识，并领会概念学习的方法，为今后学习其他概念所用.
2．实现了因材施教的目的
一方面通过完整概念学习过程、性质探究过程，为学生学习概念、性质起到了很好的示范作用.并在探究活动中要求学生合情说理、书写证明过程，规范了学生的几何书写.通过习题的梯度设置，及时反馈和诊断了不同学生掌握知识的情况，通过一题多解，拓展了学生的思维，提升了学生的学习能力.另一方面我根据学情不同，学生能力的高低，以及学生的特点和兴趣，加强课堂巡视，及时给予帮助、肯定及评价.通过设计课堂中的合作交流、课后的分层作业，尊重了学生的个体差异，让每位学生的数学才能都获得了较好的发展.
附2：教材
《余角与补角》
教案说明
概述
本教学设计分为六个部分，包括：教材分析，学情分析，目标分析，教学模式与教法、学法，过程分析和教学反思。设计从实际生活情境引入余角、补角概念，学生经历“观察猜想——操作验证——推理论证”的数学体验过程得到余角、补角性质；设计中结合本班学生的学习实际情况，从而确定了教学活动的关键点。以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从六个环节进行具体的设计。下面从如下几个方面进行详细说明。
一、本节教学内容的数学本质与目标定位
本节课教学内容为“三个定义”、“三个性质”，即余角、补角、对顶角的定义及性质。
1．揭示了概念学习遵循的规律
本节内容中三个概念是学生学习的重点，概念学习须遵循学生对概念的认知规律，即“感知概念——内化概念——巩固概念——应用概念”，为此本教学设计通过“引入概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的教学环节设计达成学生对概念的理解、掌握。
2．展示了几何概念的两种定义方式
本节内容中从“数量”关系定义余角、补角，从“位置”关系定义对顶角，展示了几何概念的两种定义方式与角度，使学生对几何概念的认识在深度和广度上得以拓展，为后续学习概念积累了经验。
3、渗透了数学思想方法
在整个教学过程中渗透了从“特殊”到“一般”、类比、化归的数学思想方法，使学生进一步体会数学几何学习的精髓和本质.
4、体验了数学理性精神
通过让学生经历动手操作、合作交流的探究活动达成对余角、补角性质的获得，学生经历“观察猜想——操作验证——推理论证”数学体验过程，发展性质探究中需要的观察、分析、归纳、概括、能力，经历数学理性精神的体验.
二、教材地位及作用
本节内容是学生在学习了“角、直角、平角”，“比较角的大小”等知识的基础上，对角与角之间的关系作进一步深入和拓展。它为今后证明两角相等提供了一种重要依据和方法，对今后学习探索两直线平行的条件，三角形全等、相似都起着铺垫性作用。此外，余角、补角、对顶角的概念在物理学上对求解入射角、反射角、折射角有着一定的帮助。
教材中只给出了余角、补角及对顶角的性质，并没有要求对他们进行说理、论证，由于我校的学生在七年级（上）的学习时，已经接触了简单的说理，因此在这里，我引导学生使用符号语言结合图形，对性质进行了说理，同时在对三个性质进行说理的过程中，教师都给出了规范的说理过程，这样既符合学生的实际学习情况，又为后面学习证明（一）（二）（三）打下基础.
三、教学过程诊断分析
七年级学生初步具备了一定的观察、分析、归纳概括的能力，为本节课的学习奠定了基础，但是学生对数学图形、符号、文字三种语言的相互转化仍有一定困难，尤其是规范使用三种语言的能力还相当欠缺.
1．学生在明确了余角、补角定义以后，通过探究获得“同角（等角）的余角相等”这一性质，但有不少同学在解题中，愿意用“等量代换”，而不习惯使用余角、补角性质。因此，教师通过“小试身手”不断引导学生尝试使用新学的性质。
2．学生在观察剪刀使用过程中始终相等的两角时，很难用准确的语言概括其位置特征。这时，教师引导学生用角的要素去描述，即从角的两边和顶点进行刻画，不断修正、调整他们的表述最终获得对顶角的准确定义。
3．通过鼓励学生证明对顶角相等，及时检验了他们对余角、补角性质的掌握情况。
四、教学实施预期分析
本课的设计实施思路是：在教学中充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用．运用问题逐步引导，给学生创造一种具体问题情境、思维情境，一种动脑、动手、动口的机会，使学生在开放、民主、愉悦和谐的教学氛围中发现问题，解决问题，获取新知识，提高能力，促进思维发展．因此，采用“动手操作”、“问题驱动”的教学方式．
1．实现了预期教学目标
为突出重点，充分展现“三个概念，三个性质”的探索、发现、推理的思维过程和知识形成过程：从“比萨斜塔”引入概念，用其人文美与艺术美抓住学生的注意力，再适时抛出数学问题，学生自然而然地参与其中。为了突出概念的学习，教学中设计了“引入概念——形成概念——辨析概念——应用概念”的概念学习环节，让知识真正内化为学生自己的知识，并领会概念学习的方法，为今后学习其他概念所用。
2．实现了因材施教的目的
一方面通过完整概念学习过程、性质探究过程，为学生学习概念、性质起到了很好的示范作用。并在探究活动中要求学生合情说理、书写证明过程，规范了学生的几何书写。通过习题的梯度设置，及时反馈和诊断了不同学生掌握知识的情况，通过一题多解，拓展了学生的思维，提升了学生的学习能力。另一方面我根据学情不同，学生能力的高低，以及学生的特点和兴趣，加强课堂巡视，及时给予帮助、肯定及评价.通过设计课堂中的合作交流、课后的分层作业，尊重了学生的个体差异，让每位学生的数学才能都获得了较好的发展。
《导学案》附后
《两数和的平方》教学设计及设计说明
巴中龙泉外国语学校 程勇
内容与内容解析
内容：
华东师大版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十三章第三节——《两数和的平方》。
解析：
“两数和的平方”是继“平方差公式”后的另一个重要公式，是因式分解、分式运算、解一元二次方程、函数等后继学习的重要基础。这一节教材安排两课时，考虑到我班学生实际，我这样安排：
第一课时——两数和（差）的平方公式的推导及初步运用
第二课时——乘法公式的灵活运用。
今天我设计的是第一课时的内容——两数和（差）的平方公式的推导及初步运用。通过几何拼图，让学生了解公式的几何背景，从而加深学生对公式的理解，培养学生“数形结合”的建模思想；从公式的探究、推导活动中，让学生学会从“特殊→一般→特殊”的探究方法。通过乘法公式的学习，可以简化某些整式的运算，培养学生的求简意识以及简便方法巧算的意识。
二、目标与目标解析
目标：
1、了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能运用公式进行计算。
2、经历探索公式的过程，体验知识的发生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳和概括能力。
3、在探索公式和解决问题的过程中，学会与他人合作交流。在公式的学习及运用中积累学习的经验、体验成功的喜悦，提高学习数学的兴趣。
解析：
《课程标准》要求：在“数与代数”的教学中，经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，介绍有关代数内容的几何背景，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。而本节教学要求学生会推导乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
我班学生从七年级以来，我即采用“3· 6·1”的教学模式，利用学案导学，他们养成了比较好的自主学习习惯，并有一定的动手探索和合作交流能力，由此我制定了以上教学目标。
三、教学问题诊断分析
学生的认知基础：已经学习了多项式的乘法法则以及平方差公式，具有一定的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化归能力。但理解公式的几何意义、结构特点有一定困难。且容易出现以下错误：
（1）符号的错误：如=或=
（2）系数不平方的错误：如=++
（3）系数漏乘的错误：如=++
（4）公式运用错误：如=+，=-
其原因是学生只了解公式的表面形式，而未真正掌握公式的本质特征。所以在教学中尽可能多地让学生动手操作，参与公式的探索过程，去自主探索、归纳得出公式，进一步培养学生动口、动手、动脑的习惯和善于观察、大胆创新的思维品质。
基于此，本节课的重点是：了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能运用公式进行计算。
而本节课的难点是：掌握公式的结构特征，能运用公式进行计算。
为了更有效突出重点，突破难点，我对教材内容进行了重组，先通过几何背景拼图让学生直观感知公式，再利用多项式的乘法验证公式，然后运用公式解决问题从而内化新知。在教学中我以实践操作为主，直观演示、设疑诱导为辅。精心设计问题情境，诱导学生思考、操作，激发学生探究知识的欲望，使学生始终处于主动探究的积极状态，从而掌握公式的结构特征并能初步运用公式进行计算。
四、教学策略分析
新课程理念强调“经历过程与获取结论同样重要”，故我采用了我校的“3· 6·1”教学模式，采用学案导学法。以学案为主导，让学生去自主探究，老师适时引导、点拔。整个过程充满了师生、生生之间的交流互动，体现了教师的主导，学生的主体作用。
在学法指导上，本节课针对学生的认知规律，根据学法指导的自主性和差异性原则，指导他们动手操作、合作交流，体验发现问题、探索问题和解决问题的学习过程，参与知识的发生、发展、形成的过程，从而掌握知识。
五、教学条件支持
1、教具：学案、课件、教材、边长分别为a和b的正方形纸片以及长为a宽为b的长方形纸片各2块。
2、提前一天，将学案中的“自学尝试”部分发给学生自学，并要求学生独立完成此部分，这部分的学习学生投入的精力占整个课时的；上课前五分钟，将学案中的“课内探究”部分发给学生，这部分的学习学生投入的精力占整个课时的。
3、根据本班的学生特点,我将全班学生按3:6:1确定为优生、中生、学困生,然后按比例分成了八个学习小组。
六、教学过程设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
创
设
情
境
快
乐
启
航
师：同学们，今天的学习之旅又将启航，你们准备好了吗？
师：哪组同学愿意与我们分享你们的表演？
提出问题：没完师兄占了便宜了吗？为什么？
师：同学们，想真正弄清为什么吗？
师：那让我们进入今天的学习吧。
板书课题：13.3.2 两数和的平方
答：准备好了。
三名同学表演下面情景：
某日，师傅将小空空和没完叫到面前。
师傅：空空、没完，今天有三个正方形的庭院需要打扫，其中最大庭院的边长为（a+b）米，其余两个庭院的边长分别为a米和b米，你们自行分配，一人打扫一部分吧。
空空、没完：是，师傅。
空空：没完师兄，我们一人打扫最大的那个庭院，另一人打扫另外两个庭院。你先选，怎样？
没完听了，心想：傻瓜都知道，打扫一个庭院更轻松，都说空空聪明，现在看来也不过如此，嘿嘿嘿。
便说：“好吧，我是师兄。那我打扫最大的庭院，让你占点便宜。”
空空笑了笑：谢谢师兄了。
师傅摇了摇头：自作聪明，自作聪明哪。
学生们会七嘴八舌的说出自己的意见。
生：想。
《新课程标准》强调“数学来源于生活，并服务于生活”。本环节以热播电视剧《聪明小空空》为背景，紧扣生活，用趣味表演的形式让学生体会数学与生活的联系，活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣，打开学生的求知欲望，培养学生对数学的热爱和运用数学的能力，同时，也是对数学建模思想的一种培养。在这里提出问题，更能让学生感受到数学的价值，很自然的引出课题。
答
疑
解
惑
明
晰
公
式
师：课前大家已对教材进行了自学，并尝试完成了学案中的“自学尝试”部分，并把自己仍有困惑的地方作了标记。现在请各组成员通力合作、互帮互助、答疑解惑，然后我们请小组代表上台来展示改组的学习成果。
师：现在是检验大家自学成果的时候了，请自愿展示的小组代表上台展示并讲解，其他小组成员指正并补充。
小组展示结束后讲解例题：计算(2x+3y)2
解析：
(2x+ 3y)2
(a + b)2
=(2x)2+2·2x·3y+(3y)2
= a2 +2·a· b +b2
各小组成员针对“自学尝试”中的四至七部分以及自己标记的困惑在组内进行请教、讨论、交流。小组成员在交流讨论中把自己的困惑解决，若有部分仍有困难再由老师引导、点拨。
（四）动手拼图:
请大家用准备好的纸片来拼出没完打扫的庭院面积和空空打扫的庭园面积。并把示意图画在下边方框内。
（五）观察拼图，尝试填空：
⑴空空打扫的庭院面积为＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵用两种形式表示没完打扫的庭院面积：
①从整体的角度：
②从部分的角度：
⑶他们打扫的面积一样吗?
⑷比较没完打扫的庭院面积的两种不同表示，你发现什么？
猜想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（六）验证猜想，初识公式：
⑴用多项式的乘法法则验证猜想：
⑵得出公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
结构特征：左边是＿＿＿＿＿＿＿，右边是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（七）试一试，你能行：
用两数和的平方公式计算：
①(x+y)2 ②(3y+x)2
小组代表上台展示并讲解，其他小组成员指正并补充。
本环节是在学生课前已自学的基础上进行的，由于各组成员是按优生、中生、学困生3:6:1分配的，故组内的讨论、交流能让学生在互帮互助中，在平等的氛围中去答疑解惑，达到对知识的明了目的，有部分学生通过合作不能解决的问题再由老师点拨、讲解。美国教育家布鲁纳认为：“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者”。本环节注重鼓励每个学生亲自实践，动手操作，把时间还给学生，把空间留给学生，让学生经历知识的发生过程。
反
复
提
炼
建
立
模
型
师：通过大家的共同努力，我们已对公式(a+b)2=a2+2ab+b2有了较深的认识，现在让我们来迎接新的挑战吧。请大家对学案“课内探究”的第四部分先行独立思考，尝试完成，然后在小组内交流，若仍有困惑就让我们一起来解决。
教师补充、完善，最终解决问题并讲解：
我们把上面两个公式(a±b)2=a2±2ab+b2称为完全平方公式。把a2±2ab+b2称为完全平方式。
学生活动：各小组成员先行独立完成，然后通过小组交流，以优帮中、中帮学困的方式让一部分没有独立完成的学生得以解惑，教师在各小组间适时引导、点拨。
按要求计算(a-b)2
⑴用多项式的乘法法则 ⑵用两数和的平方公式
由此得出另一个公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿（差的平方公式）
用文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
问题：你能用拼图说明吗？（各小组在组内进行拼图说明）
然后请仍有疑问的同学提出自己的问题，其他同学为其解答。
学生自主探究出=+公式，并明白几何解释后，引导学生观察这两个公式的结构特征，让各组成员思考、交流、讨论。
⑴这两个公式有何区别与联系？
⑵你能用简洁的语言来描述公式特征吗？
数学家乔治·伯利亚：“学任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易了解其中的规律、性质和联系”。本环节的设计旨在先让学生自主探究，然后在组内大胆的讨论，充分交流，合作探究，统一意见，然后鼓励学生大胆地回答问题，老师适时引导，解决问题，最终形成两个公式的结构特征，体现公式的结构美，并理解它们的区别与联系，能真正的理解差的平方实质也是和的平方，可统一成一个公式，渗透建模思想。
巩
固
运
用
内
化
新
知
师：学习知识是为了运用知识解决问题，接下来让我们运用所学知识解决以下问题。
鼓励学生探索算法的多样化并上台展示自己的成果。
必要时教师补充并板书其解答过程。
学生活动：学生独立完成例1至例2的问题，然后选一名同学上台展示其结果并讲解，如有误其他同学为其指正。
例1：利用完全平方公式计算：
⑴ (3a+b)2 ⑵(2a-1)2
⑶(-a+2)2 ⑷(-x-y)2
分析：认清各式特征，正确选择公式，准确代入公式，再化简。
例2：运用公式计算：
⑴ 1032 ⑵ 992
一名学生上台展示其结果并讲解，如有误，其他同学指正；有不同解法的学生上台展示并讲解自己解法。
例1直接运用公式计算，要求学生熟练运用公式，加深学生对公式结构特征的认识，遵循及时巩固的原则，找准公式中的a和b，并发展学生的符号感。
例2要求学生通过转化，灵活运用公式计算，体会公式的便捷。我们要鼓励学生敢于发散思维，大胆创新，使得知识教学和能力培养结合起来，渗透类比思想，培养学生的创造性思维能力以及简便方法巧算的能力。
目
标
检
测
设
计
教师引导学生按要求完成闯关一和闯关二的内容。
必要时老师重点讲解学生们不能解决的问题。
闯关一：拼拼就能赢， 抢答开始了!
1、判断正误，如有误，请改正。（口答）
① =+
②=--
③ =++
④ =++
以小组为单位抢答，答对的小组获得加分。
闯关二：小组必答
1、计算：
① ② ③
2、填空。
①+ +=
②+ +4=
③4-12+9=( )2
④9+ +=(3+ )2
3、请你编出1-2个利用公式计算的式子，请组
内其他成员计算。
学生独立完成此部分，选2名同学上台展示其结构并讲解，如有误，其他同学指正。
德国教育学家第斯多惠：“教学的艺术不仅在于传授本领，更在于激励、唤醒和鼓舞”。闯关一通过抢答，活跃了课堂气氛，打开了学生的思维，既加深了学生对公式的理解，又让学生在活动中归纳小结。
闯关二旨在进一步加强学生对公式的理解和运用。这部分学生可能会出现问题，这也正是学生对公式理解、运用和熟练程度所需要解决的问题，对学生中出现的问题，应鼓励其他同学为其指正，必要时老师应重点讲解，达到解决问题的目的。
小结
梳理
反思
新知
通过本节课的学习你有什么收获，还有什么困惑？
若其他同学也有同样的困惑，由老师进一步讲解。
方法:先放手让学生独立归纳，再在小组交流后，选代表在全班发言，教师引导其他同学进行补充。
对学生提出的，先让其他同学试着解决，
本环节旨在通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验，巩固知识技能，提高认知水平。这部分学生投入的精力占整个课时的。
作
业
布
置
巩
固
新
知
1、必做题：P33 习题13.3 4、5题。
2、课外延伸：
(1) 已知(x+y)2=49，(x-y)2=1，求下列各式的值:
①x2+y2 ②xy
（2）计算 ① ②
教材是知识的升华、概括和总结，本着以全体学生为主体的原则，考虑到学生学习能力的差异，特设计了必做题和课外延伸两部分，既要面向全体学生，让每个学生都有收获，体验成功的喜悦，又要给基础较好的学生充分的发展空间，满足不同学生的不同需求，同时，为下节课灵活运用公式打下基础。
七、板书设计：
13.3 两数和的平方
一、=++
二、=-+
三、两个公式的文字叙述
四、两个公式的结构特征
（主板书） （辅助性板书）
八、教学评价
1、注意评价内容的多元化
通过课堂中学生展示自己对所学内容的理解，交流对某一问题的看法，动手操作，表演，尝试解答各种问题等活动，使教师从学生思维活动、对有关内容的理解和掌握，以及学生参与活动的积极性等多层面地了解学生。
2、注重对学生学习过程的评价
在整个教学过程中，通过对学生参与数学活动的程度，合作交流的能力，独立思考、发现问题、解决问题等能力进行评价，并对学生中出现的独特的想法或创新给予鼓励性评价。
附：
13.3.2《两数和的平方》导学案
一、学习目标要求
◆学习目标：
①通过几何拼图了解几何背景，利用多项式乘法法则验证两数和的平方公式；
②认清公式的结构特征，找准公式中的a和b；
③会运用公式进行简单计算。
◆学习重点：通过公式的推导和发现过程,理解并掌握公式的结构特征, 会运用公式进行简单计算。
◆学习难点：掌握公式的结构特征, 会运用公式进行简单计算。
二、自学尝试
（一）学习准备：
用卡纸裁剪下图中的纸片备用
（二）知识储备：
正方形的面积公式S正方形＝
长方形的面积公式S长方形＝
多项式的乘法法则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
平方差公式：
用心阅读教材31、32页的内容。
（三）情景表演：（三人一组，自由组合）
小空空和没完分扫庭院。
某日，师傅将小空空和没完叫到面前。
师傅：空空、没完，今天有三个正方形的庭院需要打扫，其中最大庭院的边长为（a+b）米，其余两个庭院的边长分别为a米和b米，你们自行分配，一人打扫一部分吧。
空空、没完：是，师傅。
空空：没完师兄，我们一人打扫最大的那个庭院，另一人打扫另外两个庭院。你先选，怎样？
没完听了，心想：傻瓜都知道，打扫一个庭院更轻松，都说空空聪明，现在看来也不过如此，嘿嘿嘿。
便说：“好吧，我是师兄。那我打扫最大的庭院，让你占点便宜。”
空空笑了笑：谢谢师兄了。
师傅摇了摇头：自作聪明哪，自作聪明哪。
问题：没完师兄占了便宜了吗？为什么？
（四）动手拼图:
请大家用准备好的纸片来拼出没完打扫的庭院面积和空空打扫的庭园面积。并把示意图画在下边方框内。
（五）观察拼图，尝试填空：
⑴空空打扫的庭院面积为＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵用两种形式表示没完打扫的庭院面积：
从整体的角度：
②从部分的角度：
⑶他们打扫的面积一样吗?
⑷比较没完打扫的庭院面积的两种不同表示，你发现什么？
猜想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（六）验证猜想，初识公式：
⑴用多项式的乘法法则计算(a+b)2：
⑵得出公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
结构特征：左边是＿＿＿＿＿＿＿，右边是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（七）试一试，你能行！用两数和的平方公式计算：
①(x+y)2 ②(3y+x)2
（八）你对自己的自学满意吗？（ ）（ ） （ ）（ ）
（九）你认为还有什么需要改进的地方？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三、课内探究
（一）课前准备：课本、学案、练习本
（二）欣赏表演：（请三位同学上台表演自学尝试中的情景）
（三）各小组针对“自学尝试”中的四至七部分进行讨论、交流、修正、互相补充。然后请几个小组的代表上台展示，其他小组为其修正。
（四）计算(a-b)2
⑴利用多项式的乘法法则 ⑵利用两数和的平方公式
由此得出另一个公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（差的平方公式）
用文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
问题：你能用拼图说明吗？（各小组在组内进行拼图说明）
讲解：
我们把上面两个公式称为完全平方公式。
把称为完全平方式。
（五）反复提炼，建立模型
各小组围绕下面问题进行思考、讨论。
⑴这两个公式有何区别与联系？
(2)你能用简洁的语言来描述公式特征吗？
（六）牛刀小试，内化新知
例1：利用完全平方公式计算：
⑴ (3a+b)2 ⑵(2a-1)2 ⑶(-a+2)2 ⑷(-x-y)2
例2：运用公式计算：
⑴ 1032 ⑵992
（七）目标检测设计
闯关一：拼拼就能赢， 抢答开始了!
1、判断正误，如有误，请改正。（口答）
① =+ ②=--
③ =++ ④ =++
闯关二：小组必答
1、计算：
① ② ③
2、填空。
①+ += ②+ +4=
③4-12+9=( )2 ④9+ +=(3+ )2
3、请你编出1-2个利用公式计算的式子，请组
内其他成员计算。
（八） 畅谈收获，反思不足
通过本节课的学习你有什么收获，还有什么困惑？
（九）作业布置
1、必做题：P33 习题13.3 4、5题。
2、课外延伸：
(1) 已知(x+y)2=49，(x-y)2=1，求下列各式的值:
①x2+y2 ②xy
（2）计算 ① ②
《导学案》附后
《两数和的平方》教学设计及设计说明
巴中龙泉外国语学校 程勇
一、 内容与内容解析
内容：
华东师大版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十三章第三节——《两数和的平方》。
解析：
“两数和的平方”是继“平方差公式”后的另一个重要公式，是因式分解、分式运算、解一元二次方程、函数等后继学习的重要基础。这一节教材安排两课时，考虑到我班学生实际，我这样安排：
第一课时——两数和（差）的平方公式的推导及初步运用
第二课时——乘法公式的灵活运用。
今天我设计的是第一课时的内容——两数和（差）的平方公式的推导及初步运用。通过几何拼图，让学生了解公式的几何背景，从而加深学生对公式的理解，培养学生“数形结合”的建模思想；从公式的探究、推导活动中，让学生学会从“特殊→一般→特殊”的探究方法。通过乘法公式的学习，可以简化某些整式的运算，培养学生的求简意识以及简便方法巧算的意识。
二、目标与目标解析
目标：
1、了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能运用公式进行计算。
2、经历探索公式的过程，体验知识的发生与发展，感受利用归纳、数形结合等数学思想方法解决数学问题的策略，培养学生观察、归纳和概括能力。
3、在探索公式和解决问题的过程中，学会与他人合作交流。在公式的学习及运用中积累学习的经验、体验成功的喜悦，提高学习数学的兴趣。
解析：
《课程标准》要求：在“数与代数”的教学中，经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，介绍有关代数内容的几何背景，掌握数与代数的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题。而本节教学要求学生会推导乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能进行简单计算。
我班学生从七年级以来，我即采用“3? 6?1”的教学模式，利用学案导学，他们养成了比较好的自主学习习惯，并有一定的动手探索和合作交流能力，由此我制定了以上教学目标。
三、教学问题诊断分析
学生的认知基础：已经学习了多项式的乘法法则以及平方差公式，具有一定的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学化归能力。但理解公式的几何意义、结构特点有一定困难。且容易出现以下错误：
（1）符号的错误：如 = 或 =
（2）系数不平方的错误：如 = + +
（3）系数漏乘的错误：如 = + +
（4）公式运用错误：如 = + ， = -
其原因是学生只了解公式的表面形式，而未真正掌握公式的本质特征。所以在教学中尽可能多地让学生动手操作，参与公式的探索过程，去自主探索、归纳得出公式，进一步培养学生动口、动手、动脑的习惯和善于观察、大胆创新的思维品质。
基于此，本节课的重点是：了解公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能运用公式进行计算。
而本节课的难点是：掌握公式的结构特征，能运用公式进行计算。
为了更有效突出重点，突破难点，我对教材内容进行了重组，先通过几何背景拼图让学生直观感知公式，再利用多项式的乘法验证公式，然后运用公式解决问题从而内化新知。在教学中我以实践操作为主，直观演示、设疑诱导为辅。精心设计问题情境，诱导学生思考、操作，激发学生探究知识的欲望，使学生始终处于主动探究的积极状态，从而掌握公式的结构特征并能初步运用公式进行计算。
四、教学策略分析
新课程理念强调“经历过程与获取结论同样重要”，故我采用了我校的“3? 6?1”教学模式，采用学案导学法。以学案为主导，让学生去自主探究，老师适时引导、点拔。整个过程充满了师生、生生之间的交流互动，体现了教师的主导，学生的主体作用。
在学法指导上，本节课针对学生的认知规律，根据学法指导的自主性和差异性原则，指导他们动手操作、合作交流，体验发现问题、探索问题和解决问题的学习过程，参与知识的发生、发展、形成的过程，从而掌握知识。
五、教学条件支持
1、教具：学案、课件、教材、边长分别为a和b的正方形纸片以及长为a宽为b的长方形纸片各2块。
2、提前一天，将学案中的“自学尝试”部分发给学生自学，并要求学生独立完成此部分，这部分的学习学生投入的精力占整个课时的 ；上课前五分钟，将学案中的“课内探究”部分发给学生，这部分的学习学生投入的精力占整个课时的 。
3、根据本班的学生特点,我将全班学生按3:6:1确定为优生、中生、学困生,然后按比例分成了八个学习小组。
六、教学过程设计
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
创
设
情
境
快
乐
启
航 师：同学们，今天的学习之旅又将启航，你们准备好了吗？
师：哪组同学愿意与我们分享你们的表演？
提出问题：没完师兄占了便宜了吗？为什么？
师：同学们，想真正弄清为什么吗？
师：那让我们进入今天的学习吧。
板书课题：13.3.2 两数和的平方 答：准备好了。
三名同学表演下面情景：
某日，师傅将小空空和没完叫到面前。
师傅：空空、没完，今天有三个正方形的庭院需要打扫，其中最大庭院的边长为（a+b）米，其余两个庭院的边长分别为a米和b米，你们自行分配，一人打扫一部分吧。
空空、没完：是，师傅。
空空：没完师兄，我们一人打扫最大的那个庭院，另一人打扫另外两个庭院。你先选，怎样？
没完听了，心想：傻瓜都知道，打扫一个庭院更轻松，都说空空聪明，现在看来也不过如此，嘿嘿嘿。
便说：“好吧，我是师兄。那我打扫最大的庭院，让你占点便宜。”
空空笑了笑：谢谢师兄了。
师傅摇了摇头：自作聪明，自作聪明哪。
学生们会七嘴八舌的说出自己的意见。
生：想。 《新课程标准》强调“数学来源于生活，并服务于生活”。本环节以热播电视剧《聪明小空空》为背景，紧扣生活，用趣味表演的形式让学生体会数学与生活的联系，活跃课堂气氛，激发学生的学习兴趣，打开学生的求知欲望，培养学生对数学的热爱和运用数学的能力，同时，也是对数学建模思想的一种培养。在这里提出问题，更能让学生感受到数学的价值，很自然的引出课题。
答
疑
解
惑
明
晰
公
式 师：课前大家已对教材进行了自学，并尝试完成了学案中的“自学尝试”部分，并把自己仍有困惑的地方作了标记。现在请各组成员通力合作、互帮互助、答疑解惑，然后我们请小组代表上台来展示改组的学习成果。
师：现在是检验大家自学成果的时候了，请自愿展示的小组代表上台展示并讲解，其他小组成员指正并补充。
小组展示结束后讲解例题：计算(2x+3y)2
解析：
(2x+ 3y)2
(a + b)2
=(2x)2+2?2x?3y+(3y)2
= a2 +2?a? b +b2
各小组成员针对“自学尝试”中的四至七部分以及自己标记的困惑在组内进行请教、讨论、交流。小组成员在交流讨论中把自己的困惑解决，若有部分仍有困难再由老师引导、点拨。
（四）动手拼图:
请大家用准备好的纸片来拼出没完打扫的庭院面积和空空打扫的庭园面积。并把示意图画在下边方框内。
（五）观察拼图，尝试填空：
⑴空空打扫的庭院面积为＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵用两种形式表示没完打扫的庭院面积：
①从整体的角度：
②从部分的角度：
⑶他们打扫的面积一样吗?
⑷比较没完打扫的庭院面积的两种不同表示，你发现什么？
猜想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（六）验证猜想，初识公式：
⑴用多项式的乘法法则验证猜想：
⑵得出公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
结构特征：左边是＿＿＿＿＿＿＿，右边是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（七）试一试，你能行：
用两数和的平方公式计算：
①(x+y)2 ②(3y+x)2
小组代表上台展示并讲解，其他小组成员指正并补充。 本环节是在学生课前已自学的基础上进行的，由于各组成员是按优生、中生、学困生3:6:1分配的，故组内的讨论、交流能让学生在互帮互助中，在平等的氛围中去答疑解惑，达到对知识的明了目的，有部分学生通过合作不能解决的问题再由老师点拨、讲解。美国教育家布鲁纳认为：“知识的获取是一个主动的过程，学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者”。本环节注重鼓励每个学生亲自实践，动手操作，把时间还给学生，把空间留给学生，让学生经历知识的发生过程。
反
复
提
炼
建
立
模
型 师：通过大家的共同努力，我们已对公式(a+b)2=a2+2ab+b2有了较深的认识，现在让我们来迎接新的挑战吧。请大家对学案“课内探究”的第四部分先行独立思考，尝试完成，然后在小组内交流，若仍有困惑就让我们一起来解决。
教师补充、完善，最终解决问题并讲解：
我们把上面两个公式(a±b)2=a2±2ab+b2称为完全平方公式。把a2±2ab+b2称为完全平方式。
学生活动：各小组成员先行独立完成，然后通过小组交流，以优帮中、中帮学困的方式让一部分没有独立完成的学生得以解惑，教师在各小组间适时引导、点拨。
按要求计算(a-b)2
⑴用多项式的乘法法则 ⑵用两数和的平方公式
由此得出另一个公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿（差的平方公式）
用文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
问题：你能用拼图说明吗？（各小组在组内进行拼图说明）
然后请仍有疑问的同学提出自己的问题，其他同学为其解答。
学生自主探究出 = + 公式，并明白几何解释后，引导学生观察这两个公式的结构特征，让各组成员思考、交流、讨论。
⑴这两个公式有何区别与联系？
⑵你能用简洁的语言来描述公式特征吗？
数学家乔治?伯利亚：“学任何知识的最佳途径是自己去发现，因为这种发现理解最深，也最容易了解其中的规律、性质和联系”。本环节的设计旨在先让学生自主探究，然后在组内大胆的讨论，充分交流，合作探究，统一意见，然后鼓励学生大胆地回答问题，老师适时引导，解决问题，最终形成两个公式的结构特征，体现公式的结构美，并理解它们的区别与联系，能真正的理解差的平方实质也是和的平方，可统一成一个公式，渗透建模思想。
巩
固
运
用
内
化
新
知 师：学习知识是为了运用知识解决问题，接下来让我们运用所学知识解决以下问题。
鼓励学生探索算法的多样化并上台展示自己的成果。
必要时教师补充并板书其解答过程。
学生活动：学生独立完成例1至例2的问题，然后选一名同学上台展示其结果并讲解，如有误其他同学为其指正。
例1：利用完全平方公式计算：
⑴ (3a+b)2 ⑵(2a-1)2
⑶(-a+2)2 ⑷(-x-y)2
分析：认清各式特征，正确选择公式，准确代入公式，再化简。
例2：运用公式计算：
⑴ 1032 ⑵ 992
一名学生上台展示其结果并讲解，如有误，其他同学指正；有不同解法的学生上台展示并讲解自己解法。 例1直接运用公式计算，要求学生熟练运用公式，加深学生对公式结构特征的认识，遵循及时巩固的原则，找准公式中的a和b，并发展学生的符号感。
例2要求学生通过转化，灵活运用公式计算，体会公式的便捷。我们要鼓励学生敢于发散思维，大胆创新，使得知识教学和能力培养结合起来，渗透类比思想，培养学生的创造性思维能力以及简便方法巧算的能力。
目
标
检
测
设
计
教师引导学生按要求完成闯关一和闯关二的内容。
必要时老师重点讲解学生们不能解决的问题。 闯关一：拼拼就能赢， 抢答开始了!
1、判断正误，如有误，请改正。（口答）
① = +
② = - -
③ = + +
④ = + +
以小组为单位抢答，答对的小组获得加分。
闯关二：小组必答
1、计算：
① ② ③
2、填空。
① + + =
② + +4 =
③4 -12 +9 =( )2
④9 + + =(3 + )2
3、请你编出1-2个利用公式 计算的式子，请组
内其他成员计算。
学生独立完成此部分，选2名同学上台展示其结构并讲解，如有误，其他同学指正。 德国教育学家第斯多惠：“教学的艺术不仅在于传授本领，更在于激励、唤醒和鼓舞”。闯关一通过抢答，活跃了课堂气氛，打开了学生的思维，既加深了学生对公式的理解，又让学生在活动中归纳小结。
闯关二旨在进一步加强学生对公式的理解和运用。这部分学生可能会出现问题，这也正是学生对公式理解、运用和熟练程度所需要解决的问题，对学生中出现的问题，应鼓励其他同学为其指正，必要时老师应重点讲解，达到解决问题的目的。
小结
梳理
反思
新知
通过本节课的学习你有什么收获，还有什么困惑？
若其他同学也有同样的困惑，由老师进一步讲解。 方法:先放手让学生独立归纳，再在小组交流后，选代表在全班发言，教师引导其他同学进行补充。
对学生提出的，先让其他同学试着解决， 本环节旨在通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验，巩固知识技能，提高认知水平。这部分学生投入的精力占整个课时的 。
作
业
布
置
巩
固
新
知 1、必做题：P33 习题13.3 4、5题。
2、课外延伸：
(1) 已知(x+y)2=49，(x-y)2=1，求下列各式的值:
①x2+y2 ②xy
（2）计算 ① ②
教材是知识的升华、概括和总结，本着以全体学生为主体的原则，考虑到学生学习能力的差异，特设计了必做题和课外延伸两部分，既要面向全体学生，让每个学生都有收获，体验成功的喜悦，又要给基础较好的学生充分的发展空间，满足不同学生的不同需求，同时，为下节课灵活运用公式打下基础。
七、板书设计：
13.3 两数和的平方
一、 = + +
二、 = - +
三、两个公式的文字叙述
四、两个公式的结构特征
（主板书） （辅助性板书）
八、教学评价
1、注意评价内容的多元化
通过课堂中学生展示自己对所学内容的理解，交流对某一问题的看法，动手操作，表演，尝试解答各种问题等活动，使教师从学生思维活动、对有关内容的理解和掌握，以及学生参与活动的积极性等多层面地了解学生。
2、注重对学生学习过程的评价
在整个教学过程中，通过对学生参与数学活动的程度，合作交流的能力，独立思考、发现问题、解决问题等能力进行评价，并对学生中出现的独特的想法或创新给予鼓励性评价。
附：
13.3.2《两数和的平方》导学案
一、学习目标要求
◆学习目标：
①通过几何拼图了解几何背景，利用多项式乘法法则验证两数和的平方公式；
②认清公式的结构特征，找准公式中的a和b；
③会运用公式进行简单计算。
◆学习重点：通过公式的推导和发现过程,理解并掌握公式的结构特征, 会运用公式进行简单计算。
◆学习难点：掌握公式的结构特征, 会运用公式进行简单计算。
二、自学尝试
（一）学习准备：
用卡纸裁剪下图中的纸片备用
（二）知识储备：
正方形的面积公式S正方形＝
长方形的面积公式S长方形＝
多项式的乘法法则：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
平方差公式：
用心阅读教材31、32页的内容。
（三）情景表演：（三人一组，自由组合）
小空空和没完分扫庭院。
某日，师傅将小空空和没完叫到面前。
师傅：空空、没完，今天有三个正方形的庭院需要打扫，其中最大庭院的边长为（a+b）米，其余两个庭院的边长分别为a米和b米，你们自行分配，一人打扫一部分吧。
空空、没完：是，师傅。
空空：没完师兄，我们一人打扫最大的那个庭院，另一人打扫另外两个庭院。你先选，怎样？
没完听了，心想：傻瓜都知道，打扫一个庭院更轻松，都说空空聪明，现在看来也不过如此，嘿嘿嘿。
便说：“好吧，我是师兄。那我打扫最大的庭院，让你占点便宜。”
空空笑了笑：谢谢师兄了。
师傅摇了摇头：自作聪明哪，自作聪明哪。
问题：没完师兄占了便宜了吗？为什么？
（四）动手拼图:
请大家用准备好的纸片来拼出没完打扫的庭院面积和空空打扫的庭园面积。并把示意图画在下边方框内。
（五）观察拼图，尝试填空：
⑴空空打扫的庭院面积为＿＿＿＿＿＿＿＿
⑵用两种形式表示没完打扫的庭院面积：
① 从整体的角度：
②从部分的角度：
⑶他们打扫的面积一样吗?
⑷比较没完打扫的庭院面积的两种不同表示，你发现什么？
猜想：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（六）验证猜想，初识公式：
⑴用多项式的乘法法则计算(a+b)2：
⑵得出公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
结构特征：左边是＿＿＿＿＿＿＿，右边是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
（七）试一试，你能行！用两数和的平方公式计算：
①(x+y)2 ②(3y+x)2
（八）你对自己的自学满意吗？ （ ） （ ） （ ） （ ）
（九）你认为还有什么需要改进的地方？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
三、课内探究
（一）课前准备：课本、学案、练习本
（二）欣赏表演：（请三位同学上台表演自学尝试中的情景）
（三）各小组针对“自学尝试”中的四至七部分进行讨论、交流、修正、互相补充。然后请几个小组的代表上台展示，其他小组为其修正。
（四）计算(a-b)2
⑴利用多项式的乘法法则 ⑵利用两数和的平方公式
由此得出另一个公式：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（差的平方公式）
用文字语言描述为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
问题：你能用拼图说明吗？（各小组在组内进行拼图说明）
讲解：
我们把上面两个公式 称为完全平方公式。
把 称为完全平方式。
（五）反复提炼，建立模型
各小组围绕下面问题进行思考、讨论。
⑴这两个公式有何区别与联系？
(2)你能用简洁的语言来描述公式特征吗？
（六）牛刀小试，内化新知
例1：利用完全平方公式计算：
⑴ (3a+b)2 ⑵(2a-1)2 ⑶(-a+2)2 ⑷(-x-y)2
例2：运用公式计算：
⑴ 1032 ⑵992
（七）目标检测设计
闯关一：拼拼就能赢， 抢答开始了!
1、判断正误，如有误，请改正。（口答）
① = + ② = - -
③ = + + ④ = + +
闯关二：小组必答
1、计算：
① ② ③
2、填空。
① + + = ② + +4 =
③4 -12 +9 =( )2 ④9 + + =(3 + )2
3、请你编出1-2个利用公式 计算的式子，请组
内其他成员计算。
（八） 畅谈收获，反思不足
通过本节课的学习你有什么收获，还有什么困惑？
（九）作业布置
1、必做题：P33 习题13.3 4、5题。
2、课外延伸：
(1) 已知(x+y)2=49，(x-y)2=1，求下列各式的值:
①x2+y2 ②xy
（2）计算 ① ②
