广西壮族自治区2022届高三下学期5月高考冲刺理科数学模拟卷（一）（Word版含解析）

冲刺广西2022年高考理科数学模拟卷（一）
时间：120分钟　满分：150分
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内与复数z＝所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为(　　)
A．－1－i B．1－i C．1＋i D．－1＋i
2．图中阴影部分所对应的集合是(　　)
A.(A∪B)∩( UB) B． U(A∩B) C．∩(A∪B) D．[ U(A∩B)]∪(A∪B)
3．已知随机变量X服从二项分布B，其期望E(X)＝2，当时，目标函数z＝x－y的最小值为b，则(a＋bx)5的展开式中各项系数之和为(　　)
A．1 B．25 C．35 D．45
4．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若α∩β＝a，β∩γ＝b，α∩γ＝c，a∥b，则b∥c
C．若b β，c β，a⊥b，a⊥c，则a⊥β
D．若a α，b β，a∥b，则α∥β
5．已知tan θ＝－2，则sin 2θ＝(　　)
A．－ B． C．－ D．
6．如图，△ABC中，点M是BC的中点，点N满足＝2，AM与CN交于点D，＝λ，则λ＝(　　)
A． B． C． D．
7．已知函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能是(　　)
A．f(x)＝(2x＋2－x)|x| B．f(x)＝(2x－2－x)|x|
C．f(x)＝(2x＋2－x)log|x| D．f(x)＝(2x＋2－x)log2|x|
8．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和．人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，数列{an}的前n项和为Sn，则下列结论错误的是(　　)
A．S8＝54 B．a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a2019＝a2020
C．a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2020＝a2021 D．S2020＋S2019－S2018－S2017＝a2022
9．[2021·江西萍乡二模]已知函数f(x)为偶函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝ln x．若a＝f(4ln 3)，b＝f(2－e)，c＝f.(其中e为自然对数的底数，π为圆周率)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．c>b>a
10．阿波罗尼奥斯是与阿基米德、欧几里得齐名的古希腊数学家，以他姓名命名的阿氏圆是指平面内到两定点的距离的比值为常数λ(λ>0，λ≠1)的动点的轨迹．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin A＝2sin B，a cos B＋b cos A＝3，则△ABC面积的最大值为(　　)
A．3 B．3 C．6 D．6
11．函数f(x)＝cos 2x＋a(sin x－cos x)在区间上单调递增，则a的取值范围为(　　)
A．[，＋∞) B．[0，＋∞) C．(，＋∞) D．(0，＋∞)
12．函数f(x)＝ax|logax|－1(a>0，且a≠1)有两个零点，则a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞) B．∪(1，＋∞) C．{e－e}∪(1，＋∞) D．∪(1，＋∞)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是________.
0647　4373　8636　9647　3661　4698　6371　6233　2616　8045　6011　1410
9577　7424　6762　4281　1457　2042　5332　3732　2707　3607　5124　5179
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若A＝，tan C＝，b＝2，则△ABC的面积S＝________．
15．为迎接2022年北京冬奥会，短道速滑队组织甲、乙、丙等6名队员参加选拔赛，比赛结果没有并列名次．记“甲得第一名”为p，“乙得第一名”为q，“丙得第一名”为r，若p∨q是真命题， q∨r是真命题，则得第一名的是________．
16．已知三棱锥P ABC的外接球O的半径为，△ABC为等腰直角三角形，若顶点P到底面ABC的距离为4，且三棱锥P ABC的体积为，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度是________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
(一)必考题：共60分．
17．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，对任意的n∈N*，Sn＝2an－1.数列{bn}满足bn＝Sn(n∈N*).
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若Tn＝＋＋＋…＋，求Tn的取值范围．
18．(12分)如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD是菱形，∠BAD＝，△FBA是等边三角形，且平面FBA⊥底面ABCD，ED⊥底面ABCD，CD＝ED.
(1)在平面FBA内找到一个点G，使得DG∥EF，并说明理由；
(2)求直线DG与平面FBC所成角的正弦值．
19.(12分)乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目．某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，定期举办乒乓球竞赛，该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则，首先每个班级需要对本班报名学生进行选拔，选取3名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技．
(Ⅰ)若高三(1)班共有6名男生和4名女生报名，且报名参赛的选手实力相当，求高三(1)班选拔的校内终极赛参赛选手均为男生的概率．
(Ⅱ)若高三(1)班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三(2)班选拔的选手A，B，C对抗，甲、乙、丙获胜的概率分别为，p，1－p，且甲、乙、丙三人之间获胜与否互不影响，记ξ为在这次对抗中高三(1)班3名选手获胜的人数，p(ξ＝0)＝.
(ⅰ)求p；
(ⅱ)求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).
20．(12分)椭圆E：＋＝1(a>b>0)的焦点到直线x－3y＝0的距离为，离心率为，抛物线G：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A，B两点，与G交于C，D两点﹒
(1)求椭圆E及抛物线G的方程；
(2)是否存在常数λ，使得＋为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
21．(12分)已知函数f(x)＝ax ln x(a≠0)，f′(x)为f(x)的导数．
(1)若函数g(x)＝f′(x)＋有两个极值点，求实数a的取值范围；
(2)当a＝1时，求证：f(x)(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|＝，求角α的大小．
23．[选修4－5：不等式选讲](10分)
已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)>－x；
(2)若关于x的不等式f(x)≤a2－2a的解集为R，求实数a的取值范围．
参考答案
1．答案：D
解析：z＝＝＝＝1＋i，在复平面内所对应的点为（1，1），关于虚轴对称的点为（－1，1），所以A对应的复数为z＝－1＋i，故选D.
2．答案：C
解析：图中阴影部分所对应的集合是两部分集合的并集，即[A∩（ UB）]∪[B∩（ UA）]＝[ U（A∩B）]∩（A∪B），故选C.
3．答案：B
解析：根据二项分布期望的定义，可知E（X）＝a×＝2，得a＝4，
画出不等式组表示的区域，如图中阴影部分所示，
其中A（2，2），B（1，2），C（1，3），
平移直线z＝x－y，当直线经过点C（1，3）时，z取最小值，即b＝zmin＝1－3＝－2，
于是（a＋bx）5＝（4－2x）5，
令x＝1，可得展开式的各项系数之和为25.故选B.
4．答案：B
解析：A，若a∥b，b α，且a α，则a∥α，故A错误；B，若α∩β＝a，β∩γ＝b，a∥b，则b∥α，且b γ，由α∩γ＝c，所以b∥c，故B正确；C，若b β，c β，a⊥b，a⊥c，且b与c相交，则a⊥β，故C错误；D，若a α，b β，a∥b，且b与a相交，则α∥β，故D错误．故选B.
5．答案：C
解析：因为tan θ＝－2，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝＝＝＝－.故选C.
6．答案：C
解析：由题设，＝（＋），又＝2，＝λ，
∴＝（＋）＝＋，而N，D，C三点共线，
∴＋＝1，可得λ＝.故选C.
7．答案：D
解析：对于A选项，函数f（x）＝（2x＋2－x）|x|的定义域为R，不满足条件；对于B选项，函数f（x）＝（2x－2－x）|x|的定义域为R，不满足条件；对于C选项，函数f（x）＝（2x＋2－x）log|x|的定义域为{x|x≠0}，f（－x）＝（2－x＋2x）log|－x|＝（2x＋2－x）log|x|＝f（x），函数f（x）为偶函数，当00，则f（x）＝（2x＋2－x）log|x|>0，不满足条件；对于D选项，函数f（x）＝（2x＋2－x）log2|x|的定义域为{x|x≠0}，f（－x）＝（2－x＋2x）log2|－x|＝（2x＋2－x）log2|x|＝f（x），函数f（x）为偶函数，当08．答案：C
解析：斐波那契数列满足递推关系：an＋2＝an＋1＋an（n∈N*），
对于A，斐波那契数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，
∴S8＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＋21＝54，A正确；对于B，a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2019＝a2020－a2018，
各式相加得：a1＋a3＋a5＋a7＋…＋a2019＝a2020，B正确；对于C，a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，a6＝a7－a5，…，a2020＝a2021－a2019，
各式相加得：a2＋a4＋a6＋a8＋…＋a2020＝a2021－a1＝a2021－1，C错误；对于D，S2020＋S2019－S2018－S2017＝（S2020－S2018）＋（S2019－S2017）＝（a2020＋a2019）＋（a2019＋a2018）＝a2021＋a2020＝a2022，D正确．故选C.
9．答案：A
解析：因为x∈（0，＋∞）时，f（x）＝ln x，故f（x）为（0，＋∞）上的增函数，
因为4ln 3>41＝4，0<2－e<1，1f（ln π）>f（2－e），
而f＝f（ln π），故a>c>b.故选A.
10．答案：A
解析：由正弦定理可得a＝2b，设△ABC的外接圆半径为r，
则a cos B＋b cos A＝2r（sin A cos B＋cos A sin B）＝2r sin （A＋B）＝2r sin C＝c＝3，
以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则A，B，
设点C（x，y），由a＝2b，可得 ＝2，
化简可得＋y2＝4，
所以，△ABC的边AB上的高的最大值为2，因此，S△ABC≤c×2＝3.故选A.
11．答案：A
解析：因为函数f（x）＝cos 2x＋a（sin x－cos x）在区间上单调递增，所以f′（x）＝－2sin 2x＋a（cos x＋sin x）≥0在上恒成立，
所以a≥＝2×＝2×在上恒成立，
即a≥2在上恒成立，令t＝cos x＋sin x＝sin ∈[1，]，所以问题转化为a≥2在[1，]上恒成立，
而y＝t－在[1，]上单调递增，所以当t＝时，y＝t－有最大值，所以2有最大值，所以a≥，故选A.
12．答案：D
解析：f（x）＝0，得|logax|＝，即＝.由题意知函数y＝图象与函数y＝图象有两个交点．
当a>1时，y＝，y＝草图如下，显然有两交点．
当0综上，a的取值范围为∪（1，＋∞）.故选D.
13．答案：11
解析：利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，即47开始读取，在编号范围内的提取出来，可得36，33，26，16，11，则选出来的第5个零件编号是11.
14．答案：6
解析：在△ABC中，因为tan C＝，可得sin C＝，cos C＝，
又A＝，所以sin B＝sin （A＋C）＝sin ＝（cos C－sin C）＝，
由正弦定理＝，可得＝，解得c＝6，
故△ABC的面积S＝bc sin A＝6.
15．答案：甲
解析：由p∨q是真命题，可知p，q中至少有一个是真命题，
又比赛结果没有并列名次，说明第一名要么是甲，要么是乙，则r是假命题，
又 q∨r是真命题，则 q是真命题，即 q为假命题，故得第一名的是甲．
16．答案：4
解析：设底面等腰直角三角形ABC的直角边的边长为x（x>0），
∴顶点P到底面ABC的距离为4且三棱锥P ABC的体积为，
∴×x2×4＝，解得x＝2，
∴△ABC的外接圆半径为r1＝××2＝2，
∴球心O到底面ABC的距离为d1＝＝＝3，
又∵顶点P到底面ABC的距离为4，
∴顶点P的轨迹是一个截面圆的圆周（球心在底面ABC和截面圆之间）且球心O到该截面圆的距离为d2＝1，
∵截面圆的半径r2＝＝＝2，
∴顶点P的轨迹长度是2πr2＝2π×2＝4π.
17．解析：（1）因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，
所以an＝Sn－Sn－1＝2（an－an－1），得an＝2an－1，
所以an＝a1·2n－1＝2n－1，
所以bn＝Sn＝2an－1＝2×2n－1－1＝2n－1.
（2）因为＝＝－，
所以Tn＝－＋－＋－＋…＋－＝1－，
因为{Tn}为单调递增数列，所以当n＝1时，Tn取得最小值1－＝，
又Tn<1，所以Tn的取值范围是.
18．解析：
（1）如图所示，取AB的中点为H，连接FH，
再取FH的中点为G，连接DG，
则DG∥EF.
理由如下：
∵△FBA是等边三角形，
∴FH⊥AB.
又平面FBA⊥底面ABCD，且平面FBA∩底面ABCD＝AB，
∴FH⊥底面ABCD.
又ED⊥底面ABCD，∴FH∥ED，即FG∥ED，
又FH＝AB＝CD＝×ED＝2ED，
∴FG＝ED，
∴四边形FGDE是平行四边形，
∴DG∥EF.
（2）由（1）可知DG∥EF，
∴直线DG与平面FBC所成角的正弦值等于直线EF与平面FBC所成角的正弦值．
连接HC，由题意可知HC⊥AB.
以H为坐标原点，HB，HC，HF所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设菱形ABCD的边长为2，
则易知F（0，0，），B（1，0，0），C（0，，0），E
＝，＝（－1，0，），＝（－1，，0）.
设平面FBC的一个法向量为m＝（x，y，z），
则即令x＝，
则y＝1，z＝1，
∴m＝（，1，1），
|cos 〈m，〉|＝＝，
∴直线DG与平面FBC所成角的正弦值为.
19．解析：（Ⅰ）设“高三（1）班选拔的参赛选手均为男生”为事件A，则P（A）＝＝；
（Ⅱ）（ⅰ）由题意P（ξ＝0）＝·（1－p）·[1－（1－p）]＝·（1－p）p＝，解得p＝；
（ⅱ）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
所以P（ξ＝0）＝，
P（ξ＝1）＝××＋××＋××＝，
P（ξ＝2）＝××＋××＋××＝，
P（ξ＝3）＝××＝，
故ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
所以ξ的数学期望E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
20．解析：（1）设椭圆E与抛物线G的公共焦点为F（c，0），
所以焦点F（c，0）到直线x－3y＝0的距离为d＝＝，可得：c＝2，
所以＝2，p＝4，
由e＝＝，可得：a＝，所以b2＝a2－c2＝1，
所以椭圆E：＋y2＝1，抛物线G：y2＝8x；
（2）由（1）知：F（2，0），设直线l：y＝k（x－2），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），
由可得：（5k2＋1）x2－20k2x＋20k2－5＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|AB|＝＝＝，
由可得：k2x2－（4k2＋8）x＋4k2＝0，
所以x3＋x4＝，
因为CD是焦点弦，所以|CD|＝x3＋x4＋4＝，
所以＋＝＋＝＝，
若＋为常数，则20＋λ＝4，所以λ＝－.
21．解析：（1）依题意知：x∈（0，＋∞），f′（x）＝a ln x＋a，
∴g（x）＝a ln x＋＋a，（x∈（0，＋∞）），
∴g′（x）＝，∵g（x）有两个极值点，
∴g′（x）在（0，＋∞）有两个变号零点，
令g′（x）＝0得：ax2＋（2a－1）x＋a＝0，（a≠0）……①，
∴关于x的一元二次方程有两个不等的正根，记为x1，x2，
∴，即，解得，
∴0故a的取值范围为.
（2）依题意，要证x ln x①当00，故原不等式成立，
②当x>1时，要证x ln x即要证x ln x－ex－sin x＋1<0，
令h（x）＝x ln x－ex－sin x＋1，（x>1），则h′（x）＝ln x－ex－cos x＋1，
h″（x）＝－ex＋sin x，
先证ex>x＋1，（x>1），
即要证ex－x－1>0，（x>1），
令φ（x）＝ex－x－1，（x>1），则φ′（x）＝ex－1（x＞1），
当x>1时，φ′（x）>0，
∴φ（x）在（1，＋∞）单调递增，
∴φ（x）>φ（1）＝e－2>0，
即ex>x＋1，（x>1），
当x>1时，0<<1，sin x≤1，
h″（x）＝－ex＋sin x<－（x＋1）＋sin x＝＋（sin x－1）<0，
∴h′（x）在（1，＋∞）单调递减，∴h′（x）∴h（x）在（1，＋∞）单调递减，
∴h（x）即x ln x－ex－sin x＋1<0，故原不等式成立．
22．解析：（1）对直线l消参得y＝1＋·sin α，即直线l的普通方程为y＝1＋tan α·x，，
对于曲线C：ρ＝4sin θ，则ρ2＝4ρsin θ，从而x2＋y2＝4y，即直角坐标方程为x2＋（y－2）2＝4；
（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l：代入曲线C：x2＋（y－2）2＝4，得t2－2t·sin α－3＝0，
所以t1＋t2＝2sin α，t1t2＝－3，故|AB|＝|t1－t2|＝＝＝，
解得sinα＝±（舍负），故α＝或.
23．解析：（1）原不等式等价于f（x）＋x>0，不等式f（x）＋x>0可化为|x－2|＋x>|x＋1|，
当x<－1时，－（x－2）＋x>－（x＋1），解得x>－3，即－3当－1≤x≤2时，－（x－2）＋x>x＋1，解得x<1，即－1≤x<1；
当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，
综上所述，不等式f（x）>－x的解集为{x|－33}；
（2）由不等式f（x）＝a2－2a可得|x－2|－|x＋1|≤a2－2a，
∵|x－2|－|x＋1|≤|x－2－x－1|＝3，当且仅当x∈（－∞，－1]时等号成立，
∴a2－2a≥3，即a2－2a－3≥0，解得a≤－1或a≥3.
∴实数a的取值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.