6.3.2 对数函数性质与应用 教案

第六章　幂函数、指数函数、对数函数
第6.3.2节 对数函数性质与应用
教材是以具体问题为背景，是从指数运算与对数运算的互逆关系出发，引进了对数的概念，进而建立了对数函数的概念，为学生发现与论证对数的运算性质、研究对数函数的性质提供了方便．这种围绕核心问题，按照“问题情境——数学活动——意义建构——数学理论——数学应用——回顾反思”的顺序，不断通过对问题串的探究学习，引导学生从不同的角度，用自相似的研究方式，对核心问题进行多重研究．在体现基本初等函数工具性作用时，突出了理性分析和严格的推理过程．达到培养创新思维和理性思维的目的．
课程目标 学科素养
1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法. 2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法. 3.会解简单的对数不等式. a数学抽象: 对数型复合函数单调性的判定方法. b逻辑推理: 对数型复合函数奇偶性的判定. c数学运算: 求对数型复合函数的参数的取值范围、对数型不等式的解法.
1.教学重点：对数型复合函数奇偶性的判定.
2.教学难点：对数型复合函数单调区间的求法．
1．已知a＝log0.60.5，b＝ln 0.5，c＝0.60.5，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a
答案　B
解析　∵y＝log0.6x在(0，＋∞)上为减函数，
∴log0.60.61.
同理，ln 0.5∵0<0.60.5<0.60，即0∴a>c>b.
2．已知集合A＝{x|y＝lg(2－x)＋lg x}，B＝{y|y＝2x，x＞0}，R是实数集，则( RB)∩A等于(　　)
A．[0,1] B．(0,1]
C．(－∞，0] D．以上都不对
答案　B
解析　由得0＜x＜2，
故A＝{x|0＜x＜2}，由x＞0，得2x＞1，
故B＝{y|y＞1}， RB＝{y|y≤1}，
则( RB)∩A＝{x|0＜x≤1}．
3．设f(x)＝lg x，若f(1－a)－f(a)>0，则实数a的取值范围为________．
答案　
解析　因为f(1－a)>f(a)，f(x)＝lg x单调递增，
所以解得0即实数a的取值范围为.
4．函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)，f(2)＝3，则f(－2)的值为________．
答案　－3
解析　∵>0，∴－3∴f(x)的定义域关于原点对称．
∵f(－x)＝loga＝－loga＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)＝－3.
类型一　对数型复合函数的单调性
命题角度1　求单调区间
例1　求函数的单调区间．
解　令1－|x|>0，即|x|<1.
解得的定义域为(－1,1)．
＝
在区间(－1,0]上，y＝1＋x为增函数，
故为减函数．
同理在区间(0,1)上为增函数，
∴的增区间为(0,1)，减区间为(－1,0]．
点评：　求复合函数的单调性要抓住两个要点：(1)单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域．
(2)f(x)，g(x)单调性相同，则f(g(x))为增函数；f(x)，g(x)单调性相异，则f(g(x))为减函数，简称“同增异减”．
跟踪训练1　求y＝ln 的单调区间．
解　y＝ln 的定义域为(1，＋∞)，在区间(1，＋∞)上，y＝为减函数，
∴y＝ln 也为减函数．
∴y＝ln 的减区间为(1，＋∞)，没有增区间．
命题角度2　已知复合函数单调性求参数范围
例2　已知函数在区间(－∞，)上是增函数，求实数a的取值范围．
解　令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在上是减函数，∵0<<1，
∴是减函数，而已知复合函数在区间(－∞，)上是增函数，
∴只要g(x)在(－∞，)上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，)上恒成立，
即
∴2≤a≤2(＋1)，
故所求a的取值范围是[2，2(＋1)]．
点评：　若a>1，则y＝logaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性相同，若0跟踪训练2　若函数f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,3)
C．(1,3] D．[3，＋∞)
答案　B
解析　函数由y＝logau，u＝6－ax复合而成，因为a>0，所以u＝6－ax是减函数，那么函数y＝logau就是增函数，所以a>1，因为[0,2]为定义域的子集，所以当x＝2时，u＝6－ax取得最小值，所以6－2a>0，解得a<3，所以1类型二　对数型复合函数的奇偶性
例3　判断函数f(x)＝ln 的奇偶性．
解　由>0可得－2所以函数的定义域为(－2,2)，关于原点对称．
方法一　f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln
＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
方法二　f(x)＋f(－x)＝ln ＋ln
＝ln＝ln 1＝0，
即f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝ln 是奇函数．
引申探究
若已知f(x)＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？
解　由>0得－b∵f(x)为奇函数，∴－(－b)＝a，即a＝b.
当a＝b时，f(x)＝ln.
f(－x)＋f(x)＝ln＋ln
＝ln
＝ln 1＝0，
∴有f(－x)＝－f(x)，
∴此时f(x)为奇函数．
故f(x)为奇函数时，a＝b.
点评：　(1)指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数(或偶函数)．
(2)含对数式的奇偶性判断，一般用f(x)±f(－x)＝0来判断，运算相对简单．
跟踪训练3　判断函数f(x)＝lg(－x)的奇偶性．
解　方法一　由－x>0可得x∈R，
所以函数的定义域为R且关于原点对称，
又f(－x)＝lg(＋x)
＝lg
＝lg
＝－lg(－x)＝－f(x)，
即f(－x)＝－f(x)．
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
方法二　由－x>0可得x∈R，
f(x)＋f(－x)＝lg(－x)＋lg(＋x)
＝lg[(－x)(＋x)]
＝lg(1＋x2－x2)＝0.
所以f(－x)＝－f(x)，
所以函数f(x)＝lg(－x)是奇函数．
类型三　简单的对数型不等式的解法
例4　已知函数f(x)＝loga(1－ax)(a＞0，且a≠1)，解关于x的不等式loga(1－ax)＞f(1)．
解　∵f(x)＝loga(1－ax)，∴f(1)＝loga(1－a)，
∴1－a＞0，∴0＜a＜1，
∴不等式可化为loga(1－ax)＞loga(1－a)．
∴即∴0＜x＜1.
∴不等式的解集为(0,1)．
点评：　对数不等式解法要点
(1)化为同底logaf(x)＞logag(x)．
(2)根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向．
(3)加上使对数式有意义的约束条件f(x)＞0且g(x)＞0.
跟踪训练4　函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0,2) B．(0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
答案　C
解析　要使函数有意义，则有
即解得x>2，
即函数的定义域为(2，＋∞).
教材中留有许多思考和旁白，没有做过多的研究，对一些问题的解决过程也没有作详细的阐述，旨在为学生的合理探索留下了空间，为学有余力的学生提供继续发展的平台．在教学过程中，可以根据实际情况，适当地让学生进行探索、交流、合作、比较．通过指数函数、对数函数的相似性研究和整体化处理，达到螺旋式上升的目的．