5.1.2 函数的图象和值域 教案

第五章　函数概念与性质
第5.1.2节　函数的图象和值域
本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》苏教版必修1第五章《函数概念与性质》的第2课时。是学生在了解变量意义上的函数概念和集合知识的基础上所要学习的内容. 学会画函数的图象是数形结合的重要基础。数形结合的思想方法贯穿整个数学学习体系．对于本册教材，在处理函数值大小的比较，确定函数的值域，方程的解及不等式的解集时，常利用函数的图象来解决，这便是数形结合的思想．函数图象的直观，能帮助我们解决许多有关性质的问题．另外求函数的值域也是有基本的套路可循，如观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法等
课程目标 学科素养
A．理解函数图象是点的集合 B．掌握求函数值域的基本方法 C．能熟练作出一些初等函数的图象 a数学抽象:函数图象概念的理解。 b逻辑推理: 求函数值域不同方法间的转换 c数学运算:求函数的值域、图象上关键点和线的标注
1.教学重点：熟练作出一些初等函数的图象
2.教学难点：掌握求函数值域的基本方法
1．下列对应是函数的为________(填序号)．
(1)x→x2，x∈R；
(2)x→y，其中y2＝x，x∈(0，＋∞)，y∈R；
(3)t→s，其中s＝，t≠1，t∈R.
答案：(1)(3)
2．若f(x)＝x2－2，则f(2)＝________，f[f (2)]＝________.
答案：2　2
3．已知函数f(x)＝，则f[f (14)]＝________，若f(x)＝3，则x＝________.
答案：－1　10
4．函数y＝2＋的定义域为____________．
答案：{x|x≠2，x∈R}
1．函数的值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
[点评]　(1)函数的值域依赖于定义域，求函数值域时一定要考虑定义域．
(2)函数的值域是一个集合，求函数值域时结果要写成集合或区间形式．
2．函数的图象
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
[点评]　利用描点法作函数图象的基本步骤为：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线．
题型一 作函数图象
[典例]　作出下列函数的图象并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[解]　(1)∵x∈Z且|x|≤2，
∴x∈{－2，－1,0,1,2}．
∴图象为一直线上的孤立点(如图(1))．
由图象知，y∈{－1,0,1,2,3}．
(2)∵y＝2(x－1)2－5，
∴当x＝0时，y＝－3；当x＝3时，y＝3；
当x＝1时，y＝－5.所画函数图象如图．
∵x∈[0,3)，故图象是一段抛物线(如图(2))．
由图象可知，y∈[－5,3)．
点评：作函数y＝f(x)的图象分两种类型：
(1)若y＝f(x)是已学过的基本初等函数，则通过描出y＝f(x)的图象上的一些关键点画出y＝f(x)的图象；
(2)若y＝f(x)不是已学过的基本初等函数，则需要通过列表，描点、连线，这些基本步骤作出y＝f(x)的图象．　　　　　
[变式训练] 作出下列函数图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝(－2≤x＜1且x≠0)．
解：(1)如图(1)所示，其值域为.
(2)如图(2)所示，其值域为(－∞，－1]∪(2，＋∞)．
题型二 函数图象的应用
[典例]　画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题．
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域；
(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．
[解]　抛物线f(x)＝－x2＋2x＋3的顶点为(1,4)和x轴交点为(－1,0)，(3,0)，和y轴交点为(0,3)得函数图象如图．
(1)根据图象，容易发现
f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，
所以f(3)(2)根据图象，容易发现当x1有f(x1)(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．
(4)原方程可变形为：－x2＋2x＋3＝k，进而转化为函数y＝－x2＋2x＋3，x∈[－1,2]和函数y＝k图象的交点个数问题，平移y＝k易知0≤k＜3或k＝4时，只有一个交点．
∴k的取值范围为{k|0≤k＜3或k＝4}．
点评：数形结合是数学中一种重要的数学思想方法．在处理函数值大小的比较，确定函数的值域，方程的解及不等式的解集时，常利用函数的图象来解决，这便是数形结合的思想．函数图象的直观，能帮助我们解决许多有关性质的问题．　　　　　　
[变式训练]
函数y＝f(x)图象如图所示，则：
(1)f(0)＝________；
(2)f(－2)＝________；
(3)f[f(2)]＝________；
(4)若－1＜x1≤x2＜2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为________；
(5)若f(x)＝0，则x＝________.
答案：(1)4　(2)3　(3)2　(4)f(x1)≥f(x2)　(5)－3
题型三 函数值域的求法
[典例]　求下列函数值域：
(1)y＝2x2－2x＋3；
(2)y＝；
(3)y＝2x－；
(4)y＝2－.
[解]　(1)[配方法]y＝22＋，
∵22≥0，∴y≥，故函数值域为.
(2)[分离常数法]y＝＝＝＋3，
∵≠0，∴y≠3，故函数值域为{y|y≠3，y∈R}．
(3)[换元法]设t＝，
则t≥0且x＝t2＋1，
∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
画出函数图象如图，
观察图象可得函数值域为.
(4)[配方法]∵－x2＋4x＝－(x－2)2＋4≤4，
∴0≤ ≤2，－2≤－≤0，
0≤2－≤2，∴0≤y≤2.
即函数值域为[0,2]．
总结：求函数值域基本方法
(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2)配方法：此是求“二次函数类”值域的基本方法，即把函数通过配方转化为能直接看出其值域的方法；
(3)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(4)换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．(注意新元取值范围)
(5)图象法：即画出函数的图象，结合图象求出其值域．　　　　
　函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．作函数图象的三个关注点：
(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，所画图象横坐标的范围必须与定义域保持一致．
(2)图象是实线或实心点，定义域外的部分有时可用虚线或空心点来定位整个图象．
(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．